Symmetrie und Extrema

26.05.2006, 12:53

Symmetrie und Extrema

HI Leute
Ich habe folgende Fragen:
Zur Symmetrie:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x)=-f(-x) \end{eqnarray*}$

so das erste ist für achsensymmetrie und das zweite für punktsymmetrie.
Doch ich habe nur bei punktsymmetrie ein Problem- nämlich um folgenden:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+x \end{eqnarray*}$

hier kann ich sofort zeigen, dass es punktsymmetrisch ist(nämlich durch definition)
$\begin{eqnarray*} f(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x) \end{eqnarray*}$

doch wenn ich jetzt solche funktionen habe (mit einem Absoluten Glied):

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+x+3 \end{eqnarray*}$

dann funktioniert die Definition nicht mehr, obwohl es punktsymmetrisch zu drei ist. Ich habe die Vermutung, dass es daran liegt, dass die 3 einen gerade exponenten hat, nämlich 0 und diese definition daher nur zum Ursprung geht.

Soll ich dann die drei weglassen beim zeigen der symmerie??
bsp:
$\begin{eqnarray*} f(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x) \end{eqnarray*}$
dann ergebnis: es ist punktsymmetrisch zur drei!
oder darf man das nicht so mathematisch???

Extrema:
Es gibt relative(lokale) und absolute(globale) extrempunkte. Ich finde es durch die Ableitungen, ob es sich um TP oder HP handelt. So wenn ich das habe, kann ich aus den Punkten heraus finden, ob es sich um relative oder absolute handelt.
Natürlich muss ich auch die grenzverhalten bestimmen einer ganzrationalen Funktion.
Nehmen wir ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
das hat bei $\begin{eqnarray*} (0/0) \end{eqnarray*}$ einen absoluten tiefpunkt und gegen unendlich verläuft es auf beiden seiten gegen unendlich. So nun ist die frage, wie ich das ausdrücken muss mit absolutem Hochpunkt??? Es hat ja auf beiden Seiten gegen unendlich??
Muss ich dann sagen, dass der absolute hochpunkt bei $\begin{eqnarray*} (-\infty/\infty) \end{eqnarray*}$
als auch bei $\begin{eqnarray*} (\infty/\infty) \end{eqnarray*}$ liegt?
Ich weiss nicht, wie ich das ausdrücken soll....

Ich wäre wie immer jeder Hilfe( aber bitte auch sicher sein) dankbar

26.05.2006, 13:03

JochenX

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ja, Achsensymmetrie, Punktsymmetrie nach Definition, bzw. mit den gegebenen Bedingungen ist i.A. falsch
Es handelt sich ausschließlich um die Symmetrie zu der besonderen Achse y-Achse, bzw. dem besonderen Punkt Ursprung.
Du gehst DABEI dann immer von f(-x) aus und prüfst, ob das f(x) oder -f(x) oder gar nix ist.

Bei anderen Symmetrien ist dieser Ansatz falsch.

Im Falle einer punktsymmetrischen Funktion (zu einem beliebigen Punkt (x0,y0)), die um c nach oben geschoben wurde, verschiebt sich natürlich auch der Symmetriepunkt auf (x0,y0+c).
Du kannst also damit agrumentieren, dass deine Funktion y=x^3+x+3 aus der "offensichtlich" ursprungssymmetrischen Funktion durch verschieben nach oben entsteht und darum also selbst den Symmetriepunkt.... hat.
Allerdings ist ... nicht 3 (Zahlenwert?), sondern (.../...) <- ein Punkt!

Zu deiner Extrema-Sache:
diese Funktion hat keinen Hochpunkt, ein Hochpunkt braucht waagrechte Steigung. Was du hier suchst, ist "nur" das globale Supremum (das in keinem Hochpunkt vorliegen muss).
Du könntest formulieren: "Die Funktion hat kein Supremum, da sie über alle Schranken hinaus wächst."

