Alg. Zahlentheorie: Zahlkörper/Mipo/Linearkomb

27.05.2006, 18:33

Knurg

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Alg. Zahlentheorie: Zahlkörper/Mipo/Linearkomb

Hallo,

Ich haenge jetzt schon einige Zeit an einer Übungsaufgabe aus unserer Vorlesung "Algebraische Zahlentheorie". Ich poste einfach mal die Aufgabe:

Sei K=Q( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) der Zahlkörper mit f( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) = 0, wo f = $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ - 101 gilt. Bestimme für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ = 1/(1+ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ ) die Darstellung als Linearkombination von 1, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ , sowie das Minimalpolynom.

Mein erster Gedanke war erstmal "Hae?!" - Ich weiss leider nicht viel über Zahlkörper, gescheigedenn welche implizite Information damit "mitschwingt". Noch dazu versteh ich nicht ganz, was überhaupt gesucht ist.

Ich hab mal so angefangen:

Da $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ja eine Nullstelle sein muss, und das bei dem Polynom nicht weiter schwer ist, wird es wohl die dritte Wurzel von 101 sein. Damit kann man aber nicht sonderlich gut rechnen. Ausserdem weiss ich leider nicht, was ich jetzt damit tun soll.

Bin für jede Hilfe dankbar!

MFG

Knurg

27.05.2006, 22:31

JochenX

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nur durch Angabe des Minimalpolynoms ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig bestimmt.
Es kann neben $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{101} \end{eqnarray*}$ auch noch $\begin{eqnarray*} \zeta*\sqrt[3]{101} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \zeta^2*\sqrt[3]{101} \end{eqnarray*}$ sein (Zeta ist dabei eine primitive 3. Einheitswurzel in C).

Dein Beta ist ganz und gar unverständlich, 1/1=1 und somit steht da $\begin{eqnarray*} \beta=1+\alpha+\alpha^2 \end{eqnarray*}$ und das glaube ich nicht, dass das gemeint ist.

27.05.2006, 22:36

Knurg

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Im $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ fehlten die Klammern, stimmt... 1/(1+ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ )

27.05.2006, 22:45

JochenX

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Wie schon gesagt, gibt es 3 mögliche Alpha.
Nehmen wir $\begin{eqnarray*} \alpha=\sqrt[3]{101} \end{eqnarray*}$ , dann haben wir's wohl am einfachsten.

Die Schreibweise von Beta ist schon etwas nachlässig, eigentlich sollte da lieber $\begin{eqnarray*} \beta=(1+\alpha+\alpha^2)^{-1} \end{eqnarray*}$ stehen.

Gesucht ist also das Inverse von.....
Setze an: $\begin{eqnarray*} \beta=a*1+b*\alpha+c*\alpha^2 \end{eqnarray*}$
Es soll ...*...=1 gelten. Damit solltest du Beta bestimmen können.

27.05.2006, 23:36

Knurg

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Hallo,

Das mit den Nullstellen im Komplexen ist mir klar, (ist das relevant? In der Vorlesung bewegten wir uns nie im Komplexen).

Aber sollte ja so auch gehen... - das mit dem Inversen ist mir schonmal gleich nicht aufgefallen, stimmt aber wohl.

Wieso soll ... * ... = 1 gelten und nicht = 0? Sind das nicht die Bestandteile der dreifachen Nullstelle?

27.05.2006, 23:39

JochenX

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Zitat:

Original von Knurg
Das mit den Nullstellen im Komplexen ist mir klar, (ist das relevant? In der Vorlesung bewegten wir uns nie im Komplexen).

was heißt, ist das relevant?
das sind eben die 3 Nullstellen deines über Q irreduziblen Polynoms. Nur mit der Angabe, dass alpha eine der Nullstellen ist, kann alpha also noch jede der Nullstellen sein, oder etwa nicht?

Zitat:

Aber sollte ja so auch gehen... - das mit dem Inversen ist mir schonmal gleich nicht aufgefallen, stimmt aber wohl.

Wieso soll ... * ... = 1 gelten und nicht = 0? Sind das nicht die Bestandteile der dreifachen Nullstelle?

das ist einfach der Ansatz für $\begin{eqnarray*} \beta*(1+\alpha+\alpha^2)=1 \end{eqnarray*}$
und dann muss natürlich 1 hin, denn hier geht es ja um das multiplikativ Inverse

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28.05.2006, 00:19

Knurg

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Ah - Ok, das erklärts. Beschreiben kann ich damit das $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ aber doch immernochnicht - immerhin hab ich ja dann (a+b $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ +c $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ )*(1+ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ ) = 1 - damit 1 Gleichung und 3 Unbekannte (?).

Damit 2 Freiheitsgrade - soll/kann/darf ich die festlegen?

