Problem mit Untervektorraum!

27.08.2008, 21:11

zwergnase

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Problem mit Untervektorraum!

Hallo,

ich komme mit dieser Aufgabe so gar nicht klar, also erstmal die Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ Untervektorräume von V. Nun soll ich zeigen: Ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} U_1 =V \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_2 =V \end{eqnarray*}$ .

Also ich weiß was ein Vektorraum und ein Untervektorraum ist, aber weiß einfach nicht wie ich da beginnen soll.

Gruß Wink

Wink

27.08.2008, 21:36

tigerbine

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RE: Problem mit Untervektorraum!
Der Schlüssel sollte in der Vereinigung liegen, im Gegensatz zu der Summe von UVR. Nimm doch mal den IR als Beispiel. xy Koordinatensystem. Dann sind die Achen ja 2 UVR, aber ihre Vereinigung gibt sicher nicht die Ebene.

27.08.2008, 22:17

tmo

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Man kann zeigen, dass die Vereinigung zweier Untervektorräume dann und nur dann ein Untervektorraum ist, wenn einer in dem anderen enthalten ist.

Aus $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \end{eqnarray*}$ folgt also o.B.d.A $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} V = U_1 \cup U_2 = U_2 \end{eqnarray*}$ .

27.08.2008, 22:48

kiste

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Zitat:

Original von tmo
Man kann zeigen, dass die Vereinigung zweier Untervektorräume dann und nur dann ein Untervektorraum ist, wenn einer in dem anderen enthalten ist.

Was eine direkte Umformulierung der Aufgabe ist...

Damit ich noch etwas zur Aufgabe beitrage:
Nehme an die Aussage stimmt nicht, dann gibt es zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} u_i \in U_j \Leftrightarrow i=j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i,j\in \{1,2\} \end{eqnarray*}$ . Betrachte dann die Summe $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$

28.08.2008, 00:03

zwergnase

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RE: Problem mit Untervektorraum!

Zitat:

Original von tigerbine
Der Schlüssel sollte in der Vereinigung liegen, im Gegensatz zu der Summe von UVR. Nimm doch mal den IR als Beispiel. xy Koordinatensystem. Dann sind die Achen ja 2 UVR, aber ihre Vereinigung gibt sicher nicht die Ebene.

Hallo tigerbine,

Mit dieser Veranschaulichung habe ich auch schon gespielt und bin auch zu dem Schluss gekommen, das einer der beiden Untervektorräume der der Vektorraum selber sein muss. Das von dir angesprochene Beispiel, wäre ja ein Gegenbeispiel. Ich weiß einfach nicht recht wie ich es dann allgemein hin schreiben soll, anschaulich ist es mir klar. Würde es gerne irgendwie so machen, dass ich einfach die Kriterien die für einen Untervektorraum gegeben sind durchprüfe. Aber da komme ich nachdem ich gezeigt habe das die Null in der Vereinigung liegt auch nicht weiter...

Gruß Wink

Wink

28.08.2008, 00:05

zwergnase

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Zitat:

Original von tmo
Man kann zeigen, dass die Vereinigung zweier Untervektorräume dann und nur dann ein Untervektorraum ist, wenn einer in dem anderen enthalten ist.

Wie?

Aus $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \end{eqnarray*}$ folgt also o.B.d.A $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} V = U_1 \cup U_2 = U_2 \end{eqnarray*}$ .

Hallo tmo,

also das leuchtet mir ja alles ein, weiß bloß nicht wie ich das formulieren soll.

Gruß Wink

Wink

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28.08.2008, 00:20

tigerbine

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RE: Problem mit Untervektorraum!
Behauptung:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \Rightarrow U_1 =V \text{ oder }U_2 = V \end{eqnarray*}$

Alternativ:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \neq V \Leftarrow U_1 \neq V \text{ und } U_2 \neq V \end{eqnarray*}$

Woran scheitert denn das Beispiel? UVR sind zunächst einmal nur Mengen. Da sie gewissen Eigenschaften genügen, reicht es, wenn wir eine Basis angeben, um sie darzustellen. Jedes Element läßt sich dann als LK dieser Basis darstellen.

