Welche Zahl ist kleiner (eigentlich einfache Aufgabe)

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Starup Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Zahl ist kleiner (eigentlich einfache Aufgabe)
Die Frage lautet so:

Welche Zahl ist kleiner:

(12^99+12^100)/2 oder 12^99,5

Natürlich soll man für die Rechnung keinen Taschenrechner benutzen. Wie kann man da jetzt sehen welche der Zahlen grösser ist? (Da die Aufgabe so einfach aufgebaut ist, weiss ich auch keinen Lösungsansatz)...

Ich habe bisher einfach (12^99+12^100)/2-12^99,5 ausgerechnet (allerdings mit TR) und bin da auf eine positive Zahl gekommen. Daher müsste die erste Zahl ja grösser sein... folglich ist 12^99,5 kleiner (??)
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Wenn es nicht ausdrücklich verboten ist, würde ich es einfach mal in den Taschenrechner eingeben. Das geht am schnellsten.

Ansonsten kannst du auch argumentieren, dass ist und das ist offensichtlich kleiner als der andere Term.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, vielleicht mal beide Werte durch teilen und dann erneut vergleichen...

EDIT: Zu spät. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi


So. Ich habe nun auch eine Frage. Wieso sind diese beiden Terme gleich groß? Ich kann nicht nachvollziehen wie du umgeformt hast, also: Wie hast du das angestellt Augenzwinkern ?
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

schreib mal als und klammer dann aus Augenzwinkern

Edit: Sehr elegante Lösung Augenzwinkern
 
 
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.Habs verstanden. Das ist wirklich eine sehr elegante Lösung!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ist im Grunde nichts anderes als das, was Arthur schon in Worten formuliert hat. Nur eben schön in einer Zeile verpackt. Augenzwinkern
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem sehr elegant aufgelöst! Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, war ja eigentlich ... Augenzwinkern
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, aber auf den Lösungsweg wäre ich aber nicht gekommen, daher finde ich ihn klasse Augenzwinkern Du als studierter hast den vielleicht schon mal irgendwo gesehen und mit Sicherheit schon aufregendere, verblüffendere Lösungswege gesehen...warscheinlich alles eine Frage der Erfahrung.
Moebel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht, dass dir die Aufgabe den Gebrauch eines Taschenrechners näher bringen sollte Big Laugh
Wenn es dich interessiert, lies dir meinen Beiweis, in dem ich das Problem in allgemeiner Form gelöst habe, mal durch - ich kann ja nicht wissen, "auf welchem Niveau" du diese Aufgabe bearbeiten solltest Augenzwinkern
Mir macht es Spaß, zu beweisen, hoffentlich habe ich keine Ungenauigkeiten eingebaut, ansonsten bitte verbessern..

Satz. Für zwei Zahlen und gilt die Ungleichung

Beweis. Es sei und .

Annahme (1): Ist , dann gilt die Ungleichung für .

Beweis (1):
Die Funktion hat die Nullstellen und :
.
Für und ist die Ungleichung somit bewiesen, da die äquivalente Ungleichung unter diesen Bedingungen erfüllt ist.

Annahme (2): Wenn die Ungleichung für ein beliebiges gilt, dann gilt sie auch für .

Beweis (2): Die Ungleichung sei gültig für . Es folgt:

Die Gültigkeit der Ungleichung für beliebiges impliziert somit die Gültigkeit derselben Ungleichung für .

Aus der Gültigkeit von Annahme (1) und der Gültigkeit von Annahme (2) folgt die Gültigkeit des Satzes (nach dem Prinzip der vollständigen Induktion nach ).
Annahme (1) nämlich besagt, dass der Satz für richtig ist, Annahme (2) besagt, dass wenn der Satz für irgendein richtig ist, der Satz auch für das nächstgrößere Element aus , nämlich für gültig ist. Damit ist die Gültigkeit des Satzes für alle nachgewiesen.

Anwendung des Satzes auf dein Beispiel:

.
Nach dem obigen Satz gilt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir deinen Beweis nicht näher angeschaut. Aber die gegebene Ungleichung ist nach Division durch , Multiplikation mit und Sortieren äquivalent zu und damit für alle richtig. Anforderungen an überflüssig.
Das ist auch nicht weiter überraschend, denn das ist ja nur die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, auf die beiden Größen und angewendet.

EDIT
Wie mich WebFritzi gerade darauf hingewiesen hat, ist die Ungleichung nur für alle und gültig.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Moebel
Satz. Für zwei Zahlen und gilt die Ungleichung


Das ist richtig, und der Beweis ist ein Einzeiler:

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
für alle richtig


Nicht für a = 1. Augenzwinkern
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