Ableitung

26.08.2008, 18:10

toast

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Ableitung

Hab da mal ne Frage und zwar:

Wenn ich die Funktion $\begin{eqnarray*} X=Y^{2}+\sin(XY) \end{eqnarray*}$ ableite, muss ich ja einmal nach y und einmal nach x ableiten. wenn ich allerdings nach y ableite steht ja dann da:
$\begin{eqnarray*} Y^{2}=X-\sin(XY) \end{eqnarray*}$ . Muss ich die Rechte Seite noch unter ne Wurzel schreiben oder kann ich die ^2 vernachlässigen??

26.08.2008, 18:14

Rare676

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Was du da schreibst habe ich persönlich noch nie gesehen. Vllt irre ich mich aber auch.
Im ersten Fall solltest du erstmal eine Funktion hinschreiben, und von welcher Variable sie abhängt.

Also irgendwie sowas wie f(x), f(t) oder f(x,y)

Das was du da hingeschrieben hast ergibt in meinen Augen keinen Sinn...

26.08.2008, 18:18

toast

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k ich schreibs mal so wies auf dem Blatt hier steht.

Bilden sie die erste Ableitung $\begin{eqnarray*} Y'=\frac{dY}{dX} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X=Y^{2}+\sin(XY) \end{eqnarray*}$

Kann mir da jemand helfen. Ich hab zwar die Lösung komme aber nicht direkt drauf.

26.08.2008, 21:01

kiste

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Hattet ihr den Satz von der impliziten Funktion? Den kann man hier anwenden, zumindest wenn man die Ableitung an einer bestimmten Stelle kennen will verwirrt

verwirrt

26.08.2008, 21:49

toast

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ne ich hatte das noch nie. Ich hab versucht mir es übers inet beizubringen. Das is ne Aufgabe die ich für mein studium brauche das ich erst im oktober anfang.

26.08.2008, 21:51

kiste

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Wie wärs wenn du uns die Lösung auch mal gibst? Darf die von y abhängen?

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26.08.2008, 21:53

WebFritzi

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Man kann auch einfach direkt ableiten. Es steht ja nirgends geschrieben, dass die Ableitung nur von X abhängen soll. Dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} Y' = \frac{1-Y\cos(XY)}{2Y + X\cos(XY)}. \end{eqnarray*}$

26.08.2008, 22:18

toast

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ja das ist die lösung aber mir fehlen die zwischenschritte. Wenn ich y' haben möchte, muss ich die "Funktion" dann erst nach Y auflösen, so dass da steht:

$\begin{eqnarray*} Y=\sqrt{X-\sin(XY)} \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich das ableite krieg ich was anderes mit ner Wurzel raus.
Wie meinst du das mit dem direkt ableiten??

26.08.2008, 22:20

WebFritzi

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Du musst hier nichts auflösen. Du hast das:

Zitat:

Original von toast
$\begin{eqnarray*} X=Y^{2}+\sin(XY) \end{eqnarray*}$

Leite einfach beide Seiten nach X ab.

EDIT: Ganz nebenbei hattest du auch nicht nach Y aufgelöst, denn auf der rechten Seite steht immernoch ein Y.

26.08.2008, 22:28

toast

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dann steht da ja:

$\begin{eqnarray*} 1=Y\cdot\cos(XY) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=1-Y\cdot\cos(XY) \end{eqnarray*}$

und wie komm ich auf den nenner?

26.08.2008, 23:00

toast

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Ich glaub ich hab ne Idee weiß aber nicht ob die stimmt.

Ich leite einmal beide Seiten nach X und nach Y ab.

Nach X abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} 1=Y\cdot \cos(XY) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=1-Y\cdot \cos(XY) \end{eqnarray*}$

Nach Y abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} 0=2Y+X\cdot \cos(XY) \end{eqnarray*}$

Gleichsetzten:

$\begin{eqnarray*} 1-Y\cdot \cos(XY)=2Y+X\cdot \cos(XY) \end{eqnarray*}$

und nach $\begin{eqnarray*} Y'=\frac{dY}{dX} \end{eqnarray*}$

lautet das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} Y'=\frac{1-Y\cdot \cos(XY)}{2Y+X\cdot \cos(XY)} \end{eqnarray*}$

Also wenn das so stimmen sollte frag ich mich warum bei dY das nach X aufgelöste eingesetzt wird und bei dX das nach Y aufgelöste.
Ein Ergebnis hab ich mal zumindest. Ich hoff mal meine Gedanken sind richtig so

26.08.2008, 23:08

kiste

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y bedeutet nichts anderes als y(x). Das musst du nach der Kettenregel ableiten.

