Bedingte Überlebensverteilung eines Zufallsvektors

25.08.2008, 12:55	Pfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Überlebensverteilung eines Zufallsvektors Hallo! Ich habe ein kleines mathematisches Problem, das wie folgt aussieht: Es sei $\begin{eqnarray} \boldsymbol{X}=(X_1,\ldots,X_n) \end{eqnarray}$ ein Zufallsvektor mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F:\bar{R}^n\rightarrow[0,1] \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} F(x_1,\ldots,x_n):=P(x_1 \leq X_1,\ldots,x_n\leq X_n) \end{eqnarray}$ und Überlebensfunktion $\begin{eqnarray} \bar{F}:\bar{R}^n\rightarrow[0,1] \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} \bar{F}(x_1,\ldots,x_n):=P(x_1 > X_1,\ldots,x_n > X_n) \end{eqnarray}$ . Gesucht wird nun eine allgemeine Formel der bedingten Überlebensfunktion $\begin{eqnarray} \bar{F}_{(X_{m+1},\ldots,X_n)\|(X_{1},\ldots,X_m)} \end{eqnarray}$ . In einem Buch habe ich folgende Formel gefunden: $\begin{eqnarray} \bar{F}_{({X}_{m+1},\ldots,{X}_n)\|({X}_{1},\ldots,{X}_m)}(x_{m+1},\ldots,x_n\|{X}_1, \ldots, {X}_m)=\frac{\frac{\partial^m}{\partial x_1 \ldots \partial x_m}\bar{F}({X}_1, \ldots, {X}_m,x_{m+1},\ldots,x_n)}{\frac{\partial^m}{\partial x_1 \ldots \partial x_m}\bar{F}({X}_1, \ldots, {X}_m,0,\ldots,0)} \end{eqnarray}$ Mich interessiert der Beweis zu dieser Formel. Als Hinweis ist lediglich gegeben, dass für die gemeinsame Dichte des Vektors (angeblich) gilt: $\begin{eqnarray} (-1)^n \frac{\partial^n}{\partial x_1\cdots, \partial x_n}\bar{F}(x_1,\ldots,x_n)\mbox{.} \end{eqnarray}$ Vielleicht kann man irgendwie mit den Formeln der Dichte der bedingten Verteilung $\begin{eqnarray} F_{({X}_{m+1},\ldots,{X}_n)\|({X}_{1},\ldots,{X}_m)} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f_{({X}_{m+1},\ldots,{X}_n)\|({X}_{1},\ldots,{X}_m)}(x_{m+1},\ldots,x_n\|x_1,\ldots,x_m)=\frac{f(x_1,\ldots,x_n)}{f_{({X}_{1},\ldots,{X}_m)}(x_1,\ldots,x_m)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_{({X}_{1},\ldots,{X}_m)} \end{eqnarray}$ als Dichte der Randverteilung $\begin{eqnarray} F_{({X}_{1},\ldots,{X}_m)} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} F_{({X}_{m+1},\ldots,{X}_n)\|({X}_{1},\ldots,{X}_m)}(x_{m+1},\ldots,x_n\|{X}_1=x_1, \ldots, {X}_m=x_m)=\int\limits_{u_{m+1}=-\infty}^{x_{m+1}}\ldots \int\limits_{u_{n}=-\infty}^{x_{n}}\frac{f(x_1,\ldots,x_{m},u_{m+1},\ldots, u_n)}{f_{({X}_{1},\ldots,{X}_m)}(x_1,\ldots,x_m)}\mathrm{d}u_{m+1}\ldots \mathrm{d}u_{n} \end{eqnarray}$ bzw. deren Pendants für die Überlebensfunktion $\begin{eqnarray} \bar{F} \end{eqnarray}$ (welche sind das?) zum Ziel kommen.