In V liegen nun mal alle Vektoren, auch speziell solche (lambdas von 0 verschieden!):

$\begin{eqnarray*} v=\lambda_1 \cdot u_1 + \lambda_2 \cdot u_2,\quad u_1 \in U_1,~u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$

In der Menge

$\begin{eqnarray*} W = U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$

sind aber solche Linearkombinationen nicht möglich. Für diese Menge gilt:

$\begin{eqnarray*} w \in W \Leftrightarrow w \in U_1 \text{oder } w \in U_2 \setminus \{U_1 \cap U_2\} \end{eqnarray*}$

Das konstruierte v liegt aber weder in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} U_2 \setminus \{U_1 \cap U_2\} \end{eqnarray*}$

Daher gilt $\begin{eqnarray*} W \neq V \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

28.08.2008, 00:44

zwergnase

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RE: Problem mit Untervektorraum!

Zitat:

Original von tigerbine
Behauptung:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \Rightarrow U_1 =V \text{ oder }U_2 = V \end{eqnarray*}$

Alternativ:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \neq V \Leftarrow U_1 \neq V \text{ und } U_2 \neq V \end{eqnarray*}$

Woran scheitert denn das Beispiel?

$\begin{eqnarray*} e_1 + e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \neq e_1 \cup e_2 \end{eqnarray*}$

UVR sind zunächst einmal nur Mengen. Da sie gewissen Eigenschaften genügen, reicht es, wenn wir eine Basis angeben, um sie darzustellen. Jedes Element läßt sich dann als LK dieser Basis darstellen.

In V liegen nun mal alle Vektoren, auch speziell solche (lambdas von 0 verschieden!):

$\begin{eqnarray*} v=\lambda_1 \cdot u_1 + \lambda_2 \cdot u_2,\quad u_1 \in U_1,~u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$

In der Menge

$\begin{eqnarray*} W = U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$

sind aber solche Linearkombinationen nicht möglich. Für diese Menge gilt:

$\begin{eqnarray*} w \in W \Leftrightarrow w \in U_1 \text{oder } w \in U_2 \setminus \{U_1 \cap U_2\} \end{eqnarray*}$

Das konstruierte v liegt aber weder in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} U_2 \setminus \{U_1 \cap U_2\} \end{eqnarray*}$ Bis dort hin habe ich alles verstanden, darüber muss ich noch etwas grübel. Wieso?

Daher gilt $\begin{eqnarray*} W \neq V \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

28.08.2008, 12:16

tigerbine

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RE: Problem mit Untervektorraum!
ich hätte noch als Voraussetzung für unser v schreiben sollen, dass es nicht im schnitt der UVR liegt, was aber eine durchaus mögliche Forderung ist, da keiner der UVR mit V identisch ist.

28.08.2008, 12:29

zwergnase

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Hallo tigerbine,

Danke für deine Nachtrag, nun macht es auch Sinn für mich. Ich habe noch eine weitere einfache Frage ich hoffe ich kann die einfach dazu schreiben ohne einen neuen Beitrag zu eröffnen. Man soll zeigen, dass nur für $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U_{\alpha} := \{ (x_1 , x_2, x_3) \in \mathbb{R}^{3} | x_1 + x_2 + x_3 = \alpha \} \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} (x_1 , x_2, x_3) \in \mathbb{R}^{3} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , was deutet ich habe eine Vektor mit drei Komponenten und diese Komponenten aufaddiert sollen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ergeben. Oder?

