Quotientenregel

26.05.2006, 15:51

Kira 007

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Quotientenregel

Hallo ich möchte gerne nochmal auf folgende Aufgabe zurück kommen

mit der Quotientenregel

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{5}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{5}{2\sqrt{x}}*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-5}{2}*x^{\frac{1}{2}}*x^\frac{2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-5}{2\sqrt{x^3}} \end{eqnarray*}$

ohne Quotientenregel

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-5}{2}*x^\frac{-3}{2} \end{eqnarray*}$

die müssten stimmen frage mich nur warum ich die andere Aufgabe dann nicht verstehe die ich Gestern gepostet habe verwirrt

verwirrt

26.05.2006, 16:01

klarsoweit

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RE: Quotientenregel

Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{5}{2\sqrt{x}}*x \end{eqnarray*}$

Falsch. Das hat auch nichts mit der Quotientenregel zu tun, sondern mit der Potenzregel. Schreibe so:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{5}{\sqrt{x}} = 5 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

26.05.2006, 16:04

Kira 007

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wieso falsch ich erhalte doch dann die Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-5}{2\sqrt{x^3}} \end{eqnarray*}$ das steht bei mir sogar als Lösung im Script verwirrt

verwirrt

26.05.2006, 16:47

mercany

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Dein Ansatz ist aber nicht korrekt!

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{5}{\sqrt{x}} = 5 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& -\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot x^{-\frac{3}{2}} \\\\ &=& -\frac{5}{2 \cdot x^{\frac{3}{2}}} \\\\ &=& -\frac{5}{2 \cdot \sqrt{x^3}} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

26.05.2006, 17:32

Kira 007

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Alles klar

habs verstanden das müsste aber dann doch bei der Aufgabe genau so gehen

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4}{\sqrt{2-x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& -\frac{1}{2} \cdot 4(2-x) \cdot ^{-\frac{2}{2}} \end{eqnarray*}$

26.05.2006, 17:43

PSM

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Nein, Kira, wende einfach die Kettenregel an. Die kennst du doch, oder?

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26.05.2006, 17:54

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} \frac{-4}{2}*(2-x)^\frac{-3}{2}*(1) \end{eqnarray*}$

26.05.2006, 17:58

klarsoweit

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RE: Quotientenregel

Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{5}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Hatte es erst nicht verstanden. Du willst die Funktion statt mit Potenzregel mal mit Quotientenregel ableiten. OK, das geht so:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{0 \cdot \sqrt{x} - 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{-5}{2\sqrt{x} \cdot x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} \frac{-4}{2}*(2-x)^\frac{-3}{2}*(1) \end{eqnarray*}$

Fast richtig. Was ist die Ableitung von 2-x ?

26.05.2006, 18:02

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f'(x)\frac{-4}{2}*(2-x)^\frac{-3}{2}*(-1) \end{eqnarray*}$

Sorry hatte das Minus vergessen

26.05.2006, 18:04

klarsoweit

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Mach noch ein f'(x)= davor, dann stimmt es 100%. Freude

Freude

26.05.2006, 18:09

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f'(x)\frac{-4}{2}*(2-x)^\frac{-3}{2}*(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4}{2\sqrt[2]{(2-x^3)}{}} \end{eqnarray*}$

26.05.2006, 18:12

derkoch

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Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} f'(x)\frac{-4}{2}*(2-x)^\frac{-3}{2}*(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4}{2\sqrt[2]{(2-x^3)}{}} \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} ^3 \end{eqnarray*}$ aus der klammer raus dann paßt es!

26.05.2006, 18:14

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f'(x)\frac{-4}{2}*(2-x)^\frac{-3}{2}*(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4}{2\sqrt[2]{(2-x)^3}{}} \end{eqnarray*}$

so müsste es stimmen smile

smile

endlich hab ich das richtig verstanden könnte die jetzt auch noch mit Qoutientenregel berechnen.

