ggT Beweis

27.05.2006, 05:54	Kolja	Auf diesen Beitrag antworten »
ggT Beweis Hallo, ich soll beweisen das in einem euklidischen Ring folgendes für beliebige x,q,n,d gilt. $\begin{eqnarray} gcd(x^{q^{n}}-x,x^{q^{d}}-x) = x^{q^{gcd(n,d)}}-x \end{eqnarray}$ Vorher haben wir bewiesen das $\begin{eqnarray} gcd(t^{n}-1,t^{m}-1) = t^{gcd(n,m)}-1 \end{eqnarray}$ Das könnte man doch bestimmt irgendwie verwenden. wie kann man diese Aufgabe angehen?
27.05.2006, 11:28	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Die interessante Frage ist hier glaube ich eher, WIE ihr das bewiesen habt. Vielleicht kannst du den Beweis übertragen.... bzw. nutzen. Übrigens verstehe ich nicht, warum du nicht den "gcd" ÜBERSETZEN konntest. Damit machst du uns nur mehr Arbeit, weil sicher nicht jeder auf Anhieb weiß, was das ist Gruß jemand der googlen musste also hier für alle: "gcd"=greatest common divisor, zu deutsch: ggT
27.05.2006, 18:39	Kolja	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für den "gcd" wirrwarr haben ein englisches script und das hab ich einfach kopiert Der Beweis für $\begin{eqnarray} gcd(t^{n}-1,t^{m}-1)%20=%20t^{gcd(n,m)}-1 \end{eqnarray}$ geht laut Script wie folgt (leider habe ich den auch nicht verstanden, und die Proffesorin hat mir den auch nicht wirklich erklären können ), meinte aber das wir den benutzten können um die andere aussage zu beweisen. Sei t ein beliebiges Element in einem Körper wo der ggt existiert, m,n eine ganze positive Zahl. Induktion auf max(m,n). Wenn max(m,n)=1, oder m=n dann ist die Aussage trivial.Sonst, setzen wir m<n und mit $\begin{eqnarray} (t^{n}-1)-t^{n-m}(t^{m}-1))=t^{n-m}-1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} gcd(t^{n}-1,t^{m}-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =gcd(t^{m}-1,t^{n-m}-1) \end{eqnarray}$ Jetzt der Schritt den ich nicht verstehe : $\begin{eqnarray} =t^{gcd(m,n-m)}-1 (Mit Induktion) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =t^{gcd(n,m)}-1 \end{eqnarray*}$

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