grenzwert, die dritte |
| 21.05.2004, 17:18 | Maren | Auf diesen Beitrag antworten » |
| grenzwert, die dritte a (0)= 1/2 a(n)= 1/2 (1+ a(n-1)) danke im voraus Maren |
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| 21.05.2004, 17:44 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: grenzwert, die dritte Versuch erstmal, dir die ersten Glieder der Folge hinzuschreiben und dann eine explizite Angabe der Folge (die nur noch von n abhängt und nicht mehr rekursiv ist) anzugeben. Gruß vom Ben |
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| 21.05.2004, 17:49 | Maren | Auf diesen Beitrag antworten » |
wie mach ich das? also, hab mir die ersten paar aufgeschrieben und würde jetzt tippen dass dasganze gegen 1 geht, aber muss das ja irgendwie beweisen danke |
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| 21.05.2004, 17:53 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie hängt das von 0 ab? Wie hängt das von 1 ab? Wie hängt das von 2 ab? Wie hängt das von 3 ab? Wie hängt das von 4 ab? |
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| 21.05.2004, 18:50 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » |
OK, das geht auch. Eine explizite Vorschrift finden, per Induktion beweisen, fertig. Aber normalerweise macht man das anders. Man kann ja u.U. nicht immer eine solche Vorschrift finden. Maren, zeige, dass (1) a(n) ist nach oben durch 1 beschränkt. (2) a(n) ist monoton steigend. Dann ist a(n) konvergent. Der Grenzwert berechnet sich dann, indem du in der iterativen Vorschrift statt a(n) und a(n-1) einfach a schreibst. a ist dann der Grenzwert. Hier ist a = 1/2 * (1 + a) <==> a = 1/2 + a/2 <==> a/2 = 1/2 <==> a = 1. Also ist der Grenzwert 1. Aber du musst halt noch die Punkte (1) und (2) beweisen. Wie? (1) per Induktion. In (2) benutzt du das Resultat von (1) und zeigst, dass a(n) - a(n-1) >= 0 für alle n. |
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| 23.05.2004, 20:57 | Maren | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke, verstanden, gaht das auch genauso , wenn etwas nach unten bescghränkt ist? weiß nämlich nicht wieso das hierbei nicht funktioniert: b(0)=x b(n)=0,5*b(n-1)+1 Danke |
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| 23.05.2004, 21:51 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » |
Diese Vorschrift sieht fast so aus wie die erste. Wenn du eine explizite Vorschrift für die erste hast und die beweisen kannst, dann sollte das auch hier funktionieren. Das von WebFritzi angegebene Verfahren funktioniert auch, wenn die Folge nach unten beschränkt und monoton fallend ist. Allerdings hängt das Monotonieverhalten dieser Folge von x ab. Wie du einfach mit ein paar Versuchen bestimmen kannst, ist die Folge für x=2 konstant, für x<2 monoton steigend, und für x>2 monoton fallend. Diese Vermutungen musst du natürlich noch beweisen. |
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| 24.05.2004, 22:29 | Maren | Auf diesen Beitrag antworten » |
ist, dass für die erste Folge so richtig a (1)= 0,75 <1 a(n+1) <1 0,5(1+a(n)<1 0,5+0,5a(n)<1 0,5a(n)<0,5 a(n)<1 & a(n)-a(n-1)>0 0,5+0,5 a(n-1)-a(n)+0,5>0 0,5a(n-1)-a(n)>-1 und dann? Maren |
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| 25.05.2004, 04:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das erste ist richtig. Allerdings wären ein paar Sätze dazu nicht schlecht gewesen. Du benutzt da nämlich vollständige Induktion. Und dass du Äquivalenzumformungen benutzt, sollte auch gesagt werden. Schöner finde ich aber sowieso, den Induktionsschritt so zu machen: a(n+1) = a(n)/2 + 1/2 <= 1/2 + 1/2 = 1. Bei der Monotonie bist du etwas durcheinander gekommen. Das geht so: a(n+1) - a(n) = a(n)/2 + 1/2 - a(n) = -a(n)/2 + 1/2 >= -1/2 + 1/2 = 0. Das ">=" gilt wegen a(n)<=1 für alle n. |
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| 26.05.2004, 15:59 | Maren | Auf diesen Beitrag antworten » |
dankeschön aber eine lezte hätte ich noch, jetzt soll das aber so gelöst werden wie Ben Sisko gasagt hatte, vielleicht kannst du mir dabei ja auch helfen? c(0)=x c(1)=y c(n)=0,5(c(n-1)+c(n-2) für n>=2 Maren |
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| 26.05.2004, 17:22 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Öhm, liebe Maren... Mach einmal was selber. |
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