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ muss schon deshalb 0 sein, weil die drei Komponenten des Nullvektors aufaddiert müssen 0 ergeben. Aber bei Überprüfungen der Abgeschlossenheit gegenüber Addition bin ich mir nicht sicher. Also ich wähle zwei bel. Vektoren $\begin{eqnarray*} v , w \in \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray*}$ . Dann folgt $\begin{eqnarray*} (v_1 + w_1) + (v_1 + w_1) + (v_3 + w_3) = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_1 + w_1 \\ v_3 + w_3\end{pmatrix} = \alpha \end{eqnarray*}$ Warum soll es hier 0 sein, damit mein Untervektorraumkriterium erfüllt ist? Und wenn ich die Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarenmultiplikation nachprüfe mit einem $\begin{eqnarray*} \beta \in \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray*}$ gilt muss doch $\begin{eqnarray*} \beta \cdot(x_1 + x_2 + x_3) = \beta \cdot \alpha \end{eqnarray*}$ gelten?

Gruß Wink

Wink

28.08.2008, 12:56

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} U_{\alpha} := \{ (x_1 , x_2, x_3) \in \mathbb{R}^{3} | x_1 + x_2 + x_3 = \alpha ,~\alpha \in \mathbb K \} \end{eqnarray*}$

Damit es ein UVR ist, muss der Nullvektor enthalten sein, muss $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ sein, damit es ein UVR sein kann. Damit sind alle anderen raus. Teil1 des Beweises ist fertig. nun gilt.

$\begin{eqnarray*} U_{0} := \{ (x_1 , x_2, x_3) \in \mathbb{R}^{3} | x_1 + x_2 + x_3 = 0 ,~0 \in \mathbb K \} \end{eqnarray*}$

Bleiben noch 2 Dinge zu prüfen. Skalarmultiplikation:

$\begin{eqnarray*} \lambda \vec{x} =(\lambda x_1,~\lambda x_2,~\lambda x_3)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda x_1+\lambda x_2+\lambda x_3 = \lambda \cdot \underbrace{(x_1 + x_2 + x_3 )}_{=0}= 0 \end{eqnarray*}$

Nun noch die Addition (nutze das kommutativgesetzt!)

$\begin{eqnarray*} \vec{x} + \vec{y} = (x_1+y_1 , x_2+y_2, x_3+y_3)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)+( x_2+y_2)+(x_3+y_3) = () + () = 0 \end{eqnarray*}$

28.08.2008, 13:10

zwergnase

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} U_{\alpha} := \{ (x_1 , x_2, x_3) \in \mathbb{R}^{3} | x_1 + x_2 + x_3 = \alpha ,~\alpha \in \mathbb K \} \end{eqnarray*}$

Damit es ein UVR ist, muss der Nullvektor enthalten sein, muss $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ sein, damit es ein UVR sein kann. Damit sind alle anderen raus.

Freude

Freude

Teil1 des Beweises ist fertig. nun gilt.

$\begin{eqnarray*} U_{0} := \{ (x_1 , x_2, x_3) \in \mathbb{R}^{3} | x_1 + x_2 + x_3 = 0 ,~0 \in \mathbb K \} \end{eqnarray*}$

Bleiben noch 2 Dinge zu prüfen. Skalarmultiplikation:

$\begin{eqnarray*} \lambda \vec{x} =(\lambda x_1,~\lambda x_2,~\lambda x_3)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda x_1+\lambda x_2+\lambda x_3 = \lambda \cdot \underbrace{(x_1 + x_2 + x_3 )}_{=0}= 0 \end{eqnarray*}$

Nun noch die Addition (nutze das kommutativgesetzt!)

$\begin{eqnarray*} \vec{x} + \vec{y} = (x_1+y_1 , x_2+y_2, x_3+y_3)^T \end{eqnarray*}$

Bis hierher alles okay! Die () , () sind deshalb 0 weil $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ ist? Also 0 + 0 = 0

$\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)+( x_2+y_2)+(x_3+y_3) = () + () = 0 \end{eqnarray*}$

28.08.2008, 13:16

tigerbine

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In die klammern sollst du selbst was eintragen.dann steht da 0+0 Big Laugh

Big Laugh

28.08.2008, 13:25

zwergnase

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Zitat:

Original von tigerbine
In die klammern sollst du selbst was eintragen.dann steht da 0+0 Big Laugh

Big Laugh

verwirrt

$\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)+( x_2+y_2)+(x_3+y_3) = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

28.08.2008, 13:28

tigerbine

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nein. ich sagte doch Kommutativgesetzt. Du kannst doch da nicht plötzlich Vektoren draus machen. Du sollst nur die Summe anders sortieren.

