polynomdivision

24.05.2006, 17:18

kako

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polynomdivision

Hallo,

kann mir jemand sagen wie ich f(x)= $\begin{eqnarray*} (x^{\frac{2}{3}} - xo^{\frac{2}{3}})/(x^{\frac{1}{3}}xo^{\frac{2}{3}} - xo) \end{eqnarray*}$ ausrechne.
Ich weiß nicht, wie ich durch $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{3}}xo^{\frac{2}{3}} - xo \end{eqnarray*}$ teilen soll. verwirrt

verwirrt

Ich hoffe jemand weiß wie das geht und kann mir helfen.

KaKo

24.05.2006, 17:54

kloefi

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naja im prinzip ist es ne ganz normale pd,
musst halt erst $\begin{eqnarray*} x^{2/3} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x^{1/3}xo^{2/3} \end{eqnarray*}$ teilen... (wenn du nicht weißt wie schreibs mal als bruch, dann siehst du was rauskommmt...)
danach einfach zurückmultiplizieren (das ergebnis von oben mit dem nenner) und so weiter...
musst dich von dem xo einfach nicht irritieren lassen und stur durchrechnen.. ist wie schon gesagt eigentlich gnazt normale pd.

24.05.2006, 18:13

kako

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so?
iiiii $\begin{eqnarray*} (x^{\frac{2}{3}} - xo^{\frac{2}{3}})/(x^{\frac{1}{3}}xo^{\frac{2}{3}} - xo) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{3}}xo^{\frac{2}{3}} + ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(x^{\frac{2}{3}}xo^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}xo^{\frac{5}{3}}) \end{eqnarray*}$
iiiii...

24.05.2006, 18:14

kako

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die "i"s einfach ignorieren, sollen nur platzhalter sein

24.05.2006, 18:27

klarsoweit

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RE: polynomdivision

Zitat:

Original von kako
kann mir jemand sagen wie ich f(x)= $\begin{eqnarray*} (x^{\frac{2}{3}} - xo^{\frac{2}{3}})/(x^{\frac{1}{3}}xo^{\frac{2}{3}} - xo) \end{eqnarray*}$ ausrechne.

Wie kommst du auf diesen tollen Ausdruck? Bevor wir da ins Detail gehen, stellt sich mir die Frage nach dem mathematischen Hintergrund.

24.05.2006, 19:21

kako1

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folgenden Rechenweg habe ich gemacht: zu f(x)= $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = (\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x_0^{2}})/(x - x_0) = 1/(x - x_0)/(\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x_0^{2}}) \end{eqnarray*}$
Nun die Polynomdivision: $\begin{eqnarray*} (x - x_0)/(x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}}) = x^{\frac{1}{3}} + (x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} - x_0)/(x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}}) \end{eqnarray*}$
Jetzt hab ich das ergebnis der Polynomdivision wieder in $\begin{eqnarray*} 1/x^{\frac{1}{3}} + (x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} - x_0)/(x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}}) \end{eqnarray*}$ eingesetzt.
Nun hab ich die Umkehrfunktion nochmals gebraucht: $\begin{eqnarray*} 1/x^{\frac{1}{3}} + 1/(x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}})/(x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} - x_0) \end{eqnarray*}$
Daraus entsteht dann $\begin{eqnarray*} (x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}})/(x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} - x_0) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ist jetzt klarer geworden.

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24.05.2006, 20:41

klarsoweit

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Leider nein. Da du keinen Bruchstrich verwendest, ist überhaupt nicht klar, was durch was dividiert wird. Also es geht um:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x_0^{2}}}{x - x_0} \end{eqnarray*}$
Irgendwie hat das mit Differenzenquotienten und Ableitung zu tun. Ist aber auch egal. Ich würde jetzt $\begin{eqnarray*} x = z^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 = z_0^3 \end{eqnarray*}$ substituieren. Dann läßt es sich viel leichter rechnen.

25.05.2006, 10:40

kako1

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mal grad ne andere Frage, wie gebe ich den einen Bruchstrich ein?
Dann versuch ich es nochmal.

25.05.2006, 11:04

JochenX

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Zitat:

Original von kako1
mal grad ne andere Frage, wie gebe ich den einen Bruchstrich ein?
Dann versuch ich es nochmal.

code:
1:	[latex]......[/latex]

zunächst Latextags

dazwischen dein Latexcode, da gibt es zur Hilfe auch den Formeleditor, Link auf der rechten Seite.

