Frage zu Polstelle (mit Vorzeichenwechsel)

27.08.2008, 15:26

mathemann1

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Frage zu Polstelle (mit Vorzeichenwechsel)

Hallo,

ich habe $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ und soll die Polstelle (ist bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ) errechnen und zudem angeben, ob es sich

a) um eine (un-)hebbare Definitionslücke oder

b) eine Polstelle mit/ohne Vorzeichenwechsel handelt.

Wir haben aufgeschrieben (zusammengefasst)

.... bei einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Polynomen $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine hebbare Def.-Lücke, wenn dasselbe $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bei beiden Polynomen 0 ergibt.

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ in den Zähler setze, habe ich ja $\begin{eqnarray*} f(-1)=\frac{-1}{0} \end{eqnarray*}$ , was demnach eine nichthebbare Lücke wäre.

Noch etwas: Wie kann ich direkt an den Graden der Zähler/Bruch-Exponenten ablesen, ob ich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel habe oder nicht?

Danke für Hilfen smile

smile

27.08.2008, 15:42

Zizou66

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Wenn eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegt, dann handelt es sich um eine ungradzahlige Polstelle. Bei einer gradzahligen Polstelle, also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , oder $\begin{eqnarray*} (x+4)^6 \end{eqnarray*}$ liegt kein Vorzeichenwechsel vor.

Das ist ähnlich wie bei einfachen, doppelten, dreifachen... Nullstellen.

27.08.2008, 15:45

TyrO

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RE: Frage zu Polstelle (mit Vorzeichenwechsel)

Zitat:

Original von mathemann1
Hallo,

ich habe $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ und soll die Polstelle (ist bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ) errechnen und zudem angeben, ob es sich

a) um eine (un-)hebbare Definitionslücke oder

b) eine Polstelle mit/ohne Vorzeichenwechsel handelt.

Wir haben aufgeschrieben (zusammengefasst)

.... bei einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Polynomen $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine hebbare Def.-Lücke, wenn dasselbe $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bei beiden Polynomen 0 ergibt.

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ in den Zähler setze, habe ich ja $\begin{eqnarray*} f(-1)=\frac{-1}{0} \end{eqnarray*}$ , was demnach eine nichthebbare Lücke wäre.

Noch etwas: Wie kann ich direkt an den Graden der Zähler/Bruch-Exponenten ablesen, ob ich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel habe oder nicht?

Danke für Hilfen smile

smile

Weißt du , wie man den Grenzwert berechnet?

27.08.2008, 15:47

mathemann1

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Zitat:

Original von Zizou66
Wenn eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegt, dann handelt es sich um eine ungradzahlige Polstelle. Bei einer gradzahligen Polstelle, also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , oder $\begin{eqnarray*} (x+4)^6 \end{eqnarray*}$ liegt kein Vorzeichenwechsel vor.

Das ist ähnlich wie bei einfachen, doppelten, dreifachen... Nullstellen.

Und was ist, wenn ich im Nenner habe: $\begin{eqnarray*} x^2+x? \end{eqnarray*}$

27.08.2008, 15:48

mathemann1

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RE: Frage zu Polstelle (mit Vorzeichenwechsel)

Zitat:

Original von TyrO

Zitat:

Original von mathemann1
Hallo,

ich habe $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ und soll die Polstelle (ist bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ) errechnen und zudem angeben, ob es sich

a) um eine (un-)hebbare Definitionslücke oder

b) eine Polstelle mit/ohne Vorzeichenwechsel handelt.

Wir haben aufgeschrieben (zusammengefasst)

.... bei einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Polynomen $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine hebbare Def.-Lücke, wenn dasselbe $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bei beiden Polynomen 0 ergibt.

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ in den Zähler setze, habe ich ja $\begin{eqnarray*} f(-1)=\frac{-1}{0} \end{eqnarray*}$ , was demnach eine nichthebbare Lücke wäre.

Noch etwas: Wie kann ich direkt an den Graden der Zähler/Bruch-Exponenten ablesen, ob ich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel habe oder nicht?

Danke für Hilfen smile

smile

Weißt du , wie man den Grenzwert berechnet?

Ja!

smile

Aber meine Annahme - gemäß meiner Schuldefinition- mit der unhebbaren Lücke, müsste stimmen oder?