28.05.2006, 00:23

JochenX

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multipliziere das mal aus
das Stichwort heißt KOEFFIZIENTENVERGLEICH, und damit 3 Gleichungen

nix festlegen, das Inverse ist eindeutig Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2006, 00:39

Knurg

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Hmz... okay, ich sollte mich wieder mehr mit Mathematik beschäftigen ;-)

Sorry für meine Unwissenheit!

ausmultipliziert: a+a $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ +a $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ +b $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ +b $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ +b $\begin{eqnarray*} \alpha^3 \end{eqnarray*}$ +c $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ +c $\begin{eqnarray*} \alpha^3 \end{eqnarray*}$ +c $\begin{eqnarray*} \alpha^4 \end{eqnarray*}$ = 1 + 0 $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ + 0 $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ + ...

-> a = 1
-> (a+b) $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 0 $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -> b=-1
-> c=0

damit: $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ = 1*1 + (-1) $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ + 0 $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Das ist dann der 1. Teil: Beta als Linearkombination, ja?

28.05.2006, 00:48

JochenX

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Oh Gott NEIN, wie kommen denn da die c in den Exponenten?

die a,b,c bleiben schön unten und benutze natürlich auch alpha^3=101

28.05.2006, 00:56

Knurg

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Die sind nicht im Exponenten, ich bin nur a. Zu blöd zum Latexen oder b. Das Forum stellts nicht richtig dar...

Ich ersetz mal der einfachheit halber (und der korrekten darstellung halber alle alpha durch x und alle hoch durch ^:

a+ax+ax^2 +bx+bx^2 +bx^3 + cx^2 + cx^3 + cx^4 = 1 + 0x + 0x^2 ...

Koeffizientenvergleich (falls ich das noch richtig mache):

a steht ohne x, 1 steht ohne x -> a = 1
ax+bx = 0x -> (a+b)x = 0x -> (a+b) = 0 -> b = -1

ax^2 + bx^2 + c x^2 = 0 x^2 -> a+b+c = 0 -> 1 - 1 +c = 0 -> c = 0

d.h. a*1 + b*x + c*x^2 = 1-x - was dann beta sein sollte... stimmt aber nicht, da (1+x+x^2) * (1-x) != 1 (?)

28.05.2006, 01:06

JochenX

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ähem, Anfang passt.

aber nicht nur a steht ohne x.
bx^3=b*101 auch smile

smile

, von cx^3 gar nicht zu sprechen

cx^4 z.B. ist vom Typen ...*x

28.05.2006, 01:34

Knurg

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Ah... dummer fehler, danke smile

smile

also ist:
a + 101b + 101c = 1 (I)
a + b + 101c = 0 (II)
a + b + c = 0 (III)

-> II - III:
100c = 0 -> c = 0

-> I-II
100b = 1 -> b = 1/100

-> in II:
a = - 1/100

Und jetzt stimmts sogar mit $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ = -1/100 + 1/100 $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ! Super, danke smile

smile

28.05.2006, 01:46

JochenX

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das LGS stimmt, ich denke, dass auflösen und prüfen hast du richtig

weiter gehts mit dem Minimalpolynom vom Beta, das hat Grad 1, 2 oder 3.
Grad 1 kann man ausschließen, 2 auch schnell.

Fange mit dem "einfachsten" Polynom mit Nullstelle Beta an: (X-beta).
versuche daraus ein Polynom mit Koeffizienten in Q zu basteln.
Tipp: bringe das alphazeugs auf eine Seite und nimm das ganze hoch 3.

28.05.2006, 02:27

Knurg

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Gut...

Also hab ich:

x- $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ = 0
x = $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$
x = - 1/100 + 1/100 * $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{101} \end{eqnarray*}$

x + 1/100 = 1/100 * $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{101} \end{eqnarray*}$

Die dritte wurzel muss weg ->^3

(x + 1/100)^3 = 101/1.000.000

...

x^3 + 3/100 x^2 + 3/10.000 x + 1/10.000 = 0

Ist das das MiPo?

28.05.2006, 02:49

JochenX

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das ist eine Gleichung!
die ist außerdem, wenn ich mich nicht verrechnet habe, vorzeichenfehlerbehaftet (müsste das nicht -1/10000 heißen?)!

Du hast auf jeden Fall am Ende eine Gleichung, die als Lösung Beta hat.
Das zugehörige Polynom heißt dann natürlich ohne "= 0".

Das ist ein Polynom mit Nullstelle Beta.
Ganz korrekterweise müsstest du jetzt noch seine Irreduzibilität zeigen.
Da helfen aber auch Tricks!

z.B. folgender, wenn du dich etwas mit der Theorie der Körpererweiterungen auskennst:
Es gilt: $\begin{eqnarray*} \beta \in \mathbb Q[\alpha] => \mathbb Q[\beta] \subseteq \mathbb Q[\alpha] \end{eqnarray*}$
Desweiteren sind Körpergrade mulitplikativ, das heißt es gilt:
$\begin{eqnarray*} [\mathbb Q[\alpha]:\mathbb Q[\beta]]*[\mathbb Q[\beta]:\mathbb Q]=[\mathbb Q[\alpha]:\mathbb Q]=3 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q[\beta]:\mathbb Q] \in \{1,3\} \end{eqnarray*}$ und 1 ist es natürlich nicht, da Beta nicht in Q liegt.

qed.

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