Brüche machst du mit

code:
1:	\frac{....}{....}

, die ... stehen dabei für Zähler, bzw. Nenner

25.05.2006, 12:27

kako1

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Ok, danke, dann versuche ich es jetzt nochmal.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x_0^{2}}}{x - x_0} = \frac{1}{\frac{x - x_0}{\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x_0^{2}}}} \end{eqnarray*}$ Das soll ein Doppelbruchstrich sein.
Jetzt hab ich die Polynomdivision gemacht: $\begin{eqnarray*} (x - x_0)/(x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}}) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} - x_0}{x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}}} \end{eqnarray*}$
Jetzt hab ich das ergebnis der Polynomdivision wieder in eingesetzt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} - x_0}{x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}}}} \end{eqnarray*}$
Nun hab ich die Umkehrfunktion nochmals gebraucht: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} - x_0}}} \end{eqnarray*}$
Daraus entsteht dann: $\begin{eqnarray*} (x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}})/(x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} - x_0) = ? \end{eqnarray*}$

So jetzt müsst es klarer werden...

25.05.2006, 12:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von kako1
Nun hab ich die Umkehrfunktion nochmals gebraucht:

Du meinst wohl "Kehrwertbildung".

Zitat:

Original von kako1
Daraus entsteht dann: $\begin{eqnarray*} (x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}})/(x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} - x_0) = ? \end{eqnarray*}$

Ja, schon, aber was hilft dir das?
Ich denke, mit meinem Hinweis kommst du schneller ans Ziel.

26.05.2006, 09:01

kako1

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Danke
Danke an alle, die mir versucht haben zu helfen. Wink

Wink

Ich hab jetzt die Lösung mit meinem oben aufgeschriebenen Ansatz heraus. Freude

Freude

26.05.2006, 09:32

klarsoweit

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RE: Danke
Das freut micht.
Wäre schön, wenn du uns deinen Lösungsweg verraten könntest. smile

smile

26.05.2006, 10:45

kako1

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Jep, kann ich machen. Tanzen

Tanzen

Also bei der zweiten Polynomdivsion gehts dann so weiter:
$\begin{eqnarray*} (x^{\frac{2}{3}} - x_0^{\frac{2}{3}})/(x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{2}{3}} - x_0) = x^{\frac{1}{3}}x_0^{\frac{-2}{3}} + x_0^{\frac{-1}{3}} \end{eqnarray*}$
Nun hab ich das Ergebnis wieder eingesetzt und die Hochzahlen in Wurzeln umgewandelt.
Dann das hier da: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x_0^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x_0}}} } \end{eqnarray*}$
Jetzt hab ich den untersten Bruch auf einen Nenner gebracht und die umkehrfunktion rückgängig gemacht.
Um nun auch die zweite Umkehrfunktion rückgängig zumachen, hab auch wieder alles auf einen Nenner gebracht, und es kam das hier raus: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{x^2x_0} + \sqrt[3]{xx_0^2} + \sqrt[3]{xx_0^2}}{\sqrt[3]{xx_0} + \sqrt[3]{x_0^2}}} \end{eqnarray*}$
Jetzt noch Bruch wieder umkehren und für $\begin{eqnarray*} x = x_0 \end{eqnarray*}$ einsetzen, dann kürzen und heraus kommt: $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x_0}} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe man kann das verstehen, ansonsten hier einfach nochmal nachfragen. Wink

Wink

Ich wollte den Rechenweg ja in den Anhang packen, klappte aber nich, weil die Datei zu groß war. Wenn ich sie kleiner gemacht hätte, hätte man nix mehr lesen können. verwirrt

verwirrt

26.05.2006, 11:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von kako1
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{x^2x_0} + \sqrt[3]{xx_0^2} + \sqrt[3]{xx_0^2}}{\sqrt[3]{xx_0} + \sqrt[3]{x_0^2}}} \end{eqnarray*}$

Da hast du wohl noch einen Tippfehler drin (2. und 3. Summand im Zähler vom Bruch im Nenner sind gleich) und im Grunde auch einen kürzbaren Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x_0} \end{eqnarray*}$ zuviel. (Den habe ich bei meiner Rechung nicht erhalten.)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x_0^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x_0}}} } = \frac{1}{\sqrt[3]{x} + \frac{\sqrt[3]{x_0^2}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x_0}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x \cdot x_0} + \sqrt[3]{x_0^2}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x_0}}} \end{eqnarray*}$

Mußte 3mal das Latex korrigieren. Also irgendwie neige ich doch zu meiner empfohlenen Substitution. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.05.2006, 12:50

kako1

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oh ja stimmt, danke! geschockt

geschockt

Ich hätte es auch nicht mit Polynomdivision gemacht, sondern mit Substitution, aber wenn der Lehrer es so will, dann soll er es bekommen (obwohl er eigentlich glücklich sein müsste, dass es überhaupt jemand herausbekommen hat)

KaKo

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