27.08.2008, 15:50

Zizou66

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Hier würde ich für das Nennerpolynom q schreiben:

$\begin{eqnarray*} q(x)=x^2+x=x(x+1) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird deutlich, dass es zwei einfache Polstellen gibt, also mit VZW.

Edit: Latex

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27.08.2008, 15:53

mathemann1

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Also allgemein: Habe ich einen geraden Exponenten im Nenner, gibt es einen Vorzeichenwechsel?

27.08.2008, 15:55

TyrO

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RE: Frage zu Polstelle (mit Vorzeichenwechsel)

Zitat:

Original von mathemann1

Zitat:

Original von TyrO

Zitat:

Original von mathemann1
Hallo,

ich habe $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ und soll die Polstelle (ist bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ) errechnen und zudem angeben, ob es sich

a) um eine (un-)hebbare Definitionslücke oder

b) eine Polstelle mit/ohne Vorzeichenwechsel handelt.

Wir haben aufgeschrieben (zusammengefasst)

.... bei einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Polynomen $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine hebbare Def.-Lücke, wenn dasselbe $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bei beiden Polynomen 0 ergibt.

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ in den Zähler setze, habe ich ja $\begin{eqnarray*} f(-1)=\frac{-1}{0} \end{eqnarray*}$ , was demnach eine nichthebbare Lücke wäre.

Noch etwas: Wie kann ich direkt an den Graden der Zähler/Bruch-Exponenten ablesen, ob ich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel habe oder nicht?

Danke für Hilfen smile

smile

Weißt du , wie man den Grenzwert berechnet?

Ja!

smile

Aber meine Annahme - gemäß meiner Schuldefinition- mit der unhebbaren Lücke, müsste stimmen oder?

Ja , sie stimmt. VZW überprüfst du, wenn du dich von beiden Seiten an die Polstelle annäherst. Also bilde :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1+h} f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1-h} f(x) \end{eqnarray*}$

27.08.2008, 15:58

Zizou66

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Nein, diese Regel gilt nicht. Ich glaube vielmehr, ohne es sicher zu wissen, dass es nur keinen VZW gibt, wenn das Nennerpolynom gerade ist.

Das was du gesagt hast steht übrigens schon im Gegenspruch zu dem Beispiel von oben.

27.08.2008, 15:58

mathemann1

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RE: Frage zu Polstelle (mit Vorzeichenwechsel)

Zitat:

Original von TyrO

Zitat:

Original von mathemann1

Zitat:

Original von TyrO

Zitat:

Original von mathemann1
Hallo,

ich habe $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ und soll die Polstelle (ist bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ) errechnen und zudem angeben, ob es sich

a) um eine (un-)hebbare Definitionslücke oder

b) eine Polstelle mit/ohne Vorzeichenwechsel handelt.

Wir haben aufgeschrieben (zusammengefasst)

.... bei einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Polynomen $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine hebbare Def.-Lücke, wenn dasselbe $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bei beiden Polynomen 0 ergibt.

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ in den Zähler setze, habe ich ja $\begin{eqnarray*} f(-1)=\frac{-1}{0} \end{eqnarray*}$ , was demnach eine nichthebbare Lücke wäre.

Noch etwas: Wie kann ich direkt an den Graden der Zähler/Bruch-Exponenten ablesen, ob ich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel habe oder nicht?

Danke für Hilfen smile

smile

Weißt du , wie man den Grenzwert berechnet?

Ja!

smile

Aber meine Annahme - gemäß meiner Schuldefinition- mit der unhebbaren Lücke, müsste stimmen oder?

Ja , sie stimmt. VZW überprüfst du, wenn du dich von beiden Seiten an die Polstelle annäherst. Also bilde :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1+h} f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1-h} f(x) \end{eqnarray*}$

Danke

Wink

Mir gehts aber eher darum, wie ich Vorzeichenwechsel/kein Vorzeichenwechsel direkt aus der Funktion (Nenner) lesen kann.
Ist gerader Nennerexponent = kein Vorzeichenwechsel?

27.08.2008, 16:00

Zizou66

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Meine Antwort dazu steht oben...du musst außerdem nicht immer alles ziteren, dass ist eher unübersichtlich als hilfreich.