28.08.2008, 13:40

zwergnase

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Achso: $\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)+( x_2+y_2)+(x_3+y_3) = \underbrace{(x_1 + x_2 +x_3)}_{=0} + \underbrace{(y_1 + y_2 +y_3)}_{=0} = 0 \end{eqnarray*}$

28.08.2008, 16:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von kiste
Nehme an die Aussage stimmt nicht, dann gibt es zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} u_i \in U_j \Leftrightarrow i=j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i,j\in \{1,2\} \end{eqnarray*}$ . Betrachte dann die Summe $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$

Das ist ein bisschen doof aufgeschrieben. Er meint:

Nimm an, die Aussage stimmt nicht. Dann gibt es Vektoren

$\begin{eqnarray*} u_2\in V\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1\in V\setminus U_2. \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} V = U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} u_2\in U_2\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1\in U_1\setminus U_2. \end{eqnarray*}$ Setze nun $\begin{eqnarray*} v := u_1 + u_2, \end{eqnarray*}$ und folgere einen Widerspruch.

28.08.2008, 17:10

tigerbine

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Zitat:

Original von zwergnase
Achso: $\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)+( x_2+y_2)+(x_3+y_3) = \underbrace{(x_1 + x_2 +x_3)}_{=0} + \underbrace{(y_1 + y_2 +y_3)}_{=0} = 0 \end{eqnarray*}$

genau

01.09.2008, 12:18

zwergnase

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Zitat:

Original von kiste

Zitat:

Original von tmo
Man kann zeigen, dass die Vereinigung zweier Untervektorräume dann und nur dann ein Untervektorraum ist, wenn einer in dem anderen enthalten ist.

Was eine direkte Umformulierung der Aufgabe ist...

Damit ich noch etwas zur Aufgabe beitrage:
Nehme an die Aussage stimmt nicht, dann gibt es zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} u_i \in U_j \Leftrightarrow i=j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i,j\in \{1,2\} \end{eqnarray*}$ . Betrachte dann die Summe $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$

Hallo kiste,

Ich habe doch zwei Aussagen: $\begin{eqnarray*} \underbrace{U_1 \cup U_2 = V }_{=A} \Rightarrow \underbrace{U_1 = V oder U_2 = V}_{=B} \end{eqnarray*}$ und dann soll es doch ein Widerspruchsbeweis werden, also aus $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ muss ich doch nun zu einem Widerspruch mit der Aussage A kommen.
Wenn man nun die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} u_1 \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$ nehme und addiere dann liegt diese Vektor $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ nicht in V, was ein Widerspruch zu A ist, oder? Und somit wäre die Aussage bewiesen. Was ich nicht recht einsehen will, war dieser neue Vektor $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ dann nicht in V liegt.

Gruß Wink

Wink

01.09.2008, 13:48

WebFritzi

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Natürlich liegt die Summe in V.

01.09.2008, 17:29

zwergnase

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von kiste
Nehme an die Aussage stimmt nicht, dann gibt es zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} u_i \in U_j \Leftrightarrow i=j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i,j\in \{1,2\} \end{eqnarray*}$ . Betrachte dann die Summe $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$

Das ist ein bisschen doof aufgeschrieben. Er meint:

Nimm an, die Aussage stimmt nicht. Dann gibt es Vektoren

$\begin{eqnarray*} U_1 = V oder U_2 = V \end{eqnarray*}$ Diese Aussage? Davon soll ich annehmen, dass sie nicht simmt? Also $\begin{eqnarray*} U_1 \neq V und U_2 \neq V \end{eqnarray*}$ Diese bezeichne ich mal formal als Aussage B und die Verneinung als Aussage B nicht

$\begin{eqnarray*} u_2\in V\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1\in V\setminus U_2. \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} V = U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} u_2\in U_2\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1\in U_1\setminus U_2. \end{eqnarray*}$ Setze nun $\begin{eqnarray*} v := u_1 + u_2, \end{eqnarray*}$ und folgere einen Widerspruch.

