extremwertaufgabe

26.05.2006, 16:45

schaeaef

extremwertaufgabe

hallo,

ich habe ein kleines problem ... habe drei aufgaben, bei denen ich nicht ganz weiß ich ich ansetzen soll die erste wäre

welches von allen oben geschlossenen drehzylndrischen Gefäßen von gleicher Oberfläche O hat den größten Rauminhalt V?

also ein ist klar, V muss mal max sein ...
und dann müsste ich eine formel eines drehzylindrischen Gefäß aufstellen, leider weiß ich nicht so recht, wie diese lautet, ehrlich gesagt, kann ich mir da gar nicht vorstellen

bei der 2. aufgabe hab ich schon einen ansatz, leider weiß ich nicht ob dieser stimmt...

Einer Kugel (R) ist die volumsgrößte gerade Pyramide einzuschreiben, deren Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck ist! Berechne das Verhältnis ihrer Rauminhalte..

da hab ich erst mal bei der hauptbedingung

V = (G*h)/3 = (R*hr)/2 * 6 * h/3 = R*hr*h => max

wobei hr die höhe eines dreiecks von der grundfläche ist

und als neben bedingung wäre mir in den sinngekommen ....
s²=R²+h²

s ist dabei eine außenseite der pyramide ...

und nun die letzte aufgabe

die Ellipse 3x² +8y² = 96 rotiert um die kleine Achse. Dem enstehenden Drehellipsoid ist ein Zylinder von größtem Mantel einzuschreiben. Berechne öhe und Radius des Zylinders.

wenn ihr mir helfen könntet wäre ich sehr sehr froh !

26.05.2006, 18:03

hodgesaargh

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die 1. aufgabe verstehe ich nicht.
bei der 2. sollte man vielleicht erstmal versuchen, funktionsgleichungen für pyramidenhöhe(radiusanteil vom kugelradius) und pyramidengrundfläche(radiusanteil vom kugelradius) aufzustellen, die dann zu kombinieren und abzuleiten. der witz ist ja, dass mit abnehmendem radius die höhe ansteigt, während die grundfläche kleiner wird.

26.05.2006, 18:11

MrPSI

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Bei deiner ersten Aufgabe handelt es sich um einen gewöhnlichen Zylinder, würde also $\begin{eqnarray*} V=G \cdot h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O=2 \cdot \text{Grundfläche}+\text{Mantel} \end{eqnarray*}$ gelten.

Für die 2. Aufgabe muss ich dir sagen, dass deine Formel für das Volumen bzw. die Grundfläche falsch ist, denn R ist der Radius der Kugel, nicht eine Seite eines Dreiecks. Aber ich kann dir diesen Link geben, da geht es zwar nicht um eine Pyramide, aber das Prisma hat auch ein Sechseck als Grundfläche.
Und deine Idee mit dem Pythagoras funktioniert leider auch nicht, weil die Höhe und der Radius keinen rechten Winkel bilden.

Zur dritten Aufgabe würde ich empfehlen, mal die Hauptbedingung aufzustellen(den Mantel) und für die Nebenbedingung die Tatsache nützen, dass es einen Punkt $\begin{eqnarray*} P=\begin{pmatrix} \frac{h}{2} \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gibt, weil ja der Zylinder den Ellipsoid berührt.
Nun kann man mit dem Punkt und der Brennpunktdefiniton der Ellipse eine Nebenbedingung finden.
Hierbei wird vorrausgesetzt, dass a, b und e bekannt sind bzw. sich berechnen lassen.

26.05.2006, 18:15

riwe

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zu 1) zielfunktion $\begin{eqnarray*} V=r^{2}\pi h = max \end{eqnarray*}$
nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} O=2r^{2}\pi +2r\pi h \end{eqnarray*}$
2) mach dir eine skizze , dann siehst du h = R + x mit $\begin{eqnarray*} r^{2}=R^{2}-x^{2} \end{eqnarray*}$ , oder suche hier im board, das hatten wir vor kurzem
(R radius der kugel, h und r höhe und umkreisradius der pyramide.
3) auch hier, ein bild und alles ist klar, der zylindereckpunktpunkt(radius/halbe höhe) liegt auf der ellipse.
werner

26.05.2006, 18:15

grybl

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RE: extremwertaufgabe
zu Aufgabe 1

Die Oberfläche des drehzylindrischen Körpers ist die Nebenbedingung, aus der du die die Höhe ausdrücken solltest.

Dass das Volumen die Hauptbedingung ist, hhast du ja schon erkannt

$\begin{eqnarray*} O=2\cdot r^2\cdot \pi + 2\cdot r \cdot \pi \cdot h \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} h=\frac{O-2\cdot r^2 \cdot \pi}{2\cdot r \cdot \pi} \end{eqnarray*}$

und das dann in $\begin{eqnarray*} V=r^2\cdot \pi \cdot h \end{eqnarray*}$ einsetzen und wie gewohnt weiterverfahren

26.05.2006, 18:46

schaeaef

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danke für die antworten, werde mich morgen mal drüber stürzen ...

kleine frage, weiß einer ne gute quelle, wo es gute beispiele dieser art mit lösung gibt ?!

mfg

26.05.2006, 19:18

grybl

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Wenn du mit Lösungen die Ergebnisse meinst, dann hier im board smile

26.05.2006, 19:48

riwe

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Zitat:

Original von MrPSI
Zur dritten Aufgabe würde ich empfehlen, mal die Hauptbedingung aufzustellen(den Mantel) und für die Nebenbedingung die Tatsache nützen, dass es einen Punkt $\begin{eqnarray*} P=\begin{pmatrix} \frac{h}{2} \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gibt, weil ja der Zylinder den Ellipsoid berührt.
Nun kann man mit dem Punkt und der Brennpunktdefiniton der Ellipse eine Nebenbedingung finden.
Hierbei wird vorrausgesetzt, dass a, b und e bekannt sind bzw. sich berechnen lassen.

hallo mrpsi;
die ellipse dreht sich um die KLEINE achse, sind da nicht die x- und y- koo zu vertauschen?
und a und b sind eh gegeben.
werner

26.05.2006, 21:04

MrPSI

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hmmm.....jo, da lieg ich wohl falsch, denn sonst würde es ja keinen richtigen Drehzylinder mehr geben. Wenn ich ehrlich sein soll, hab ich das sogar überlesen unglücklich

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