beschränkte Folge

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Maren Auf diesen Beitrag antworten »
beschränkte Folge
Es seien( a(n)) und (b(n)) Folgen in R , a(n) beschränkt und mit
zeige, dass
und
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm den Betrag und das Einschließungskriterium.
Maren Auf diesen Beitrag antworten »

das verstehe ich nicht, sorry. bin halt etwas langsam
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du dir zu dieser Aufgabe bisher ausgedacht, Maren?
Welche dir bekannten Sätze über Grenzwerte könnte man da vielleicht anwenden?
Maren Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich würde sagen weil n gegen unendlich geht ist b(n) ja fast null und dass mal den lim von a (n) muss dann ja null sein , weil alles mal 0 gleich 0 ist??
soll ich das dann einfach so hinschreiben?


oder muss ich das dann noch irgendwie beweisen??
Danke
Doppelmuffe Auf diesen Beitrag antworten »

schon fast richtig.

aber
Zitat:
weil n gegen unendlich geht ist b(n) ja fast null und dass mal den lim von a (n) muss dann ja null sein ,
gilt bei grenzwerten nicht:

( siehe z.b. a(n) = n*n ; b(n) = 1 / x ; lim (a*b) = unendlich)

du müsstest noch mit nem halben satz sagen, warum das in dieser aufgabe nicht der fall ist.
 
 
Maren Auf diesen Beitrag antworten »

naja, ich habe ja nur die Folge von b (n) gleich 0, und nicht fast null , weil ich ja nichts dafür einsetzen könnte???
kannst du mir auch zwei Folgen als Beispiel geben, die dann gegen 0 konvergieren??

Danke, Maren
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maren
also, ich würde sagen weil n gegen unendlich geht ist b(n) ja fast null und dass mal den lim von a (n) muss dann ja null sein , weil alles mal 0 gleich 0 ist??
soll ich das dann einfach so hinschreiben?



Vorsicht: Die Grenzwertformel gilt nur, wenn die beiden Grenzwerte und existieren. Deine Folge a(n) ist nur beschränkt, die muss nicht unbedingt konvergieren.

Auch ist es gefährlich, nur in einem Teilausdruck zum Grenzwert überzugehen, wie z.B. in .

Das Einschließungskriterium, von dem WebFritzi sprach, kann man in dieser Situation so formulieren:
Wenn f(n) und g(n) zwei Folgen sind, für die |f(n)|<= g(n) für alle n gilt, und zusätzlich g(n) gegen 0 konvergiert, dann konvergiert auch f gegen 0.

Jetzt musst du nur noch eine geeignete Folge g(n) angeben, so dass dieses Kriterium mit f(n) = a(n)*b(n) erfüllt ist.
Tip: Was heißt denn, dass die Folge a(n) beschränkt ist?
Maren Auf diesen Beitrag antworten »

dass sie nicht unendlich nah an einen punkt heran kommt , sonder einfach einen schranke hat, die sie auch treffen kann?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Dass sie beschränkt ist, heißt, dass sie eine Schranke hat. Was ist eine Schranke? Ein positive Zahl c, so dass der Betrag |a(n)| kleinergleich c ist für jedes n.

Die Folge kann sich dieser Schranke beliebig annähern, wie z.B. die Folge 1-1/n, sie muss aber nicht, wie z.B. (-1)^n / n, die die kleinste Schranke 1 hat, aber gegen 0 konvergiert. Die Folge (-1)^n dagegen ist auch beschränkt, konvergiert aber nicht. Sie kommt aber den beiden Zahlen +1 und -1 beliebig nahe (allerdings nicht in dem Sinne, dass sie dagegen konvergiert).
Maren Auf diesen Beitrag antworten »

ist also weil a(n) beschränkt ist der lim davon eine reelle Zahl, und die multipliziert mit dem lim von b(n) ist dann 0.
weil lim a(n)*b(n)=c*x/n=cx/n=0 ???
Maren
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