Wie soll den der Beweisgang formal aussehen? Aus B (nicht) und A muss ich doch nun einen Widerspruch herleiten. Aber diesen Widerspruch sehe ich einfach nicht recht, wenn ich den Vektor v betrachte liegt der doch mit Sicherheit in der Vereinigung von $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$

Ich glaube ich raffe das nie!!!

Gruß Wink

Wink

01.09.2008, 18:12

Romaxx

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edit:

Was gilt denn für den Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ aus dem zitierten Teil?

Beachte dabei, dass du stets die Annahme und die darin enthaltenden Voraussetzungen im Auge behalten solltest.

Gruß

01.09.2008, 18:15

WebFritzi

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@Romaxx: Du weißt doch, dass Komplettlösungen hier nicht gern gesehen sind. Bitte editiere deinen Beitrag. Ein wenig Eigeninitiative muss vom Fragesteller schon kommen. Bisher war davon nicht viel zu sehen.

01.09.2008, 20:19

zwergnase

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Da ja meine Eigeninitiative angeblich fehlt und mein Fragen nicht so beantwortet wird, dass ich weiter komme, versuche ich mal einen Beweis:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} U_1 =V \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_2 =V \end{eqnarray*}$

Angenommen $\begin{eqnarray*} U_1 \neq V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \neq V \end{eqnarray*}$ , dann kann ich eine Vektor v angeben, welcher nicht in der Vereinigung von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ liegt, was aber ein Widerspruch mit $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß Wink

Wink

01.09.2008, 20:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von zwergnase
Angenommen $\begin{eqnarray*} U_1 \neq V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \neq V \end{eqnarray*}$ , dann kann ich eine Vektor v angeben, welcher nicht in der Vereinigung von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ liegt

Das ist doch Unfug. Wir haben dir einen Weg gezeigt. Du musst ihn nur noch zu Ende gehen. Nochmal

$\begin{eqnarray*} u_1\in U_1\setminus U_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2\in U_2\setminus U_1. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v := u_1 + u_2. \end{eqnarray*}$

v liegt natürlich in V. Also liegt v nach Voraussetzung in ...?

01.09.2008, 20:40

zwergnase

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v liegt in V. (Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich lächerlich mache) Dann liegt v nach Voraussetzung auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ da ja $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \end{eqnarray*}$ ist.

01.09.2008, 20:45

WebFritzi

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Genau!

Freude

Und was bedeutet jetzt $\begin{eqnarray*} v\in U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ?

02.09.2008, 19:51

zwergnase

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Zitat:

Original von WebFritzi
Genau! Freude

Freude

Und was bedeutet jetzt $\begin{eqnarray*} v\in U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ?

Die Frage verstehe ich irgendwie nicht so recht!

02.09.2008, 23:12

Romaxx

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Da $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ anscheinend in der Vereinigung von zwei Mengen liegt, muss doch $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ entweder in $\begin{eqnarray*} U_1\text{ oder } U_2 \end{eqnarray*}$ liegen.
Was kannst du nun mit $\begin{eqnarray*} v = u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ weiter folgern?

Gruß

03.09.2008, 00:20

zwergnase

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Zitat:

Romaxx
Da $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ anscheinend in der Vereinigung von zwei Mengen liegt, muss doch $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ entweder in $\begin{eqnarray*} U_1\text{ oder } U_2 \end{eqnarray*}$ liegen.Ja!
Was kannst du nun mit $\begin{eqnarray*} v = u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ weiter folgern?Dass entweder $\begin{eqnarray*} U_1 = V \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_2 = V \end{eqnarray*}$ sein muss?

