Der Gegenvektor

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Mathephobikerin Auf diesen Beitrag antworten »
Der Gegenvektor
Danke erstemal für die Hilfe gestern!


So und nun wieder mal eine ganz banale Frage:

heute: Was ist ein Gegenvektor.
Ich möchte mir zu einigen Phänomenen der Vektorenrechnung Definitionen ausdenken, die so einleuchtend sind, dass ich das gut verstehe: ALso keine komischen Figuren oder so als Darstellungsweise.

Ich habe mir Gedanken zum Gegenvektor ausgedacht, aber bevor ich mich darauf verlasse, würde ich das gerne von echten Matheprofis verifiziert haben.
Also :
der Gegenvektor unterscheidet sich vom eigentlichen Vektor nur durch die Richtung. Er muss zum eigentlichen Vektor kollinear sein.
Er muss auch den gleichen Betrag haben.
Wenn ich den Gegenvektor habe, existiert dann der eigentliche Vektor noch?
Könnten sie eigentlich aufeinander liegen?
Brauch ich den Gegenvektor zu noch was anderem als der Subtraktion?

Danke
die Mathephobikerin
MaLo Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenvektor ist einfach der Vektor mit nem - davor.

Subtraktion von vektoren ist ja eigentlich nicht definiert, deswegen addiert man den Gegenvektor Augenzwinkern

Spezielle Gebiete wo man den brauch weis ich jetzt nicht ... der macht eigentlich das Rechnen nur leichter ab und zu Augenzwinkern

Aber da is nix besonderes dran.
Mathephobikerin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!


Mein Erguss war jetzt eigentlich auch eher auf die Zeichnung der Subtraktion bezogen.
Da kann man das schon sagen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nur um Mißverständnissen vorzubeugen: Den (betont!) Gegenvektor gibt es nicht. Man kann nur sagen: "Vektor soundso ist Gegenvektor des Vektors soundso", oder noch besser: "Die Vektoren ticktick und tacktack sind Gegenvektoren voneinander".
"Gegenvektor" bezeichnet also eine Verwandtschaft zwischen Vektoren und kann nur in Bezug auf zwei (!) Vektoren verwendet werden: Entweder sind diese beiden Gegenvektoren voneinander oder sie sind es nicht.
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MaLo
Gegenvektor ist einfach der Vektor mit nem - davor.

Subtraktion von vektoren ist ja eigentlich nicht definiert
Äh....doch
Mathephobikerin Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist schon witzig, was so ein Gegenvektor für Diskussionen sprießen lassen kann.

Ich wollte aber nur wissen, ob das was ich da gesagt habe richtig ist, auch wenn es kompliziert klingt.
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Trazom
Zitat:
Original von MaLo
Gegenvektor ist einfach der Vektor mit nem - davor.

Subtraktion von vektoren ist ja eigentlich nicht definiert
Äh....doch

grundlegend nein, da stimme ich MaLo eigentlich zu

aber die Definition , wobei -v der EINDEUTIGE inverse Vektor zu v ist, ist halt überall geläufig.
Die eindeutige Existenz von -v folgt aus der Gruppeneigenschaft, dabei ist "+" die Gruppenverknüpfung und hat im Allgemeinen gar nix mit unserem bekannten + zu tun.


Zitat:
Gegenvektor ist einfach der Vektor mit nem - davor.

das hingegen halte ich für etwas schluderig ausgedrückt, denn eigentlich sollte man noch definieren, was "- davor " bedeutet. Nämlich die skalare Multiplikation des Vektors mit der "-1", dem additiven Inversen der 1 des Grundkörpers.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ LOED

Wenn wir hier schon in die Axiomatik abschweifen (was Mathephobikerin wohl nicht so besonders viel nützt), dann will ich nur darauf hinweisen, daß der Begriff des Gegenvektors mit der skalaren Multiplikation zunächst gar nichts zu tun. Insofern widersprechen sich die beiden Antworten in deinem letzten Beitrag. MaLos Bemerkung ist wohl etwas oberflächlich, letztlich aber trifft sie den Kern:



Insofern steht das Minuszeichen davor tatsächlich für "Gegenvektor". Und daß



gilt, kann mit Hilfe der Vektorraumaxiome dann bewiesen werden.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast natürlich recht, das Minuszeichen kommt wohl eher direkt von der allgemein üblichen und ungemein nützlichen Schreibweise "-" aus additiven Gruppen (für die inversen Elemente).
Dass dann (-1)*v eben gerade dieser -v gibt, das ist das, was ich wohl hätte sagen sollen.