Danke für eure Hilfe

Gruß Kira

26.05.2006, 18:26

Kira 007

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hier noch einmal das ganze mit der Qoutientenregel

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{0*\sqrt{2-x}--\frac{4}{2\sqrt{2-x}}}{(2-x)^2} \end{eqnarray*}$

bin mir bei dem Nenner nicht ganz sicher stimmt das so

26.05.2006, 18:28

derkoch

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Zitat:

Original von Kira 007
hier noch einmal das ganze mit der Qoutientenregel

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{0*\sqrt{2-x}--\frac{4}{2\sqrt{2-x}}}{(2-x)^2} \end{eqnarray*}$

bin mir bei dem Nenner nicht ganz sicher stimmt das so

der nenner war doch am anfang $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$
wieso hast du das wurzelzeichen plötzlich weggelassen? du mußt immer den kompletten nenerausdruck der ausgagsfunktion quadrieren!

26.05.2006, 18:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von derkoch
der nenner war doch am anfang $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$
wieso hast du das wurzelzeichen plötzlich weggelassen? du mußt immer den kompletten nenerausdruck der ausgagsfunktion quadrieren!

Weil Kira mal mit Quotientenregel rechnen will und da muß man den Nenner quadrieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Leider hat sie jetzt zuviel quadriert.

26.05.2006, 18:32

mercany

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Zitat:

Original von Kira 007
hier noch einmal das ganze mit der Qoutientenregel

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{0*\sqrt{2-x}--\frac{4}{2\sqrt{2-x}}}{(2-x)^2} \end{eqnarray*}$

bin mir bei dem Nenner nicht ganz sicher stimmt das so

Korrekt, jetzt noch zusammenfassen.
Und allgemein setzt man Klammern, wenn ein Minuszeichen auf das andere folgt.

edit: Mist, dachte das wäre ne Wurzel, waren aber doch nur Klammern!
Nehme es zurück. Der Nenner past noch nicht!

Gruß, mercany

26.05.2006, 18:51

Kira 007

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wie müsste der den noch lauten ich muss ja rechnen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-x}*\sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} (2-x)^\frac{1}{2}*(2-x)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

würde ergeben für den Nenner $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2-x})^2 \end{eqnarray*}$

also

26.05.2006, 18:56

derkoch

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Zitat:

Original von Kira 007
wie müsste der den noch lauten ich muss ja rechnen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-x}*\sqrt{2-x} \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} (2-x)^\frac{1}{2}*(2-x)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

entweder $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2-x})^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (2-x) \end{eqnarray*}$ aber nicht das was du zusammen gemixt hast!

26.05.2006, 19:02

Kira 007

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Zu spät Editiet hatte es auch schon

bzw. $\begin{eqnarray*} (2-x)^\frac{1}{2}*(2-x)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

würde ergeben für den Nenner $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2-x})^2 \end{eqnarray*}$

und dann kann ich das wieder zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4}{2}x*^\frac{-1}{2}*(2-x)^\frac{-2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4}{2\sqrt[2]{(2-x)^3}{}} \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

26.05.2006, 20:21

Kira 007

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Obwohl ich die Aufgabe bereits verstanden habe würde mich noch interessieren warum der Exponent von $\begin{eqnarray*} (2-x) \end{eqnarray*}$ negativ ´wird wenn ich das ohne Wurzel rechne

26.05.2006, 20:53

mercany

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Potenzregel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow f'(bx) &=&\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} \\ &=& \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Und bei Funktion wie $\begin{eqnarray*} f(x) = (x-2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ läuft das genauso ab, nur das hier nach Kettenregel abgeleitet werden muss, daher multiplizierst du die Äußere Ableitung halt noch mit der Inneren.

