lokales Extremum

25.05.2006, 17:15

nullstell0

lokales Extremum

guten tag,
hier ist eine aufgabe. mit der komme ich irgendwie nicht im einklang. folgendermaßen ist sie definiert:

Bestimmen sie die lokalen Extrema der folgenden Funktion:

$\begin{eqnarray*} g: ( - \pi , \pi)^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} g(x) := sin x_1 sin x_2 \end{eqnarray*}$

so, und was mich nun hier so wahnsinnig stört, ist dieses $\begin{eqnarray*} ( - \pi , \pi)^2 \end{eqnarray*}$ , was hat dieses zu bedeutet? was kann man damit anfangen?

kann mir das jemand sagen? ich weiß damit wirklich nichts mit anzufangen. traurig

25.05.2006, 17:32

Abakus

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RE: lokales extrema

Zitat:

Original von nullstell0
Bestimmen sie die lokalen Extrema der folgenden Funktion:

$\begin{eqnarray*} g: ( - \pi , \pi)^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} g(x) := sin x_1 sin x_2 \end{eqnarray*}$

so, und was mich nun hier so wahnsinnig stört, ist dieses $\begin{eqnarray*} ( - \pi , \pi)^2 \end{eqnarray*}$ , was hat dieses zu bedeutet? was kann man damit anfangen?

Du hast hier eine Funktion in 2 Variablen, also $\begin{eqnarray*} g: ( - \pi , \pi) \times (- \pi , \pi) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g(x) = g(x_1, x_2) := \sin x_1 \cdot \sin x_2 \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

25.05.2006, 17:57

Bjuf

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Das sagt einfach aus, dass deine Werte $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ nicht aus dem ganzen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ kommen sonder nur aus dem offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi)^2 \end{eqnarray*}$ , welches eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Bei der Berechnung deiner Extrema kommt für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ schonmal nicht $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ in Frage (da Intervall offen) sondern nur Werte dazwischen. smile

25.05.2006, 21:38

Barbara19

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Zur Übung wollte ich mich mal an dieser aufgabe versuchen. hörte sich am anfang zumindest vom prinzip hr ähnlich an wie die von mir gestellte aufgabe.

nur irgendwie ist diese aufgabe noch einen tick komplizierter musste ich feststellen. aber ich will trotzdem versuchen diese aufgabe zu verstehen. um mein verständnis zu diesen aufgaben zu verfestigen.

als die ableitung bilden war ja noch kein problem:

$\begin{eqnarray*} \nabla = (cos x_1 sin x_2 , sin x_1 cos x_2) \end{eqnarray*}$

aber wie soll das jetzt weitergehen? man muss ja jetzt praktisch punkte suchen, wo die 2 abgeleiteten funktionen gleich 0 werden.
und da ist schonal der erste Punkt bei (0,0). aber irgendwie habe ich das gefühl, dass es hier noch ein paar mehr punkte gibt.sonst würde man das hier nicht eingrenzen. wie kann man das denn jetzt hier nun berechnen, wieviele extremwerte diese funktion nun hat?

kann mir da jemand einen tipp geben. das komplizierte für mich ist jetzt, dass 2 Variable existieren.

$\begin{eqnarray*} cos x_1 sin x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin x_1 cos x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

wie soll man da die punkte berechnen?

25.05.2006, 22:10

JochenX

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nutze: es gilt nie zugleich sin(a)=0 und cos(a)=0

damit ergeben sich die beiden Fälle:
sin(x1)=0 und sin(x2)=0
cos(x1)=0 und cos(x2)=0

das liefert relativ wenige Fälle, die du dann mit der "zweiten Ableitung" überprüfen kannst

25.05.2006, 22:46

Barbara19

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ok, gut. ich habe nochmal drüber nachgedacht. es kann wirlich nie sin 0 und cos 0 gelten.das wäre ein ding der unöglichkiet.

dann bleib doch eigetnlich nur noch ein punk übrig. und zwar (1,1) oder?

denn:

cos x_ 1 sin x_2 = 0 ist äqualent zu cos 1 sin 0 = 0

und

sin x_1 cos x_2 = 0 ist äqualent zu sin 0 cos 1 = 0

und somit bleibt doch wirklich nur noch ein punkt übrig. und zwar

(1,1)

oder?

25.05.2006, 23:44

JochenX

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bitte wie kommst du denn auf (1,1)? weder sin(1)=0 noch cos(1)=0.....
Denkfehler?

25.05.2006, 23:48

Barbara19

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ja ok. ich wollte das eben posten. du warstaber doch einen tick schnelle.

aufjedenfall geht es anscheinend doch nicht so.

aber jetzt weiß ich echt nicht mehr weiter, wie ich jetzt die Punkte berechnen soll.

wie ist denn der rechenweg, für die bestimmung der punkte. ich glaube ich bekomme das nicht hin traurig

25.05.2006, 23:54

riwe

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off topic von einem alten lateiner:
die einzahl nennt sich extremUM, mehrzahl extreMA.
nix für ungut Big Laugh

aber ich meine, höhere mathematik und deutsch sind kompatibel.
werner

26.05.2006, 00:06

JochenX

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Zitat:

damit ergeben sich die beiden Fälle:
sin(x1)=0 und sin(x2)=0
cos(x1)=0 und cos(x2)=0

na schau es dir an:
der Fall 1) ist nur für x1=0, x2=0 machbar; denn andere Nullstellen hat der Sinus im angegebenen Intervall nicht
Fall 2) ist für welche x1,x2 erfüllt?

26.05.2006, 00:21

gast7

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für x_1 = 90 und x_2 = 90 ,oder?

26.05.2006, 00:22

gast7

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beim cos selbstverständlich meine ich

26.05.2006, 00:32

JochenX

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"90" liegt da nicht drin, wir rechnen nicht mit ° und wenn solltest du auch 90° sagen.

beide pi/2 ist eine mögliche Belegung, wie sieht es mit beide -pi/2 aus?
oder gemischt?

26.05.2006, 11:08

Frooke

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Titel geändert

Es heisst: Das Extremum, die Extrema Augenzwinkern

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lokales Extremum

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