Vollständige Induktion

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Tiger Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
Hallo alle zusammen! Wink

Ich bräuchte mal Hilfe bei folgender Aufgabe, da ich seit geräumer Zeit keinen Schritt weiter komme. Habe die Aufgabe als Förderung bekommen und hatte das noch nicht im Schulunterricht, auch das Verfahren der Vollständigen Induktion hat mir lediglich ein Freund beigebracht.

Bewiesen werden soll, dass der Term n³+6n²+14n immer restlos durch 3 teilbar ist. n soll dabei jede beliebige natürliche Zahl sein.

Ich habe mir dazu schon ein paar Gedanken gemacht...
6n² ist immer durch 3 teilbar, da 6 ein Vielfaches von 3 ist und 6n² ein Vielfaches von 6.
Bleibt noch n³+14n.
--> n( n²+14)
Wenn ich jetzt noch beweisen könnte, dass n²+14 immer durch 3 teilbar ist wäre die Aufgabe gelöst, oder?
n= 1
1²+14 = 15 für n=1 stimmt's also schon mal

(n+1)² +14
=n²+ 2n +1 +14
=n²+ 2n +15 .......???????? Keine Ahnung, ob das in die richtige Richtung geht.

Danke schonmal!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Nciht mein Typ aber,


Wenn n ein Vielfaches von drei ist, dann passt das Bleibt noch zu zeigen, dass für die "zwei Zahlentypen" zwischen zwei dreiern der Term



durch 3 teilbar ist.

Modulo
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ könnte man auch ganz normal die vollständige Induktion wagen. Ich halte das erlich gesagt auch für einfacher, weil man die Fälle nicht extra untersuchen muss.
Und wenn es als Förderung gedacht ist, ist es bestimmt auch ratsam beide Beweismethoden auszuprobieren.

Ich würde also zeigen, dass die Aufgabe mit n=1 erfüllt wird, dann die Induktionvoraussetzung nutzen und dann im Induktionsschluss mit n=n+1 abschließen. (Gut, so macht man das ja immer, aber wer weiß ob Tiger das weiß.)
Vielleicht versuchst du das mal Tiger, wenn du magst, kannst du aber natürlich auch Tigberbines vorschlag nutzen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher geht es auch anders. Man muss auch nicht faktorisieren, um die Modulo Argumentation zu verwenden. In dieser Variante braucht man dann aber auch imho gar keine Vollständige Induktion. Wir haben bzgl. der Division durch die Rest 0,1,2. Diese 3 Fälle würde ich untersuchen, und eben zeigen, dass gilt Term



Dazu eben die Rechenregeln für "Reste" benutzen: http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)#Rechenregeln
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja...aber ich gehe mal schwer davon aus, dass sie es wohl ohne einen zahlentheoretischen Ansatz machen soll, auch wenn es natürlich eleganter ist.

Mache es einfach nach Schema F:

Zeige dass die Behauptung für n=1 stimmt.
Danach zeige dass auch A(n+1), also (n+1)³+6(n+1)²+14(n+1) auch durch 3 teilbar ist.

Da musst du nur die Klammern alle ausflösen, die Behauptung A(n) identifizieren (denn diese ist laut Voraussetzung in jedem Fall durch 3 teilbar) und dann noch zeigen, dass der Restterm auch noch durch 3 teilbar ist.

Edit:

Ich sehe gerade dass das Zizou ja schon angesprochen hat...sorry

Gruß Björn
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