27.08.2008, 16:07

TyrO

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RE: Frage zu Polstelle (mit Vorzeichenwechsel)

Zitat:

Original von mathemann1

Danke Wink

Wink

Mir gehts aber eher darum, wie ich Vorzeichenwechsel/kein Vorzeichenwechsel direkt aus der Funktion (Nenner) lesen kann.
Ist gerader Nennerexponent = kein Vorzeichenwechsel?

Ja.

27.08.2008, 16:11

Zizou66

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Nein! Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^2+x} \end{eqnarray*}$

Hat einen geraden Nennerexponent und eine Def.-Lücke mit VZW.

Wenn der Nenner eine gerade Funktion ist, dann ist das so, falls Defintionslücken vorliegen.

27.08.2008, 16:14

mathemann1

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Zitat:

Original von Zizou66
Nein! Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^2+x} \end{eqnarray*}$

Hat einen geraden Nennerexponent und eine Def.-Lücke mit VZW.

Wenn der Nenner eine gerade Funktion ist, dann ist das so, falls Defintionslücken vorliegen.

Aha!

Dabei bin ich nun auch.. habe im Nenner $\begin{eqnarray*} x^3+5x^2 \end{eqnarray*}$ ... wie kann man es daraus ablesen, ob Vorzeichenwechsel oder nicht?

27.08.2008, 16:17

Zizou66

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Nunja. Das ist so pauschal nicht zu klären.

$\begin{eqnarray*} q(x)=x^3+5x^2=x^2(x+5) \end{eqnarray*}$ .

Daher liegt an x=0 eine doppelte Polstelle vor, also ohne VZW und an x=-5 eine einfache mit VZW.

27.08.2008, 17:40

TyrO

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Zitat:

Original von Zizou66
Nein! Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^2+x} \end{eqnarray*}$

Hat einen geraden Nennerexponent und eine Def.-Lücke mit VZW.

Wenn der Nenner eine gerade Funktion ist, dann ist das so, falls Defintionslücken vorliegen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x*(x+1)} \end{eqnarray*}$

Was ist das nun für ein Nennerexponent?
Dieses direkte "Erkennen" halte ich für einen Schwachsinn.
Der eigentlich Beweis läuft auf Grenzwertbetrachtung hinaus...

27.08.2008, 17:45

Zizou66

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Ich glaube nicht, dass es den Begriff eines Nennerexponenten wirklich gibt. Mathemann hatte den mal in die Runde geworfen...Ich würde mit der Symetrie des Nennerpolynoms argumentieren.

Ich halte dieses erkennen für eine sinnvolle Sache. An der Uni wird es warscheinlich nicht mehr reichen so eine Def.-Lücke mit VZW so "auszuschauen", allerdings ist es normalerweise im Unterricht erlaubt. Wir haben es in meinem Mathe-Lk ähnlich gelernt und dürfen das so begründen.

27.08.2008, 17:52

TyrO

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Zitat:

Original von Zizou66
Ich glaube nicht, dass es den Begriff eines Nennerexponenten wirklich gibt. Mathemann hatte den mal in die Runde geworfen...Ich würde mit der Symetrie des Nennerpolynoms argumentieren.

Ich halte dieses erkennen für eine sinnvolle Sache. An der Uni wird es warscheinlich nicht mehr reichen so eine Def.-Lücke mit VZW so "auszuschauen", allerdings ist es normalerweise im Unterricht erlaubt. Wir haben es in meinem Mathe-Lk ähnlich gelernt und dürfen das so begründen.

Ja, aber warte mal. Du darfst nicht den ganzen Nennerpolynom zu deiner Argumentation nehmen.Nehmen wir mal die Funktion von gerade.
Eine Definitionslücke bei x= 0 und eine bei -1. Jetzt musst du erst differenzieren.
Der auslösende Faktor für die Def. Lücke ist der das x. Dieses ist ungerade.
Deshalb der VZW. Somit stimmt die Aussage noch :

mit VZW, wenn Exponent ungerade
ohne VZW, wenn Exponent gerade

EDIT : Die Bezeichnung ist Nennergrad.

27.08.2008, 19:16

Zizou66

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Gut, das stimmt auch wieder. Dazu habe ich mich ja bereits in meiner ersten Antwort geäußert.

Das letzte habe ich jetzt auf das ganze Nennerpolynom und alle Definitionslücken bezogen.

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