Ähnliche Matrizen

24.05.2006, 18:37

Bjoern1982

Ähnliche Matrizen

Hallo

Ich habe zwei 2x2 Matrizen A1 und B1 gegeben:

$\begin{eqnarray*} A1=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B1=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und zwei 3x3 Matrizen A2 und B2 :

$\begin{eqnarray*} A2=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 4 & -4 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B2=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun will ich überprüfen ob A1 und B1 bzw. A2 und B2 ähnlich sind.

Einerseits könnte ich ja überprüfen,ob wirklich alle diese Eigenschaften für ähnliche Matrizen erfüllt sind um dies ggf. zu einem Wiederspruch zu führen:

Ähnliche Matrizen haben viele Eigenschaften gemeinsam. Sie besitzen:

* den gleichen Rang,
* die gleiche Determinante,
* die gleiche Spur,
* die gleichen Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren),
* das gleiche charakteristische Polynom und
* das gleiche Minimalpolynom

Das kann aber schon ganz schön aufhalten und wenn dann am Schluss trotzdem all diese Eigenschaften erfüllt sind hat man ja gar nichts erreicht.

Zum anderen sind ja laut Definition zwei quadratsiche Matrizen A und B genau dann ähnlich wenn eine Matrix P existiert, so dass $\begin{eqnarray*} B=P^{-1}A P \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich habe aber leider keine Ahnung wie ich eine solche Matrix P kommen soll verwirrt

Bin für jede Hilfe dankbar.

Gruß Björn

24.05.2006, 20:03

Ben Sisko

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Hattet ihr schon die Jordannormalform?

25.05.2006, 00:37

Bjoern1982

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Leider noch nicht, wird wohl nächste Woche erst drankommen.

Ist dieses Problem nur damit lösbar?

Also, ich habe mich mal etwas in die JNF reingelesen.

Könnte ich dann vielleicht so vorgehen:

1. Beide Matrizen auf JNF bringen.

2. Wenn die Matrizen ähnlich wären, müssten sie aufgrund gleicher Eigenwerte auch dieselbe JNF haben, woraufhin man die Gleichung $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS=T^{-1}BT \end{eqnarray*}$ erhält, wobei sich S und T aus den jeweiligen Eigen- und Hauptvektoren ergeben.

Bei Gleichheit der entstehenden Matrizen auf der linken und rechten Seite wäre doch dann bewiesen, dass A und B ähnlich sind (bzw. bei Ungleichheit nicht ähnlich sind), oder?

Gruß Björn

25.05.2006, 10:01

Mazze

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Die Diagonalform unter Ähnlichkeit ist ein spezialfall der JNF. Die ersten beiden Matrizen sind Diagonalisierbar, also geht der Ansatz wie beschrieben. Denk dran Du willst eine invertierbare Matrix P finden so das

$\begin{eqnarray*} PAP^{-1} = B \end{eqnarray*}$

Dieses P besteht aus den Transformationsmatrizen Augenzwinkern

Die 3x3 Matrizen haben unterschiedliche Eigenwerte, das heißt Du bestimmst diese und hast dann gezeigt das sie nicht ähnlich sind.

25.05.2006, 13:02

Bjoern1982

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Danke für deine Antwort smile

Zitat:

Die ersten beiden Matrizen sind Diagonalisierbar, also geht der Ansatz wie beschrieben.

Damit meinst du dass ich das für die beiden 2x2 Matrizen so machen kann , wie oben beschrieben, ja?

Meine Ergebnisse wären dann:

A2 und B2 sind nicht ähnlich, da sie unterschiedliche Eigenwerte haben.

Eigenwerte von A2: c1= 1, c2=wurzel (5), c3= - wurzel (5)
Eigenwerte von B2: c1= 1, c2= -1

A1 und B1 sind ähnlich, da die obige Gleichung eine wahre Aussage ist.
Eigenwerte von A1 und B1 sind 5 und -1 (jeweils einfache Nullstellen)
Daher sind die Eigenvektoren gleichzeitig Hauptvektoren und es folgt:

$\begin{eqnarray*} S= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S^{-1}= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T^{-1}= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} JNF= \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Gruß Björn

25.05.2006, 15:02

Mazze

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Seien A,B diagonalisierbar und P die Eigenbasis von A und Q die Eigenbasis von B. Es sollen dazu die Diagonalmatrizen gleich sein. Es ist:

$\begin{eqnarray*} A = PDP^{-1}, B = QDQ^{-1} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} D = P^{-1}AP oder D = Q^{-1}DQ \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} B = QP^{-1}APQ^{-1} \end{eqnarray*}$

Die Produktmatrix invertierbarer Matrizen ist invertierbar. Du musst nur noch zeigen das

$\begin{eqnarray*} QP^{-1}PQ^{-1} = I \end{eqnarray*}$

gilt und hast die Ähnlichkeit. Hab deine Matrizen jetzt nicht überprüft, kannste aber leicht selber indem du mal einsetzt. Zu den 3x3 Matrizen: richtig.

25.05.2006, 15:23

Bjoern1982

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Hallo

Habs getestet - es kommt die Einheitsmatrix raus smile

Ist also auch so möglich, aber beide Verfahren sind ja eigentich gleichaufwändig, da man ja um die Eigenbasenbestimmungen bzw. deren Inversenbestimmungen nicht herumkommt.

Aber danke für diesen alternativen Weg.

Gruß Björn

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