Darstelllungsmatrizen linearer Abbildungen

26.05.2006, 15:30

phobos

Darstelllungsmatrizen linearer Abbildungen

Habe da ein Problem mit einer(für mich) etwas komplizierteren Matrizenaufgabe und vlt. könnt ihr ja ein wenig helfen?

Sei F : R² -> R² die Spiegelung an der x1-Achse. Sei G : R²-> R²
die Spiegelung an der 45°–Achse x1 = x2. Bestimme die Darstellungsmatrizen für die linearen
Abbildungen F, G, F G und G F.

Hab jetzt erstmal selber geguckt und bin zur Überlegung gekommen das ganze dann erstmal tatsächlich zu zeichnen und zwar per einfachen ²-Hyperbel und eine einfache 45°-Grade(jeweils gespiegelt).Bin dann drauf gestossen das sich daraus eine lineare Abbildung ergibt,woraus sich die Vektorräume ableiten lassen usw. .(kann auch totaler blödsinn sein)
Kann mir vlt. jmd seinen eigenen Ansatz erklären da meiner doch etwas unfundiert ist!

26.05.2006, 16:58

Abakus

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RE: Darstelllungsmatrizen linearer Abbildungen
Da es sich um lineare Abbildungen handelt, reicht es aus, die Bilder der Einheitsvektoren zu bestimmen. Diese Bild-Vektoren schreibst du spaltenweise in eine Matrix. Das ist die gesuchte Darstellungsmatrix, was einfaches Nachrechnen zeigt.

Grüße Abakus smile

26.05.2006, 17:16

Ben Sisko

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RE: Darstelllungsmatrizen linearer Abbildungen

Zitat:

Original von Abakus
Da es sich um lineare Abbildungen handelt, reicht es aus, die Bilder der Einheitsvektoren zu bestimmen.

Hier meinst du sicher die Vektoren der kanonischen Basis (die natürlich Einheitsvektoren sind, aber da gibt's ja noch ein paar andere Augenzwinkern

).

Gruß vom Ben

26.05.2006, 18:14

phobos

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Also hab da nat. auch noch Fragen. "Sei F : R² -> R² die Spiegelung an der x1-Achse. Sei G : R²-> R²
die Spiegelung an der 45°–Achse x1 = x2." Kannst du mir ein konkretes Bild davon machen oder ist das bspw. jetzt nur allg. gültig für Spiegelungen an der X1 Achse bzw. an der 45°-Achse?
Also für R² dann einfach $\begin{eqnarray*} \mathbf{i} = e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad \mathbf{j} = e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder was wären den genau Bild-Vektoren der Spiegelungen? smile

Edit: LaTeX-Tags eingefügt. Ben

26.05.2006, 18:21

Ben Sisko

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Zitat:

Original von phobos
Also für R² dann einfach $\begin{eqnarray*} \mathbf{i} = e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad \mathbf{j} = e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sind die Basisvektoren. Die sollst du spiegeln. Was kommt dann raus?

26.05.2006, 18:35

phobos

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$\begin{eqnarray*} \mathbf{i} = e_1 = \begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix},\quad \mathbf{j} = e_2 = \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ denke ich mal... Ich verstehe jetzt nur nicht wie ich das jetzt in den Zusammenhang mit F bzw. G bringen soll?
P.S. danke fürs edit Ben,immer wieder schön wenn Anfängern so geholfen wird Freude

27.05.2006, 16:43

Abakus

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Das ist die Ausgangssituation:

Zitat:

Original von phobos
Also für R² dann einfach $\begin{eqnarray*} \mathbf{i} = e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad \mathbf{j} = e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt sind gesucht:

$\begin{eqnarray*} F(e_1) = F(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}) =~?, F(e_2) = F(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}) =~? \end{eqnarray*}$

Dasselbe dann für G.

Grüße Abakus smile

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