Integralrechnung - Differentiale

25.08.2008, 18:49

Felix

Integralrechnung - Differentiale

Wenn ich f(x) ableite erhalte ich $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

Warum also bevor man das ganze umkehrt mit dx multiplizieren.

Um ehrlich zu sein verstehe ich nicht wieso das gehen soll. Auf beiden seiten habe ich ja nicht mehr f'(x) stehen warum also werden diese Ausdrücke beim integrieren(also umkehren) zu f(x).

Ich hoffe ich habe mich halbwegs verständlich ausgedrückt.

lg

Felix

25.08.2008, 19:05

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dir unter $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ keinen Bruch vorstellen, sondern das ist lediglich ein Symbol und es bedeutet die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Diese "Rechnungen" die man da beispielsweise bei der Substitution macht sind mehr oder weniger sinnlos, es ist ein Kalkül um die Substitution leichter machen zu können.
Sinnlos deshalb, weil mit $\begin{eqnarray*} \dd y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ eigentlich "unendlich" kleine Zahlen gemeint sind.
Zumindest bevor man das nicht theoretisch sauber begründen kann, lass es einfach eine Hilfe sein.

25.08.2008, 19:09

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Zumindest bevor man das nicht theoretisch sauber begründen kann, lass es einfach eine Hilfe sein.

Das bedeutet es gibt schon eine logische Begründung dafür aber man braucht Vorwissen um diese zu verstehen ?

25.08.2008, 19:13

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir leider noch nicht sagen welche Operationen mit Differentialen man sauber begründen kann, aber es gibt jedenfalls Begründungen.

25.08.2008, 19:16

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke, dann nehme ich die Differentiale fürs erste mal so hin Augenzwinkern

26.08.2008, 09:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht klärt sich das eine oder andere mit einem Blick auf die Substitutionsregel:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(x)) \cdot g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(u)~du \end{eqnarray*}$

Offensichtlich hat man u = g(x) substituiert. In der Substitution wird aus g'(x)dx ein du, so daß man genau genommen im konkreten Fall das Integral erstmal so umformen muß, daß man diesen Ausdruck g'(x)dx im Integral antrifft. Dann kann man daraus ein du machen. Diese Beziehung g'(x)dx = du gibt es also nur im Zusammenhang mit der Substitution. Wegen $\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$ kann man sich das auch so merken, indem man diese Gleichung mit dx "multipliziert". Das ist keine Multiplikation im herkömmlichen Sinne, folgt aber den gleichen Regeln und findet seinen Sinn auch nur während der Substitution.

26.08.2008, 12:12

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Diesen Zusammenhang kenne ich schon aber wirklich was klären tut er nicht.

Was ich nicht verstehe ist, dass man bei jeder anderen Rechenoperation
(z.B. : 4² = 16) auf das Ergebnis sofort die Umkehrfunktion anwenden kann und wieder im gegebenen Beisspiel 4 erhält.
Das ist bei der Infintesimalrechnung aber anscheinend nicht möglich weil es ja keine Integral :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~f(x) \end{eqnarray*}$

gibt.

lg

26.08.2008, 12:41

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht jede mathematische Operation ist umkehrbar. Und auch dein Beispiel ist nicht ganz problemlos. Was machst du bei $\begin{eqnarray*} (-4)^2 = 16 \end{eqnarray*}$ ?. Die Wurzel aus 16 ist 4 und nicht die Ausgangszahl -4.

Mit deinem Satz

Zitat:

Original von Felix
Das ist bei der Infintesimalrechnung aber anscheinend nicht möglich weil es ja keine Integral :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~f(x) \end{eqnarray*}$

kann ich nichts anfangen bzw. mir erklären, was du dsamit sagen willst. Immerhin ist die Umkehrung der Stammfunktion-Bildung die Ableitung.

26.08.2008, 12:48

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja was ich damit sagen will : Das Ergebnis der Ableitung ist f'(x). Integriert wird aber f'(x) * dx, also nicht das Ergebnis das man beim Differenzieren erhält.

26.08.2008, 13:00

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz richtig ist das nicht. f'(x) impliziert, daß f(x) nach x differenziert wird. Genau genommen, müßte es $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$ heißen. Damit wird klar gekennzeichnet, daß x die Variable ist, nach der differenziert wird. Aus demselben Grund hängt man an die Funktion im Integral ein dx dran, um zu kennzeichnen, daß x die Integrationsvariable ist.

$\begin{eqnarray*} \int~\frac x u~dx \end{eqnarray*}$ ist eben was anderes als $\begin{eqnarray*} \int~\frac x u~du \end{eqnarray*}$ .

26.08.2008, 13:09

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist dx nichts anderes als ein Symbol dafür, das nach x gerechnet wird ?

26.08.2008, 13:18

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Vielleicht klärt sich das eine oder andere mit einem Blick auf die Substitutionsregel:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(x)) \cdot g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(u)~du \end{eqnarray*}$

Offensichtlich hat man u = g(x) substituiert. In der Substitution wird aus g'(x)dx ein du, so daß man genau genommen im konkreten Fall das Integral erstmal so umformen muß, daß man diesen Ausdruck g'(x)dx im Integral antrifft. Dann kann man daraus ein du machen. Diese Beziehung g'(x)dx = du gibt es also nur im Zusammenhang mit der Substitution. Wegen $\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$ kann man sich das auch so merken, indem man diese Gleichung mit dx "multipliziert". Das ist keine Multiplikation im herkömmlichen Sinne, folgt aber den gleichen Regeln und findet seinen Sinn auch nur während der Substitution.

Diesen formalen Standpunkt würde ich auch einnehmen. Es handelt sich hier um einen bloßen Formalismus, der einem das Denken (zum Teil) abnimmt, weil er formal nachspielt, was die Regel korrekt vorgibt. Daß man beim Integral immer dieses $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ mitschleppt, hat zunächst einmal historische Gründe: $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist der Funktionswert bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ multipliziert wird daraus der (orientierte) Flächeninhalt eines unendlich schmalen Rechtecks. Und $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ sagt, daß man jetzt diese unendlich schmalen Rechtecke alle aufSummieren muß. Das erklärt natürlich inhaltlich noch gar nichts, sondern nur, was für eine Vorstellung Leibniz, der Erfinder der Schreibweise, damit verbindet. Später wurde diese Vorstellung durch Leute wie Riemann oder Lebesgue auf eine logisch belastbare Grundlage gestellt. Die Schreibweise ist bis heute geblieben, auch weil sie im formalen Kalkül etwa der Substitutionsregel so nützlich ist.

26.08.2008, 13:40

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok , jetzt blicke ich zumindest ein bisschen mehr durch Freude

Danke

Neue Frage »

Antworten »

Integralrechnung - Differentiale

Verwandte Themen