Gewinnchance

22.05.2004, 08:43

venora

Gewinnchance

Von drei runden eines spiels hat R zwei, S eine und T noch keine Runde gewonnen. wieviel Prozent des gewinns stehen jedem spieler zu, falls vereinbart wurde, dass derjenige alles bekommt, der

zuerst vier runden gewonnen hat!!!

Gruß Venora

25.06.2024, 17:05

HAL 9000

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Ich mach jetzt auch mal mit bei diesem Spiel, unbeachtete Uralt-Threads auszugraben und dann doch noch dort zu antworten - obwohl es den ursprünglichen Fragesteller wohl nicht mehr interessiert...

Ok, obwohl nicht erwähnt soll man wohl davon ausgehen, dass jeder Spieler die gleiche Runden-Gewinnwahrscheinlichkeit hat, und dass das die Runden unabhängig voneinander passiert (wie sonst soll man hier was rechnen können...)

Sei $\begin{eqnarray*} p(i,j,k) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, wenn man selbst noch $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ Siege braucht und die beiden Gegner entsprechend $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} p(i,j,k) = \begin{cases} 1 &\mbox{ für }i=0,j>0,k>0\\ 0&\mbox{ für }i>0,(j=0\vee k=0)\\ \frac{1}{3}\left[ p(i-1,j,k)+p(i,j-1,k)+p(i,j,k-1)\right]&\mbox{ für }i>0,j>0,k>0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Kann man hübsch programmieren und bekommt

Anteil für R: $\begin{eqnarray*} p(2,3,4) = \frac{451}{729}\approx 61.9\% \end{eqnarray*}$
Anteil für S: $\begin{eqnarray*} p(3,2,4) = \frac{195}{729}\approx 26.7\% \end{eqnarray*}$
Anteil für T: $\begin{eqnarray*} p(4,2,3) = \frac{83}{729}\approx 11.4\% \end{eqnarray*}$ .

Gruß an venora, wo immer du jetzt bist. Wink

26.06.2024, 12:20

adiutor62

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Gibt es keine einfachere Lösung? Mir kommt das zu anspruchsvoll vor für Schülerniveau.
Wie kommt man auf dein Ergebnis ohne Programmierung? Wie ist der Ansatz mit Zahlen?
Ich habe Probleme, deinen Ansatz nachzuvollziehen?

26.06.2024, 14:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von adiutor62
Gibt es keine einfachere Lösung?

Naja, ich würde sie nennen, wenn ich eine einfachere wüsste. Heißt ja nicht, dass es keine einfachere gibt - kannst gern eine beisteuern.

Die Alternativen die ich sehe, sind wenig erbaulich, z.B. für die Gewinnwahrscheinlichkeit von R einzeln alle Variationen

R, RS, RT, RSS, RST, RTT, ... , RSSTTT

mit abschließend angehängtem R durchzählen und in Wahrscheinlichkeiten umrechnen. Dabei ist zu beachten, dass bei jede dieser Sequenzen der Länge 1-6 jeweils genau ein R, höchstens zwei S und höchstens 3 T vorkommen. Ist machbar, dauert aber auch eine ganze Weile - und ist nicht so einfach erweiterbar, wenn die Zahlen etwas größer werden. Augenzwinkern

Zitat:

Original von adiutor62
Ich habe Probleme, deinen Ansatz nachzuvollziehen?

1) Wir sind uns doch erstmal einig, dass bei Abbruch des Spiels zu dem o.g. Zeitpunkt jeder Spieler den Anteil bekommt, der seiner Gewinnwahrscheinlichkeit entspricht.

2) Es sollte klar sein, dass für R die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(2,3,4) \end{eqnarray*}$ gesucht ist: Denn R braucht noch 2 Siege, S aber 3 und T sogar noch 4 Siege.

3) Über die Siegwahrscheinlichkeiten in den Randfällen $\begin{eqnarray*} i=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ muss ich nicht reden, oder?

4) In allen anderen Fällen spielt man eine Runde, wobei jeder der drei mit gleicher Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ diese Runde gewinnt.
- Ist das R, so gewinnt R das Gesamtspiel mit der bedingten Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(i-1,j,k) \end{eqnarray*}$ .
- Ist das S, so gewinnt R das Gesamtspiel mit der bedingten Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(i,j-1,k) \end{eqnarray*}$ .
- Ist das T, so gewinnt R das Gesamtspiel mit der bedingten Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(i,j,k-1) \end{eqnarray*}$ .

Gemäß totaler Wahrscheinlichkeit (oder im Schülersprech: Pfade aufsammeln) bekommt man dann die o.g. Iteration.

Zitat:

Original von adiutor62
Wie kommt man auf dein Ergebnis ohne Programmierung??

Du kannst die Rekursion ja auch zu Fuß durchführen - dauert eine Weile, aber ist vielleicht in 30min zu bewältigen. Dabei ist sicher auch die offenkundige Symmetrie $\begin{eqnarray*} p(i,j,k) = p(i,k,j) \end{eqnarray*}$ hilfreich. Zuätzlich zu den obigen Werten kann man manchmal auch sinnvoll die Abkürzung $\begin{eqnarray*} p(i,i,i) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ verwenden

p(1,1,1) = 1/3
p(1,1,2) = (1+0+1/3)/3 = 4/9
p(1,2,2) = (1+4/9+4/9)/3 = 17/27
p(1,1,3) = (1+0+4/9)/3 = 13/27
p(1,2,3) = (1+13/27+17/27)/3 = 19/27
...

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:

import math

Pdict = {}

def probnom(i,j,k):
    if i == 0:
        return 3**(j+k-2)
    if j == 0 or k == 0:
        return 0
    if j > k:
        j,k = k,j
    elif i == j and j == k:
        return 3**(3*i-3)
    if (i,j,k) in Pdict:
        return Pdict[(i,j,k)]
    p = probnom(i-1,j,k) + probnom(i,j-1,k) + probnom(i,j,k-1)
    Pdict[(i,j,k)] = p
    return p

def prob(i,j,k):
    p = probnom(i,j,k)
    q = 3**(i+j+k-2)
    g = math.gcd(p,q)
    return p//g,q//g
    
if __name__ == '__main__':
    p,q = prob(2,3,4)
    print(f"R : {p}/{q}")
    p,q = prob(3,2,4)
    print(f"S : {p}/{q}")
    p,q = prob(4,2,3)
    print(f"T : {p}/{q}")
    print(Pdict)

Im Python-Script wurde die Substitution $\begin{eqnarray*} p(i,j,k) := \frac{a(i,j,k)}{3^{i+j+k-2}} \end{eqnarray*}$ genutzt, dann lautet die o.g. Rekursion umgerechnet

$\begin{eqnarray*} a(i,j,k) = \begin{cases} 3^{i+j+k-2} &\mbox{ für }i=0,j>0,k>0\\ 0&\mbox{ für }i>0,(j=0\vee k=0)\\ a(i-1,j,k)+a(i,j-1,k)+a(i,j,k-1)&\mbox{ für }i>0,j>0,k>0\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. alle $\begin{eqnarray*} a(i,j,k) \end{eqnarray*}$ sind dann ganzzahlig, was numerisch eine exakte Berechnung ohne Approximationsfehler ermöglicht.

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