Gruß, mercany

26.05.2006, 21:12

Kira 007

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Alles klar Danke Mercany

26.05.2006, 21:32

Kira 007

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da ich im moment am Üben bin hab ich nochmal eine Aufgabe

hoffe da kommt einigermassen was vernünftiges raus da sie selbst ausgedacht ist

Hab noch mal eine Aufgabe

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-7}} \end{eqnarray*}$ könnte ich die auch so lösen oder Qoutzientenregel muss ich doch auch hier nicht benutzen oder

26.05.2006, 22:06

riwe

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da wirst du nicht drum rum kommen, da sowohl im zähler wie im nenner eine funktion g(x) steht.
werner

26.05.2006, 22:55

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{1}{x\sqrt{x}}*\sqrt{x-7}--\frac{1}{2\sqrt[2]{x}}}{}{\sqrt{(x-7)^2}} \end{eqnarray*}$

das ist erst mal die Quotientenregel als solche ausrechnen kann ich im nächsten Schritt stimmt alles

Edit da Fehlt noch was

26.05.2006, 23:04

hodgesaargh

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das u' stimmt so nicht. wo ist das u in uv'? äußere ableitung von v? v^2 muss in den nenner...

26.05.2006, 23:26

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}*\sqrt{x-7}-\frac{-1}{2*\sqrt[2]{(x)^3}}*\sqrt{x}}{\sqrt{(x-7)^2}} \end{eqnarray*}$

hatte Probleme mit Latex

26.05.2006, 23:28

hodgesaargh

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das sieht schon deutlich besser aus, die äußere ableitung von v würde ich mir nochmal anschauen.

26.05.2006, 23:37

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}*\sqrt{x-7}-\frac{1}{2*\sqrt[2]{(x)}}*\sqrt{x}}{\sqrt{(x-7)^2}} \end{eqnarray*}$

26.05.2006, 23:45

hodgesaargh

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die äußere ableitung von v ist doch 1/(2*sqrt(x-7))

26.05.2006, 23:55

Pr0

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$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{x-7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = \frac{1}{2 \sqrt{x-7}} \end{eqnarray*}$
also ja!

27.05.2006, 00:08

Kira 007

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klar verstanden

27.05.2006, 16:04

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}*\sqrt{x-7}-\frac{-1}{2*\sqrt[]{(x-7)}}*\sqrt{x}}{\sqrt{(x-7)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*x^\frac{-1}{2}*(x-7)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

das muss ich doch nochmal ausmultiplizieren da hier ja kein Potenzgesetz gilt oder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2-\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

27.05.2006, 16:34

mercany

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Was issen der zweite Schritt da?

Soll das letze die Vereinfachung vom ersten sein?

27.05.2006, 17:02

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*x^\frac{-1}{2}*(x-7)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

das muss ich doch nochmal ausmultiplizieren da hier ja kein Potenzgesetz gilt oder

ich hab das multipliziert, weiß aber nicht ob das richtig ist ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2-\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

27.05.2006, 17:11

mercany

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Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*x^\frac{-1}{2}*(x-7)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

das muss ich doch nochmal ausmultiplizieren da hier ja kein Potenzgesetz gilt oder

ich hab das multipliziert, weiß aber nicht ob das richtig ist ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2-\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

Was willste da denn ausmultiplizieren?

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x-7}}{2\cdot \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ passt schon so.

27.05.2006, 17:19

Kira 007

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Ich muss das doch ausmultiplizieren
das war diese Aufgabe
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-7}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}*\sqrt{x-7}-\frac{-1}{2*\sqrt[]{(x-7)}}*\sqrt{x}}{(\sqrt{x-7})^2} \end{eqnarray*}$

[

27.05.2006, 17:53

mercany

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Wieso ausmultiplizieren?
Du kannst höchstens den Zähler noch etwas zusammenfassen.

Außerdem passt der Zähler deiner Ableitung nicht. Das Quadrat muss sich auf die Wurzel beziehen!

Gruß, mercany

27.05.2006, 18:02

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}*\sqrt{x-7}-\frac{-1}{2*\sqrt[]{(x-7)}}*\sqrt{x}}{(\sqrt{x-7})^2} \end{eqnarray*}$

hast Du den Nenner gemeint mit dem Quadrat

das Zusammenfassen des Zählers wollte ich ja machen

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