absolutes Maximum

27.08.2008, 13:35

Stefan09

absolutes Maximum

Hallo,

habe ein Problem bei Berechnung des globales maximum einer Funktion.
Wie man das lokale Maximum berechnet verstehe ich. Aber ich verstehe den Ablauf bei berechnen des absolute Maximums nicht!

Die Funktion lautet
$\begin{eqnarray*} W(s,t) = 180 + 5s^2 + 10t - 0.2s^3 - 0.3t^2 \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie das absolute Maximum von W(s,t) im Bereich
$\begin{eqnarray*} s\in [-10,\infty] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t\in [-10,\infty] \end{eqnarray*}$

Das lokale Maximum habe ich berechnet und liegt in $\begin{eqnarray*} s=\frac{50}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=\frac{50}{3} \end{eqnarray*}$

aber wie mache ich nun weiter?

27.08.2008, 14:43

Mazze

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Da fehlt wohl grundlegendes Verständnis, was Maximum überhaupt bedeutet. Maximum heisst nichts mehr als dass die Funktion an einem Punkt größer ist als an anderen Punkten. Hast Du eine Menge von lokalen Maxima $\begin{eqnarray*} M = \{m_1,m_2,...,\} \end{eqnarray*}$ ist natürlich dasjenige m dass absolute Maximum für das $\begin{eqnarray*} f(m) \geq f(n) ~ \forall n \in M \end{eqnarray*}$ gilt (und das auch nur wenn die Funktion sich nicht irgendwo asymptotisch Annähert oder gegen unendlich abhaut). Sprich, das lokale Maximum, für das die Funktion ausgewertet an diesem Maximum größergleich ist als die Auswertung an den anderen Maxima, ist das absolute Maximum.

Im Übrigen hat Deine Funktion mehrere lokale Extrema. Vergiss nicht das bei der Ableitung nach s eine quadratische Funktion heruaskommt. Damit musst Du alle (s,t) Kombinationen betrachten.

27.08.2008, 14:59

Stefan09

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ok stimmt mein zweiter punkt ist so s=0 und t=50/3 oder
aber das ist ja kein extremum sondern sattelpunkt

aber wie genau funktioniert nun die berechnung der absolute extrema?

27.08.2008, 15:21

WebFritzi

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Berechne die lokalen Maxima im (offenen) Inneren des angegebenen Bereichs und dann die Maxima auf dem Rand des Bereichs und vergleiche die Funktionswerte miteinander.

27.08.2008, 19:05

Stefan09

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Gibt es ein beispiel im Netz, wo das durchgerechnet wird, stehe momentan auf dem schlauch

27.08.2008, 19:47

WebFritzi

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Du dürftest schon in diesem Forum fündig werden.

28.08.2008, 13:57

Stefan09

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hmmm, finde nix was mich irgendwie weiter bringt!!

28.08.2008, 14:13

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Also dann etwas ausführlicher:

Zitat:

Original von WebFritzi
Berechne die lokalen Maxima im (offenen) Inneren des angegebenen Bereichs

Sollte klar sein, und hast du ja so oben auch schon angefangen.

Zitat:

Original von WebFritzi
und dann die Maxima auf dem Rand des Bereichs

Der Rand besteht aus den beiden Strahlen $\begin{eqnarray*} [-10,\infty)\times \{-10\} = \{ (s,-10) \bigm| s\geq -10 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{-10\} \times [-10,\infty) = \{ (-10,t) \bigm| t\geq -10 \} \end{eqnarray*}$ .

Dementsprechend hast du zwei eindimensionale Maximierungsprobleme

$\begin{eqnarray*} W(s,-10) = 50 + 5s^2 - 0.2s^3 \to \max \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s\geq -10 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} W(-10,t) = 880 + 10t - 0.3t^2 \to \max \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\geq -10 \end{eqnarray*}$

zu bearbeiten.

Zitat:

Original von WebFritzi
und vergleiche die Funktionswerte miteinander.

Sollte dann auch klar sein.

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