Koordinaten regulärer Polytope

25.08.2008, 21:31	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinaten regulärer Polytope Moin! Ich würde gerne jede Menge reguläre Polytope auf verschiedenste Weise projizieren. Gibt es irgendwo eine Auflistung, welche Eckpunkte die verschienenen Polytope in kartesischen Koordinaten haben (können)? Am besten gleich so, dass der Ursprung im Schwerpunkt liegt. Ansonsten müsste ich die alle selber ausrechnen, was besonders bei solchen Dingern wie dem 120-Zell oder dem 600-Zell unangenehm wird... Cordovan
26.08.2008, 01:26	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten regulärer Polytope Hallo, Ein paar erste Einfälle zu deiner Frage: 1) wenn du fragst, welche kartesischen Koordinaten reguläre Polytope haben können, würde ich denken, daß die Koordinaten, wenn der Ursprung des Koordinatensystem in den Schwerpunkt des Polyeders gelegt wird, alle auf einer oder mehreren Kugeloberflächen (Kugelschalen) bzw. bei höherdimensionalen Polytopen auf einer/mehreren Hyperkugeloberfläche(n) zu liegen kommen. 2) Eine Auflistung für alle Polytope, die dich interessieren, kenne ich nicht, aber bei wikipedia (deutsch/englisch) bzw. mathworld (eric w. weisstein, wolfram industries) dürfte für die bekannten polytope jeweils etwas zu finden sein...z.b. 600-cell auf wikipedia.org eingeben...die Koordinaten sind dann eh meistens so angegeben, daß sie der Symmetrie des Körpers am besten entsprechen...genau aus dem Grund, daß man sich möglichst wenig überarbeiten will, wenn man alle Eckpunkte einzeln berechnet. 3) wenn du erst mal eine Koordinatenbeschreibung gefunden hast, kannst du mittels Matrixmultiplikationen alle anderen durch Skalierung mit einem Faktor bzw. Rotation um den Ursprung erzeugen. 4) Je regulärer die Polytope sind, die dich interessieren, desto eher würde ich erwarten, daß schon mal ein Mathematiker die kartesischen Koordinaten ausgerechnet hat. Ich glaube bloß, daß es unwahrscheinlich ist, daß man eine Liste findet, in der man all das, was du suchst, direkt findet. Aber für einzelne Polytope im Internet zu suchen dauert auch nicht so lang, wie es sich jeweils selbst ausrechnen zu müssen (und ist weniger fehleranfällig) Gruß
26.08.2008, 23:08	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für die Ideen Iridium! Zu 1) Das sehe ich auch so. Allerdings ist es dennoch recht aufwändig (zumindest in meiner Vorstellung), die Puntke konkret auszurechnen. Zu 2) Auf diesen Seiten werden mehr allgemeine Symmetrieeigenschaften, die nicht vom konkreten Koordinatensystem abhängen, diskutiert. Das finde ich zwar im Prinzip gut , aber in meinem konkreten Fall brauche ich ja ein ausgezeichnetes Koordinatensystem. Zu 3) OK, klar. Zu 4) Meine bisherigen Suchen haben mir immerhin Tetraeder, Würfel, Oktaeder erbracht. Mehr habe ich aber leider bisher nicht gefunden. Cordovan
27.08.2008, 08:56	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ist das nicht sowas, was du suchst? The vertices of a 600-cell centered at the origin of 4-space, with edges of length 1/ $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ (where $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ = (1+ $\begin{eqnarray} \sqrt{5} \end{eqnarray}$ )/2 is the golden ratio), can be given as follows: 16 vertices of the form (±½,±½,±½,±½), and 8 vertices obtained from (0,0,0,±1) by permuting coordinates. The remaining 96 vertices are obtained by taking even permutations of ½(±1,± $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ,±1/ $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ,0). Note that the first 16 vertices are the vertices of a tesseract, the second eight are the vertices of a 16-cell, and that all 24 vertices together are vertices of a 24-cell. The final 96 vertices are the vertices of a snub 24-cell, which can be found by partitioning each of the 96 edges of another 24-cell (dual to the first) in the golden ratio in a consistent manner. Aus http://en.wikipedia.org/wiki/600-cell . Ähnliches könnte/sollte evtl. auch bei den anderen Polytopen zu finden sein. Gruß
27.08.2008, 08:59	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ/ergänzend lohnt sich immer auch ein Blick auf http://mathworld.wolfram.com/600-Cell.html
27.08.2008, 13:10	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja schon ziemlich gut, danke sehr! Ich habe noch ein Problem: ich brauche noch die Kanten, also zumindest die Angabe, welche Punkte eine Kante formen. Kann ich mir das irgendwie erschließen? Cordovan
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27.08.2008, 16:51	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja, man könnte z.B. den Abstand zwischen zwei Punkten ausrechnen und schauen, ob er der angegebenen Einheitskantenlänge (im obigen Beispiel $\begin{eqnarray} 1/\phi \end{eqnarray}$ ) entspricht. Allerdings ist daß dann auch wieder eine ziemlich lästige Rechnerei, selbst wenn man ein Computeralgebrasystem wie z.B. Mathematica benutzt. Ansonsten fällt mir gerade leider keine einfache Methode ein, um das herauszufinden.

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