Integral des Quadrats einer Funktion |
| 22.05.2004, 10:55 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Integral des Quadrats einer Funktion Sei f eine integrierbare nichtnegative Funktion vom Intervall [a,b] nach R und c eine positive Konstante mit der Eigenschaft . Die Frage ist nun, ob dann immer gilt, dass . Ich weiss, dass diese Behauptung nicht unbedingt gilt, wenn ich statt einer Konstanten c eine weitere Funktion g nehme, oder wenn die Konstante negativ ist. Hat jemand eine Beweisidee oder ein Gegenbeispiel? Gruss, SirJective |
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| 22.05.2004, 11:58 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hiho. Ich sehe dein Problem nicht wirklich. Du hast selber gesagt, dass es für C < 0 nicht immer gilt, für C größer als 0 MUSS es dagegen gelten. Wo liegt das PRoblem? 
Gruß Hanno |
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| 22.05.2004, 12:54 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, haben wir per ICQ geklärt. Wenn ich zwei positive Funktionen f und g habe, dann kann es sein dass int g < int f ist, aber int g^2 > int f^2 ist. Das sollte hoffentlich nicht passieren, wenn g eine konstante Funktion ist. Waere c <= f(x) für jedes x, dann wäre es einfach. Aber f kann auch an einigen Stellen kleiner sein als c. An anderen muss es natürlich größer sein, damit int f >= int c ist. |
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| 22.05.2004, 20:39 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gefühlsmäßig war mein erster Gedanke, nein gilt nicht .... und dies sollte ein Gegenbeispiel sein,... es sei denn ich hab was falsch aufgenommen, oder bin mal wieder zu blöd zum Rechnen ... :-/ 0..2 int(x,dx) =2 0..2 int(1,dx) =2 0..2 int(x²,dx) = 8/3 >2
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| 22.05.2004, 20:43 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm ganz glücklich bin ich noch nicht. Ich kann mich meinem ersten Gefühl nicht erwehren, welches mir sagt, dass es für c größer als 0 immer gilt. Denn selbst wenn es mal kleiner als c ist und mal größer, dann heit dies, dass die teilabschnitte, die größer sind, den ausschlag dafür geben, dass f>c. wenn man jetzt das quadrat bildet, so werden diese lücken nach unten und oben nur noch größer, was aber nichts am Endresulstat ändern, welches besagt, dass c<f ist. Gruß Hanno |
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| 22.05.2004, 20:44 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist doch kein Gegenbeispiel, sondern ein Pro-Beispiel... |
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| 22.05.2004, 21:09 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich beweise mal die Behauptung. Sei g(x) = f(x) + c für x aus [a,b]. Weiter definiere M = {x aus [a,b] : f(x) < c} und N = {x aus [a,b] : f(x) >= c}. Natürlich ist f auf M und auf N integrierbar. Untersuche nun g auf M und N. Auf M: g(x) = f(x) + c < 2c. Auf N: g(x) = f(x) + c >= 2c. Damit folgt: int{a,b} ( f(x)^2 - c^2 ) dx = int{a,b} g(x) (f(x) - c) dx = int{M} g(x) (f(x) - c) dx + int{N} g(x) (f(x) - c) dx > int{M} 2c (f(x) - c) dx + int{N} 2c (f(x) - c) dx = 2c int{a,b} (f(x) - c) dx >= 0, also die Behauptung. |
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| 22.05.2004, 21:28 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
*ggg* vergiss es .... 
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| 23.05.2004, 00:16 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr schöne Lösung @WebFritzi SirJective und ich danken... 
Wir sind nicht auf die Idee gekommen, den Integrationsbereich zu zerlegen. |
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| 23.05.2004, 12:32 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für das Lob @Irrlicht. @Poff: Vergiss es. *ggg* |
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| 23.05.2004, 21:22 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ähm... kann man das vielleicht auch mit dem Erwartungswert machen? Ich erinnere mich dunkel an die Formel , kann sie aber nicht einordnen. Soweit ich mich erinnere ist . Wenn ich jetzt mal nur den Fall betrachte, dann ist doch c = E(f), oder? Dann wäre Stimmt das so? Und stimmt die Formel ? Gruss, SirJective |
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| 25.05.2004, 05:22 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jau. Die Formel stimmt für alle quadratintegrierbaren Funktionen f. Warum? Im reellen Hilbertraum L_2(a,b) (Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf (a,b)) mit dem Skalarprodukt gilt natürlich die Cauchy-Schwartz-Ungleichung: Setzt man g(x) = 1 für alle x und quadriert die rechte und linke Seite, so kommt man genau auf diese Formel. |
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| 25.05.2004, 08:58 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, da sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. *ggg* Ich sag SirJective das jetzt nicht gleich nach dem Wecken, sondern werd ihn beim Frühstück drauf stossen. Man schauen, ob sein Hirn genauso flach ist wie meins nach dem Aha-Effekt. 
Wenn wir dich nicht hätten, WebFritzi. Jetzt fehlt uns in unserer Studenten-User-Runde nur noch einer mit Spezialgebiet Statistik und wir könnten (fast) alles lösen. 
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| 25.05.2004, 14:28 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Anirahtak ist imho "hierzulande" die Statistik-Expertin. Gruß vom Ben |
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| 25.05.2004, 18:21 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also nochmal zusammenfassend: Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung mit dem Skalarprodukt folgt für g(x)=1 die Ungleichung . Aus der vorausgesetzten Ungleichung folgt durch Quadrieren und Anwenden dieser C.S.U. die Ungleichung . Teilen durch (b-a) liefert die Behauptung. Gut, das kann ich morgen meinen Studenten erzählen. Danke und Gruss, SirJective |
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| 25.05.2004, 22:04 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist etwas schöner als das Aufteilen des Integrationsbereiches... |
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