irreduzible Polynome über den reellen Zahlen

25.05.2006, 18:47

PsychoCat

irreduzible Polynome über den reellen Zahlen

Ich soll alle reduziblen Polynome über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ angeben. Bei Wikipedia hab ich gefunden

Zitat:

Jedes irreduzible Polynom über den reellen Zahlen hat Grad 1 oder 2.

Aber was ist z.B. mit $\begin{eqnarray*} x^4+1 \end{eqnarray*}$ ? Das hat nur komplexe Nullstellen, also dürfte es doch über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ irreduzibel sein oder? Der Grad ist aber 4. Hammer

Ist das bei Wikipedia nun falsch?

Und mit meiner Aufgabe bin ich damit immernoch nicht weiter. Bisher habe ich mir nur überlegt, dass der Grad gerade sein muss, denn Polynome mit ungeradem Grad haben ja mind. eine reelle Nullstelle.

25.05.2006, 19:00

JochenX

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Die Aussage ist korrekt.

x^4+1 ist nicht irreduzibel, nur weil es keine Nullstelle in IR hat.
Dann zerfällt es eben in zwei Faktoren vom Grad 2.

Versuch's mit einem Ansatz: $\begin{eqnarray*} (x^2+ax+b)*(x^2+cx+d)=x^4+1 \end{eqnarray*}$

edit 19.05: ich habe eine Zerlegung gefunden smile

25.05.2006, 19:54

PsychoCat

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ok ich glaub ich habs.
Wenn das Polynom einen geraden Grad >2 und keine reelle Nullstelle hat, dann hat es eine komplexe und eine komplex konjugierte. Wenn man nun die beiden Linearfaktoren multipliziert, dann bekommt man einen Faktor der Form $\begin{eqnarray*} x^2-a \end{eqnarray*}$ wobei a wieder reell ist, was man zeigen kann smile

Jetzt hab ich da aber noch eine weitere Aufgabe. Und zwar soll ich alle irreduziblen Polynome mit Grad <=4 über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ angeben. Mit Grad <=3 hab ich das noch hinbekommen, weil da ein Satz besagt, dass das genau die Polynome sind, die keine Nullstelle haben, aber was mache ich mit denen vom Grad 4 geschockt

25.05.2006, 20:54

JochenX

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Ganz richtig ist das nicht, es kommt schon ein Polynom vom Typen (X^2+aX+b) raus.
Die Idee ist aber gut: Sei a+ib (hast du das a vergessen?) eine komplexe Nullstelle (die nicht reell ist!).
Dann ist mit (X-a-ib) auch (X-a+ib) drin, die beiden kannst ausmultiplizieren und bekommst dann eine Form.......

Naja, über IF^2 gibt es nicht gerade viele Polynome vom Grad <=4, insgesamt 16, davon hast du mit dem Grad <=3 ja schon 8 eingeordnet.
Schreibe dir die anderen 8 mal hin, du wirst einige gleich ausschließen können (alle diejenigen, die Nullstellen haben).
Für die anderen, die keine Nullstellen haben (und das sind sehr wenige) machst du dann wieder den Ansatz von oben.
Diesmal können deine Koeffizienten nur 0 und 1 sein, deswegen geht das ratzfatz.

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