Gruß

03.09.2008, 00:38

Romaxx

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Das kannst du noch nicht folgern.

(O.b.d.A) Nimm also an, $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ liegt ersteinmal in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , kannst du dann etwas über den Vektor $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ aussagen? Wo muss dieser liegen?

03.09.2008, 19:33

zwergnase

Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ liegt mit Sicherheit in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ , weil wir ihn ja so gewählt haben und er liegt auch in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , da er ja Teil des Vektors $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist. Oder?

03.09.2008, 19:46

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Er liegt nicht in V, da er "Teil des Vektors v" ist (so ein Unsinn), sondern weil wir uns eh in V befinden. Wo soll er denn sonst herkommen?! Genaugenommen liegt er in V, weil V bezüglich der (Vektor-)Addition abgeschlossen ist.

OK. Also v liegt in V. Das heißt (nach Voraussetzung), v liegt entweder in ... oder in ... .

03.09.2008, 21:40

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi

Soweit waren wir schon.

Siehe:

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ anscheinend in der Vereinigung von zwei Mengen liegt, muss doch $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ entweder in $\begin{eqnarray*} U_1\text{ oder } U_2 \end{eqnarray*}$ liegen.
Was kannst du nun mit $\begin{eqnarray*} v = u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ weiter folgern?

Gruß

@zwergnase

Zitat:

Ähm, $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ liegt mit Sicherheit in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ , weil wir ihn ja so gewählt haben und er liegt auch in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , da er ja Teil des Vektors $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist. Oder?

Erster Teil okay, zweiter Teil Unsinn (siehe WebFritzi). Darauf wollte ich aber nicht hinaus.

Ich stelle die Gleichung mal nach $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ um, dann siehst du es vielleicht eher (im Hinterkopf behalten, dass wir o.b.d.A. $\begin{eqnarray*} v\in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ gewählt haben):

$\begin{eqnarray*} u_2 =v- u_1\;\; ,\text{ mit }u_1, v\in U_1 \end{eqnarray*}$

Gruß

04.09.2008, 11:06

zwergnase

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Hallo Romaxx,

Also:

$\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ liegt mit Sicherheit in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ , weil wir ihn ja so gewählt haben.
$\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ liegt dann auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , weil ja die Differenz zweier Vektoren eines Untervektorraums wieder im Untervektorraum liegen sollte, dass sagt ja die Definition des Untervektorraums aus.

Gruß

Wink

04.09.2008, 11:22

Romaxx

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Zitat:

Original von zwergnase
Hallo Romaxx,

Also:

$\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ liegt mit Sicherheit in $\begin{eqnarray*} U_2\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ , weil wir ihn ja so gewählt haben.
$\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ liegt dann auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , weil ja die Differenz zweier Vektoren eines Untervektorraums wieder im Untervektorraum liegen sollte, dass sagt ja die Definition des Untervektorraums aus.

Gruß

Wink

zu 2.) Richtig. Was bedeutet es denn jetzt, wenn ein beliebiger Vektor $\begin{eqnarray*} u_2\in U_2\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ immer auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ liegt?

04.09.2008, 11:24

zwergnase

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RE: Problem mit Untervektorraum!
Zusammenfassung: (Ich hoffe sie stimmt so weit)

Fragestellung:

Sei V ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ Untervektorräume von V. Zeige: Ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} U_1 =V \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_2 =V \end{eqnarray*}$ .

Beweis:

Umformulierung der Fragestellung:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \Rightarrow U_1 =V \text{ oder }U_2 = V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \neq V \Leftarrow U_1 \neq V \text{ und } U_2 \neq V \end{eqnarray*}$

Annahme diese Aussage stimme nicht:

Dann gibt es Vektoren
$\begin{eqnarray*} u_2\in V\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1\in V\setminus U_2. \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} V = U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} u_2\in U_2\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1\in U_1\setminus U_2. \end{eqnarray*}$

Wahl eines beliebigen Vektors $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v := u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_1 \in U_1 \text{und} u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$

für den gilt:

$\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Dann liegt $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ da ja $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \end{eqnarray*}$ ist.
$\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ liegt mit Sicherheit in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ , weil wir ihn ja so gewählt haben.
$\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ liegt dann auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , weil ja die Differenz zweier Vektoren eines Untervektorraums wieder im Untervektorraum liegen sollte, dass sagt ja die Definition des Untervektorraums aus.

