"Grenzwertverhalten"

24.05.2006, 21:18	.phiL	Auf diesen Beitrag antworten »
"Grenzwertverhalten" Problem: Let a be a positive real number. Define a sequence $\begin{eqnarray} {x_{n}}_{n=1}^{\infty } \end{eqnarray}$ by induction as follows: $\begin{eqnarray} x_{1}\geq0 \end{eqnarray}$ is abitrary(~beliebig), an $\begin{eqnarray} x_{n+1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} {x_{n}} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \frac{a}{{x_{n}}} \end{eqnarray}$ ) for any $\begin{eqnarray} n\geq1 \end{eqnarray}$ Prove that (a) $\begin{eqnarray} x_{n+1}-\sqrt{a} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{(x-\sqrt{a})^{2}}{x_{n}} \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} x_{n}\geq\sqrt{a} \end{eqnarray}$ for any $\begin{eqnarray} n\geq2 \end{eqnarray}$ (c) $\begin{eqnarray} x_{n+1}-\sqrt{a}\leq\frac{1}{2}(x-\sqrt{a}) \end{eqnarray}$ for any $\begin{eqnarray} n\geq2 \end{eqnarray}$ (d) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{a} \end{eqnarray}$ das ist die Aufgabe... Unser Tutor hat gesagt einfach die Ergebnisse aus den vorigen Aufgaben benutzen. (a)leuchtet mir ein das es stimmt, nur wie ich dann weiter machen muss um zu (b)zu gelangen ist mir schleierhaft. vorallem wo das $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ her kommt. vielen dank für jeglichen Denkanstoß
24.05.2006, 22:27	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstens hättest du dir ruhig die Mühe machen können, das zu übersetzen! Zweitens wüsste ich gerne genauer, was in "Unser Tutor hat gesagt einfach die Ergebnisse aus den vorigen Aufgaben benutzen." die vorigen Aufgaben sind? von a) nach b) ist ja ziemlich leicht. Bei a) steht für jedes n ist $\begin{eqnarray} x_n-\sqrt{a} \end{eqnarray}$ gleich irgendwas nichtnegativem (! nachdenken, wieso !). Also insbesondere >=0. Stell das doch einfach nach x_n um.
24.05.2006, 22:46	.phiL	Auf diesen Beitrag antworten »
das $\begin{eqnarray} x_{n}- \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{a} \end{eqnarray}$ größer 0 ist kann ich mir nur so erklären, weil es halt quadriert wird... soll ich jetzt etwa einfach sagen $\begin{eqnarray} x_{n}- \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{a}\geq0 \end{eqnarray}$ und dann umformen oder wie? das wäre doch zu einfach, oder? was spielt das $\begin{eqnarray} n\geq2 \end{eqnarray}$ für ne rolle? Tutor meinte halt erg.(a) kann man in(b) verwenden (b) in (c) und (c) in (d)...
24.05.2006, 22:47	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "Grenzwertverhalten" Bei c) meinst du auch x_n , oder ?
24.05.2006, 23:09	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
das das >= 0 ist, folgt direkt daraus, wenn du dir die rechte Seite anschaust. 1/2 ändert nix am Vorzeichen, der Zähler des Bruchs ist >=0, der Nenner des Bruchs >0. das gibt insgesamt einen Bruch, der nicht negativ sein kann.
25.05.2006, 15:20	.phiL	Auf diesen Beitrag antworten »
ja sorry auf der rechten seite vom $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ muss natürlich $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ stehen (b) habe ich jetzt auch erfolgreich umgeformt und bin auf das ergebnis gekommen, nur was das mit dem $\begin{eqnarray} n\geq2 \end{eqnarray}$ auf sich hat versteh ich nicht. hat das was damit zutun das die sequenz min. 2 elemente haben muss oder warum gilt das nicht für $\begin{eqnarray} 0\leq n\leq2 \end{eqnarray}$ so (c) habe ich jetzt auch erfolgreich umgeformt am ende steht dann da $\begin{eqnarray} x_{n}-\sqrt{a}\leq x_{n} \end{eqnarray}$ was ja auch sinn macht... jetzt nurnoch (d) und da steh ich jetzt aufm schlauch... hilfe bitte, ansatz oder so?
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