Extremwertaufgabe - Flächeninhalt

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25.05.2006, 15:08	Doro21	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe - Flächeninhalt Aus drei Brettern b soll eine Rinne hergestellt werden. Der Querschnitt sieht wie das Viereck ABCD aus,wobei AD, DC und BC die Strecke b darstellen. [attach]18042[/attach] Die Frage ist nun, wie die Höhe h gewählt werden muss, damit der QUerschnitt maximalen Flächeninhalt hat! f(h) = bh + h (b^2 -h^2)^1/2 Die Funktion müsste doch eigentlich stimmen, nun müsste man die Ableitung machen: f'(h) = b+ (b^2-h^2)^1/2 - (h/(b^2-h^2)^1/2 Jetzt müsste man noch die Nullstellen bestimmen, aber das krieg ich irgendwie nicht hin.
25.05.2006, 15:22	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Flächeninhalt Also versteh nicht ganz, wie deine Ableitung zu stande kommt. $\begin{eqnarray} f(h) = b\cdot h + h \cdot \sqrt{b^2 - h^2 } \end{eqnarray}$ Das meinst du mit f(h), oder? Dann lautet aber f'(h) $\begin{eqnarray} f'(h) = b + \sqrt{b^2 - h^2} - \frac{h^2}{\sqrt{b^2 - h^2}} \end{eqnarray}$
25.05.2006, 17:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so wird das nix! Die Zeichnung korrespondiert keinesfalls mit der Angabe. Wenn nur die Länge der drei Bretter mit b vorgegeben ist, gibt es bereits ein Extremum für die Querschnittsfläche, die Angabe der Winkel mit 36° bzw. 72° ist somit hinfällig. Im Gegenteil wird die Aufgabe erst dann mit vertretbarem Aufwand - sogar relativ einfach - lösbar, wenn man den Winkel, den die Bretter mit der Basislinie einschließen, als Variable der zu maximierenden Funktion wählt. $\begin{eqnarray} h = b \cdot sin \alpha \end{eqnarray}$ Grundlinie (Major) = b + 2m $\begin{eqnarray} m = b \cdot cos \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A = (m + b) \cdot h = b^2 \cdot (cos \alpha + 1) \cdot sin \alpha \end{eqnarray}$ .. b ist konstant ..., -->Max usw. [Hinweis: Der Winkel wird zu 60°] mY+
25.05.2006, 17:33	Doro21	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, die Winkelaufangaben gibt es in der Orginalzeichnung auch nicht, nur die 4 Eckpunkte und die Höhe ist eingezeichnet. f'(x) hab ich genauso wie PrO, aber wie gehts jetzt weiter???
25.05.2006, 18:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum willst du das nicht mit dem Winkel als Argument rechnen? Es geht so am einfachsten. Kannst du dies (noch) nicht oder gibt's sonstige Probleme? Klar geht's auch mit h als Variable, du musst eben f(h) nach h ableiten und die Ableitung dann Null setzen! Mittels der 2. Ableitung prüfst du auf die Art des Extremums. Wegen der Wurzel ist die Rechnung ein wenig "haarig", aber durchaus machbar. Fang mal so an und schreibe, falls du noch wo hängen solltest, wo das Problem ist. mY+
25.05.2006, 18:44	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f'(h) = b + \sqrt{b^2 - h^2} - \frac{h^2}{\sqrt{b^2 - h^2}} = 0 \Longleftrightarrow b \cdot \sqrt{b^2 - h^2} = 2h^2 - b^2 \end{eqnarray}$ Jetzt quadrieren, dann zusammenfassen. Alles auf eine Seite, h² ausklammern...
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25.05.2006, 19:05	Doro21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme dann: 0 = h^2 * (h^2 - 3/4 b^2) raus. damit wäre h=0, h= (3/4b^2)^1/2 und h= - (3/4b^2)^1/2 die Nullstellen von f'(h) Aber wenn ich h=0 in f'(h) einsetze, erhalte ich doch 2*b, das kann doch nicht sein.
25.05.2006, 21:01	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann probier mal $\begin{eqnarray} h=\frac{\sqrt{3}}{2} b \end{eqnarray}$
25.05.2006, 22:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Pr0 Sie (Doro21) soll's eigentlich nachvollziehen, WIE man auf dieses Ergebnis kommt. $\begin{eqnarray} h = 0 \end{eqnarray}$ ist EINE der beiden Extremstellen, bei $\begin{eqnarray} h^2 = \frac{3}{4}b^2 \end{eqnarray}$ ist die ANDERE. So, @Doro21, wie zieht man denn aus $\begin{eqnarray} \frac{3}{4}b^2 \end{eqnarray}$ die Wurzel? Die Exponentialschreibweise mit gebrochener Hochzahl bringt hier nichts, vielmehr verwende die Methode des teilweisen Radizierens: Aus $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ und 4 kann man nämlich die Quadratwurzel ziehen! Und: Wie groß wird wohl die Fläche bei h = 0 sein? Ist diese Lösung brauchbar? mY+
26.05.2006, 00:33	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke die Umformung von h^2 zu h ist offensichtlich. Die einzige Frage, die dabei entstehen dürfte, ist die nach der Negation. Dies ist aber sowohl logisch, als auch rechnerisch leicht nachzuweisen (negative Längen machen zumindest in der Schule kaum Sinn).
26.05.2006, 08:44	Billi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also auf h= $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray}$ *b bin ich auch gekommen und dass die negative Lösung unbrauchbar ist und Null natürlich auch, ist klar. Ich verstehe aber nicht, warum ich wenn ich h=0 zur Probe in f'(h) einsetze nicht Null herausbekomme.
26.05.2006, 16:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du h = 0 in die erste Ableitung einsetzt, bekommst du b + b = 2b. Das liegt daran, dass die Quadratwurzel zwei Vorzeichen hat, die durch das nachfolgende Quadrieren sozusagen "verwässert" wurden, denn nach dem Quadrieren ergibt sich ja immer "plus". Setzt du die Wurzel negativ, so kommt b - b = 0 !! Wurzelgleichungen, welche man mittels Quadrieren der gesamten Gleichung zu lösen sucht, enthalten deswegen immer neben der richtigen Lösung meistens auch falsche Lösungen (hier: h = 0, diese ist offensichtlich falsch). Man muss aus diesem Grunde die vermeintlichen Lösungen von Wurzelgleichungen immer durch Einsetzen in die ANFANGS-Gleichung (also die Gleichung VOR dem Quadrieren) verifizieren und auch überprüfen, ob diese Lösungen auch in der Definitionsmenge liegen. Gr mYthos

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