Beweis: erzeugte Untergruppen |
| 26.05.2006, 19:43 | Filewalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis: erzeugte Untergruppen irgendwie komm ich mit dem mathe studium noch nicht so ganz klar: erstmal entschludigung dafür, dass ich noch keine latex befehle kann und das hier deshalb so chaotisch aussieht... also eine aufgabe ist zb (G,*) Gruppe und A TM G. Die Menge erz(A) heißt die von A erzeugte Untergruppe erz (A) := {a1*...*an : n in N, ai in A oder ai(quer) in A } erstmal bis dahin... bisher hab ich nur von untergruppen gehört die von einem element erzeugt sind und dann halt alle potenzen dieses elements enthält. wenn dieses oder ai(quer) in A nicht wäre, würde erz(A) doch alle elemente von a und alle elemente, die irgendwie aus verknüfungen der elemente von a entstehen enthalten. heißt das oder ai(quer) in A (wobei der querbalken nur über dem i und nicht über dem a ist), dass die elemente in der verknüfung entweder in A sind oder die inversen dieser elemente sind in A? und warum geht der querbalken nur über das i? die aufgabe Zeigen Sie, dass erz(A) die kleinste Untergruppe von G ist, die A enthält. dazu sollen wir folgende 2 aussagen zeigen: i) erz(A) ist Untergruppe vonG und ii) ist U TM G eine Untergruppe von G, die A enthält, dann gilt erz(A) TM U ok also zu i) erz(A) ist die von A erzeugte Untergruppe von A. ist erz(A) nicht automatisch Untergruppe von G weil A TM von G ist? Weil wenn man das erst beweisen muss, warum heißt erz(A) dann schon Untergruppe? Um das zu beweisen muss ich ja nur zeigen, dass a,b in erz(A) auch a*b in erz(A) und a^-1 in erz(A) für alle a in erz(A), weil dadurch, dass A TM von G ist, ist erz(A) auch TM von G ich könnte das jetzt vllt in worten beweisen, aber nicht in schönen matematischen ausdrücken. also das a*b (wobei a und b für 2 verschiedene ai steht) in erz(A) folgt doch aus der definition von erz(A)... ach ich bin so unentschlossen, weil ich halt icht weiß, was dieser sch*** querbalken soll wenn A einelementig ist, ist erz(A) doch {a^k, k in Z} oder kommt da noch was hinzu wegen dem querbalken gedöhns in der def von erz(A)? bin voll am verzweilfen danke schomal für jegliche hilfe |
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| 26.05.2006, 20:10 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis: erzeugte Untergruppen Ich vermute mal: . Am Besten fragst du den Erfinder dieser Bezeichnung dazu.
Vermutlich weil das ein Satz oder die Behauptung ist. Dazu gehört dann jeweils ein Beweis.
Das Inverse von a und dessen Potenzen gehören dazu, das hast du hier durch aber berücksichtigt. Grüße Abakus 
EDIT: Text |
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| 26.05.2006, 20:30 | Filewalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok danke schomal wie zb zeige ich denn, dass ai^(-1) in erz(A) liegt, was man ja bei einer untergruppe zeigen muss... und ich versteh immer noch nicht was das soll bei der def von erz(A) also das ai in A oder ai^(-1) in A erz(A) := {ai*...*an, n in N, ai in A oder ai^(-1) in A} bzw die grundlegende frage ist: wählt man dann für jedes element von erz(A) das n anders? also zb A = {0,1,2,3,4,5,6} ist dann -3 ein element von erzA weil man n = 1 gewählt hat und a1 = -3 (weil -3^(-1) = 3 element von A ist)? weil dann wäre ja immer das inverse von einem element in erz(A) auch in erz(A) weil man mit oben den ai quasi so "spielen" kann, bis das das inverse element raus kommt. ich hab noch voll die verständnis probleme für gruppen... gibts da gute links zu im web? die das bisschen anschaulicher erklären (wikipedia bringt mich nicht so sehr weiter) |
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| 27.05.2006, 00:26 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, so ist es. Mit n=1 und geeigneter Wahl des Elementes zeigt man, dass die Inversen von den Elementen aus A in erz(A) sind. Hier zu zeigen ist, dass jedes Element in erz(A) ein Inverses in dieser Menge besitzt. Das geht so wie du beschrieben hast.
Gruppentheorie ist ein weites Thema. Für den Anfang würde ich mir die Struktur einiger Gruppen anschauen: Google-Stichworte zB symmetrische oder alternierende Gruppe, Dieder-Gruppe usw. Grüße Abakus
EDIT: Text |
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| 28.05.2006, 11:25 | Filewalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
super danke!!! |
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