25.08.2008, 19:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir deiner Groß-/Kleinschreibung in den Formeln wirklich sicher? Üblich ist eher $\begin{eqnarray} F(x_1,\ldots,x_n) := P(X_1 \leq x_1,\ldots,X_n\leq x_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar{F}(x_1,\ldots,x_n) := P(X_1 > x_1,\ldots,X_n > x_n) \end{eqnarray}$ .
25.08.2008, 22:55	Pfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du natürlich recht. Werde es gleich mal verbessern...
25.08.2008, 22:58	Pfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Überlebensverteilung eines Zufallsvektors Es sei $\begin{eqnarray} \boldsymbol{X}=(X_1,\ldots,X_n) \end{eqnarray}$ ein Zufallsvektor mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F:\bar{R}^n\rightarrow[0,1] \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} F(x_1,\ldots,x_n):=P(X_1 \leq x_1,\ldots,X_n\leq x_n) \end{eqnarray}$ und Überlebensfunktion $\begin{eqnarray} \bar{F}:\bar{R}^n\rightarrow[0,1] \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} \bar{F}(x_1,\ldots,x_n):=P(X_1 > x_1,\ldots,X_n > x_n) \end{eqnarray}$ . Gesucht wird nun eine allgemeine Formel der bedingten Überlebensfunktion $\begin{eqnarray} \bar{F}_{(X_{m+1},\ldots,X_n)\|(X_{1},\ldots,X_m)} \end{eqnarray}$ . In einem Buch habe ich folgende Formel gefunden: $\begin{eqnarray} \bar{F}_{({X}_{m+1},\ldots,{X}_n)\|({X}_{1},\ldots,{X}_m)}(x_{m+1},\ldots,x_n\|{X}_1, \ldots, {X}_m)=\frac{\frac{\partial^m}{\partial x_1 \ldots \partial x_m}\bar{F}({X}_1, \ldots, {X}_m,x_{m+1},\ldots,x_n)}{\frac{\partial^m}{\partial x_1 \ldots \partial x_m}\bar{F}({X}_1, \ldots, {X}_m,0,\ldots,0)} \end{eqnarray}$ Mich interessiert der Beweis zu dieser Formel. Als Hinweis ist lediglich gegeben, dass für die gemeinsame Dichte des Vektors (angeblich) gilt: $\begin{eqnarray} (-1)^n \frac{\partial^n}{\partial x_1\cdots, \partial x_n}\bar{F}(x_1,\ldots,x_n)\mbox{.} \end{eqnarray}$ Vielleicht kann man irgendwie mit den Formeln der Dichte der bedingten Verteilung $\begin{eqnarray} F_{({X}_{m+1},\ldots,{X}_n)\|({X}_{1},\ldots,{X}_m)} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f_{({X}_{m+1},\ldots,{X}_n)\|({X}_{1},\ldots,{X}_m)}(x_{m+1},\ldots,x_n\|x_1,\ldots,x_m)=\frac{f(x_1,\ldots,x_n)}{f_{({X}_{1},\ldots,{X}_m)}(x_1,\ldots,x_m)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_{({X}_{1},\ldots,{X}_m)} \end{eqnarray}$ als Dichte der Randverteilung $\begin{eqnarray} F_{({X}_{1},\ldots,{X}_m)} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} F_{({X}_{m+1},\ldots,{X}_n)\|({X}_{1},\ldots,{X}_m)}(x_{m+1},\ldots,x_n\|{X}_1=x_1, \ldots, {X}_m=x_m)=\int\limits_{u_{m+1}=-\infty}^{x_{m+1}}\ldots \int\limits_{u_{n}=-\infty}^{x_{n}}\frac{f(x_1,\ldots,x_{m},u_{m+1},\ldots, u_n)}{f_{({X}_{1},\ldots,{X}_m)}(x_1,\ldots,x_m)}\mathrm{d}u_{m+1}\ldots \mathrm{d}u_{n} \end{eqnarray}$ bzw. deren Pendants für die Überlebensfunktion $\begin{eqnarray} \bar{F} \end{eqnarray}$ (welche sind das?) zum Ziel kommen.

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