Gruß, Jochen

26.05.2006, 13:08

Leopold

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Achsensymmetrie zur Geraden $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f(a-x) = f(a+x) \end{eqnarray*}$

Punktsymmetrie zum Punkt $\begin{eqnarray*} S(a|b) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} b - f(a-x) = f(a+x) - b \end{eqnarray*}$ oder äquivalent $\begin{eqnarray*} f(a-x) + f(a+x) = 2b \end{eqnarray*}$

Eine Skizze zeigt dir, warum das die richtigen Bedingungen sind.

In deinem Fall willst du die Punktsymmetrie zu $\begin{eqnarray*} S(0|3) \end{eqnarray*}$ untersuchen. Du mußt also (2. Form) $\begin{eqnarray*} f(-x) + f(x) = 6 \end{eqnarray*}$ nachweisen.

26.05.2006, 13:46

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Zitat:

Original von LOED

Allerdings ist ... nicht 3 (Zahlenwert?), sondern (.../...) <- ein Punkt!

kann ich so argumentieren:
Die Funktion f(x) ist punktsymmetrisch zum Punkt (0/3) ?

ansonsten danke an beiden

26.05.2006, 14:08

mercany

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Zitat:

Original von PG
kann ich so argumentieren:
Die Funktion f(x) ist punktsymmetrisch zum Punkt (0/3) ?

Das ist eine Aussage, jedoch kein Argument.
Du müsstest schon den Grund für diese Aussage mit liefern.

Gruß, mercany

26.05.2006, 16:07

JochenX

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Zitat:

Original von PG
Die Funktion f(x) ist punktsymmetrisch zum Punkt (0/3) ?

da ist auf jeden Fall eine bedeutend sinnvollere Aussage

Die Begründung, die Mercany fordert, kannst du wie oben selbst vorgeschlagen liefern.

26.05.2006, 18:14

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also die Aussage ist das, was ich gesagt habe und nun das Argument:

Weil die Funktion um 3 nach oben von dem Ursprung auf der y-Achse verschoben wurde und sie(die Funktion) ohne das absolute Glied die Definition f(-x)=-f(x) erfüllt.

Wäre das ein gutes Argument??

Noch ne Frage habe ich:
1.Eine Tangente ist eine Gerade in einem bestimmten Punkt einer Kurve, die die Kurve nur an diesem Punkt berührt und die punktuelle Steigunge an diesem Punkt hat.

Aber es gibt ja auch Tangenten, die die Kurve an einem Punkt berühren, aber auch dann weitere Punkte schneiden.
Wäre das nicht gleichzeitig eine Tangente und Sekante?

2. Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve an zwei Punkten schneidet. Doch es gibt ja auch Geraden, die mehrere schneiden. Wie nennt man diese?

danke ihr seid die besten- weiter so Lehrer

26.05.2006, 18:24

JochenX

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Zitat:

Weil die Funktion um 3 nach oben von dem Ursprung auf der y-Achse verschoben wurde und sie(die Funktion) ohne das absolute Glied die Definition f(-x)=-f(x) erfüllt.

Wäre das ein gutes Argument??

ich mag die Formulierung nicht, sie wurde auch nicht nur vom Ursprung auf der y-Achse verschoben.
Lieber einfach: " Die Funktion entsteht aus der ursprungssyymetrischen Funktion y=.... durch verschieben um 3 in y-Richtung.
Alles verschiebt sich, insbesondere auch der Symmetriepunkt (0/0), der neue Symmetriepunkt ist also...."

Das wäre das ganze in Prosa, alternativ kannst du das natürlich auch mit oben genannter Formel von leopold nachrechnen, ist auch nicht schwerer.

Für Sekantenbestimmung betrachtest du 2, für Tangentenbestimmung einen Punkt.
Was diese Gerade außerhalb mit der Kurve macht ist dabei völlig egal.

Die berechnete Sekante durch x0 und x1 bleibt Sekante durch x0 und x1, auch wenn sie die Kurve noch 50 mal schneidet.
Sie ist dann natürlich ZUGLEICH auch eine andere Sekante und in dem Fall noch eine andere und...

26.05.2006, 18:39

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ohh stimmt es klingt logisch!!!
DAnke wie immer loed !!

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