04.09.2008, 11:41

zwergnase

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Zitat:

Original von Romaxx

zu 2.) Richtig. Was bedeutet es denn jetzt, wenn ein beliebiger Vektor $\begin{eqnarray*} u_2\in U_2\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ immer auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ liegt?

Ah, nun glaub ich sehe ich was du meinst. Das bedeutet, dass entweder $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sein muss, sonst ist das ja nicht möglich. Oder?

04.09.2008, 11:53

Romaxx

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RE: Problem mit Untervektorraum!

Zitat:

Original von zwergnase
Zusammenfassung: (Ich hoffe sie stimmt so weit)

Fragestellung:

Sei V ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ Untervektorräume von V. Zeige: Ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} U_1 =V \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_2 =V \end{eqnarray*}$ .

Beweis:

Umformulierung der Fragestellung:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \Rightarrow U_1 =V \text{ oder }U_2 = V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \neq V \Leftarrow U_1 \neq V \text{ und } U_2 \neq V \end{eqnarray*}$

Annahme diese Aussage stimme nicht:

Also: $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 =V \text{ und} U_1 \neq V \text{ und }U_2 \neq V \end{eqnarray*}$

Dann gibt es Vektoren
$\begin{eqnarray*} u_2\in V\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1\in V\setminus U_2. \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} V = U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} u_2\in U_2\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1\in U_1\setminus U_2. \end{eqnarray*}$

Wahl eines beliebigen Vektors $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v := u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_1 \in U_1 \text{ und } u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$ Wir hatten angenommen $\begin{eqnarray*} u_1 \in U_1\setminus U_2 \text{ und } u_2 \in U_2\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ , sonst macht die obere Arbeit wenig Sinn.

für den gilt:

$\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Dann liegt $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ da ja $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = V \end{eqnarray*}$ ist.
Also liegt $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ entweder in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ oder in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ , da er in der Vereinigung zweier Mengen enthalten ist. Sei also ersteinmal $\begin{eqnarray*} v\in U_1 \end{eqnarray*}$ (Die andere Möglichkeit, dass $\begin{eqnarray*} v\in U_2 \end{eqnarray*}$ geht analog).

Dann gilt für $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ liegt mit Sicherheit in $\begin{eqnarray*} U_2\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ , weil wir ihn ja so gewählt haben.
$\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ liegt dann auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , weil ja die Differenz zweier Vektoren eines Untervektorraums wieder im Untervektorraum liegen sollte, dass sagt ja die Definition des Untervektorraums aus.

Okay, die Zusammenfassung stimmt soweit (Schau dir aber noch die Ergänzungen, die rot markiert sind, an) .

Zu deinem Post drüber:

Ich glaube du meinst das Richtige, aber drücke es so aus, dass man den Widerspruch sieht. Wir wollen ja einen Beweis durch Widerspruch führen.

Liegt $\begin{eqnarray*} u_2\in U_2\setminus U_1 \end{eqnarray*}$ immer auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , dann gilt doch:

$\begin{eqnarray*} (U_2\setminus U_1)\subseteq U_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt schau dir mal die Annahme genau an.

04.09.2008, 14:00

zwergnase

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RE: Problem mit Untervektorraum!
Ich finde es ist einfach ein Widerspruch dazu, $\begin{eqnarray*} U_1 \neq V \text{ und }U_2 \neq V \end{eqnarray*}$ ich kann das nicht besser hinschreiben. Habe mir eine Skizze angefertigt und daraus finde ich geht es hervor.

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