DGL/Differenzialgleichnung Umformen

27.05.2006, 16:18

Reilsss

DGL/Differenzialgleichnung Umformen

Hallo, ich bin neu hier, hoffe daher das meine frage im richtigem forum ist.
Die aufgabe die ich lösen soll begint wie folgt

Zitat:

Die Anzahl der Menschen P (in tausend) auf einer Insel kann in Abhängigkeit von der Zeit t (in 100 Jahren) durch die Gleichnung des logistischen Wachstums beschreiben werden:
$\begin{eqnarray*} P(t)=\frac{100}{1+3e^{-0,5t}} \end{eqnarray*}$

a) Bilden Sie die ersten beiden Ableitungen $\begin{eqnarray*} \frac{dP}{dt} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}P}{dt^{2}} \end{eqnarray*}$ von P(t).

b) Zeigen Sie durch geeignete Umformungen, dass sich $\begin{eqnarray*} \frac{dP}{dt} \end{eqnarray*}$ als DGL in der Form
$\begin{eqnarray*} \frac{dP}{dt}=0,5*P(t)*(1-\frac{P(t)}{ 100 }) \end{eqnarray*}$ schreiben lässt.

c) ..

Die aufgabe geht zwar noch weiter, jedoch habe ich meine Probleme in dem aufgaben teil b) da ich nicht genau weis was ich machen soll, und oder wie ich es machen soll.

Es wäre toll wenn mir jemand erklären könnte was in b) getan werden muss.

ich danke im vorraus smile

P.S. Meine ableiitungen aus aufgabenteil a)
{meine Ableitungen:}
$\begin{eqnarray*} \frac{dP}{dt}=150\frac{e^{-0,5t}}{ (1+3e^{-0,5t})^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}P}{dt^{2}}=150\frac{-0,5e^{-0,5t} + 1,5e^{-t} }{ (1+3e^{-0,5t})^{3} } \end{eqnarray*}$

27.05.2006, 17:01

Abakus

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RE: DGL/Differenzialgleichnung Umformen
Willkommen im Forum, Reilsss Wink

Deine Ableitungen stimmen. Bei b) sollst du einfach nur den Term für P(t) und den für P'(t) einsetzen und zeigen, dass die Gleichung erfüllt wird:

$\begin{eqnarray*} P'(t) \stackrel{!}{=} 0.5 \cdot P(t) \cdot (1 - \frac{P(t)}{100}) \end{eqnarray*}$

Du musst die rechte Seite nach Einsetzen des Terms für P(t) also irgendwie umformen oder ausmultiplizieren.

Grüße Abakus smile

28.05.2006, 12:47

Reilsss

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Danke Abakus für deinen Willkommen und deinen Tip.

Ich hab versucht das soweit umzusetzten, jedoch fehlt mir noch ein hoch2

Nundenn hier mein gedankengang:

Die Gleichung von der ich ausgehe heist nach meinem glauben
$\begin{eqnarray*} P'(t) =0,5*P(t)*(\frac{P(t)}{100}) \end{eqnarray*}$

P'(t) und P(t) eingesetzt sieht das bei mir dann so aus
$\begin{eqnarray*} 150\frac{e^{-0,5t}}{(1+3e^{-0,5t})^{2} } = 0,5*\frac{100}{1+3e^{-0,5t}}*(1-\frac{\frac{100}{1+3e^{-0,5t}} }{100} ) \end{eqnarray*}$

Im nächten schritt wollte ich hinten die hundert weg kürzen
$\begin{eqnarray*} 150\frac{e^{-0,5t}}{(1+3e^{-0,5t})^{2} } = 0,5*\frac{100}{1+3e^{-0,5t}}*(1-1+3e^{-0,5t}) \end{eqnarray*}$

Nun dachte ich das 1 - 1 = 0 in der klammer hinten gerechnet wird und 0 + 3... sogut wie 3.. ist
$\begin{eqnarray*} 150\frac{e^{-0,5t}}{(1+3e^{-0,5t})^{2} } = 0,5*\frac{100}{1+3e^{-0,5t}}*(3e^{-0,5t}) \end{eqnarray*}$

Dann hab ich die klammer hinten mit 0,5 mal genommen
$\begin{eqnarray*} 150\frac{e^{-0,5t}}{(1+3e^{-0,5t})^{2} } = \frac{100}{1+3e^{-0,5t}}*(1,5e^{-0,5t}) \end{eqnarray*}$

Darauf hab ich das was in der klammer war über den bruchstrich geholt
$\begin{eqnarray*} 150\frac{e^{-0,5t}}{(1+3e^{-0,5t})^{2} } = \frac{100*(1,5e^{-0,5t})}{1+3e^{-0,5t}} \end{eqnarray*}$

Ausgerechnet
$\begin{eqnarray*} 150\frac{e^{-0,5t}}{(1+3e^{-0,5t})^{2} } = \frac{150*e^{-0,5t}}{1+3e^{-0,5t}} \end{eqnarray*}$

und zuletzt die 150 vor den bruch gezogen
$\begin{eqnarray*} 150\frac{e^{-0,5t}}{(1+3e^{-0,5t})^{2} } = 150\frac{e^{-0,5t}}{1+3e^{-0,5t}} \end{eqnarray*}$

Jetzt steht Links vom Gleichzeichen fast das gleiche wie rechts... jedoch bruach ich rechtsnoch ein ()² ...... Daher geh ich davon aus dasich irgend wo nen denkfehler habe. Oder etwas immer noch flasch mache. Bin mir aber nicht sicher was....

Kann mir eventuell jemand noch eine tip geben, auf was ich eventuell achten soll?

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