26.08.2008, 23:30

WebFritzi

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Zumindest musst du Y² mit der Kettenregel ableiten. Y ist bezüglich X keine Konstante.

26.08.2008, 23:50

toast

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stimmt das nun oder doch nich??

27.08.2008, 00:01

WebFritzi

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Hast du irgendwo die genannte Kettenregel angewendet? Nein? Dann wohl nicht...

27.08.2008, 14:51

toast

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ne natürlich nicht^^
um von sin(xy) auf den cosinus zu kommen braucht man ja keine kettenregel^^

27.08.2008, 15:10

WebFritzi

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Doch. Zumindest, um sin(XY) abzuleiten. Überleg dir mal, warum...

27.08.2008, 15:23

toast

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das war ironie^^
aber ich mach mal so wie ich es verstanden habe was du geschrieben hast

und wenn ich y als y(x) ansehe und das ableite dann sieht das Ergebnis so aus:

$\begin{eqnarray*} X=Y^{2}+\sin(XY) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X=(Y(X))^{2}+\sin(XY(X)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=X^{2} u'=2X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=Y(X) v'=Y'(X)\cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=\sin(X) u'=\cos(X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=XY(X) v'=1\cdot Y(X)+X\cdot Y'(X)\cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=2(Y(X))\cdot Y'(X)+\cos(XY(X))\cdot 1\cdot Y(X)+X \cdot Y'(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-Y\cdot \cos(XY)=2Y\cdot Y'+X\cdot Y' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-Y\cdot \cos(XY)=Y'(2Y+X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y'=\frac{1-\cos(XY)\cdot Y}{2Y+X} \end{eqnarray*}$

da fehlt der Kosinus, wo bekomm ich den her??

27.08.2008, 15:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von toast
$\begin{eqnarray*} 1=2(Y(X))\cdot Y'(X)+\cos(XY(X))\cdot 1\cdot Y(X)+X \cdot Y'(X) \end{eqnarray*}$

Das ist fast richtig. Geht doch. Du hast nur zwei Klammern vergessen. Übrigens solltest du sowas wie

$\begin{eqnarray*} 1\cdot \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \cdot 1 \end{eqnarray*}$

weglassen. Es bringt nichts.

27.08.2008, 15:39

toast

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okay dann ist das das Ergebnis dieser Aufgabe

$\begin{eqnarray*} X=Y^{2}+\sin(XY) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X=(Y(X))^{2}+\sin(XY(X)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=X^{2} u'=2X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=Y(X) v'=Y'(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=\sin(X) u'=\cos(X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=XY(X) v'=1\cdot Y(X)+X\cdot Y'(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=2(Y(X))\cdot Y'(X)+\cos(XY(X))\cdot (Y(X)+X \cdot Y'(X)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=2(Y(X))\cdot Y'(X)+Y(X)\cdot \cos(XY(X))+X\cdot \cos(XY(X))\cdot Y'(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=2Y\cdot Y'+Y\cdot \cos(XY)+X\cdot \cos(XY)\cdot Y' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-Y\cdot \cos(XY)=2Y\cdot Y'+X\cdot \cos(XY)\cdot Y' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-Y\cdot \cos(XY)=Y'(2Y+X \cdot \cos(XY)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y'=\frac{1-\cos(XY)\cdot Y}{2Y+X \cdot \cos(XY)} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Hilfe nochmal

27.08.2008, 15:53

WebFritzi

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Das ist so richtig. Freude

Freude

Zitat:

Original von toast
Vielen Dank für deine Hilfe nochmal

Wieso "nochmal"? Du hattest dich noch nich bedankt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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