Das ganze war übrigens auch nicht für Mathephobikerin, sondern eher an Trazom gerichtet.
Da war ich wohl etwas Offtopic, verzeiht mir.
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch die Subtraktion gerade definiert. Wie kann man das behaupten, es sei nicht so?
Pr0 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nenn es das additiv Inverse...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Trazom
Wir haben doch die Subtraktion gerade definiert. Wie kann man das behaupten, es sei nicht so?

Lass es mich (aber vorsichtig, weil ich eventuell was dummes sag!) so ausdrücken..... definieren kannst du viel, üblicherweise sieht man es dann als "normal" an, wenn es einfach "üblich" wird, grundlegend ist das aber nicht.

Ich könnte diese Operation in einer Gruppe doch auch Division nennen (besonders, wenn es eine multiplikative Gruppe, also eine nichtabelsche Gruppe (moment!) ist).
Überhaupt ist doch diese übliche Weise, abelsche Gruppen "additiv" zu schreiben alles nur aus dem Mist gewachsen, dass es übersichtlich und einfach ist.

Aber weil was üblich ist, ist es imho nicht grundlegend.
Der Schritt von grundlegenden Vektorraumaxiomen (was MUSS überhaupt gelten, damit das ganze ein VRm ist) und angenehmen Vereinfachungen (wie z.B. wie können wir uns die Schreibarbeit sparen, aaaah, z.B. mit der Schreibweise mit dem Minus Idee! ) ist gegeben......

Und so sehe ich hier die Schreibweise mit dem Minus - nicht gottgegeben im VRm, sondern menschengemacht - aus gutem Grunde natürlich.
Mathephobikerin Auf diesen Beitrag antworten »

das ist ja alles sehr lieb von euch
aber sagt mal boys, wollt ihr mich ärgern?

hier wird meine Frage missbraucht um schändliches Wissen in Umlauf zu bringen.

Ich kriege da Angstausbrüche.
Mal sehen, was morgen für eine Frage in Umlauf gebracht werden könnte
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Original von Trazom
Wir haben doch die Subtraktion gerade definiert. Wie kann man das behaupten, es sei nicht so?

Lass es mich (aber vorsichtig, weil ich eventuell was dummes sag!) so ausdrücken..... definieren kannst du viel, üblicherweise sieht man es dann als "normal" an, wenn es einfach "üblich" wird, grundlegend ist das aber nicht.

Ich könnte diese Operation in einer Gruppe doch auch Division nennen (besonders, wenn es eine multiplikative Gruppe, also eine nichtabelsche Gruppe (moment!) ist).
Überhaupt ist doch diese übliche Weise, abelsche Gruppen "additiv" zu schreiben alles nur aus dem Mist gewachsen, dass es übersichtlich und einfach ist.

Aber weil was üblich ist, ist es imho nicht grundlegend.
Der Schritt von grundlegenden Vektorraumaxiomen (was MUSS überhaupt gelten, damit das ganze ein VRm ist) und angenehmen Vereinfachungen (wie z.B. wie können wir uns die Schreibarbeit sparen, aaaah, z.B. mit der Schreibweise mit dem Minus Idee! ) ist gegeben......

Und so sehe ich hier die Schreibweise mit dem Minus - nicht gottgegeben im VRm, sondern menschengemacht - aus gutem Grunde natürlich.


Alles klar, das verstehe ich schon eher. Liegt auch wohl daran, dass ich kein Mathestudent bin. Ich benutze Mathematik eben und kenne die Grundfesten nicht in allen Einzelheiten (weiß aber schon, was Gruppen, Ringe, Körper etc. sind)
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