Ableitung

27.05.2006, 22:06

Kira 007

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Ableitung

Hallo und guten Abend

ich möchte gerne von der folgenden Funktion die die 2 Ableitung berechnen

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3x^2+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3x}{\sqrt{(3x^2+1)}} \end{eqnarray*}$

irgendwie verstehe ich jetzt die zweite Ableitung nicht ganz

$\begin{eqnarray*} f''(x)=3*(3x^2+1)^\frac{-3}{2}*6x \end{eqnarray*}$

das 6x am Ende ist ja falsch aber warum ?

Gruß Kira

27.05.2006, 22:16

hodgesaargh

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nehmen wir doch mal wieder die quotientenregel (die 1. ableitung ist schonmal richtig):

f''=(3sqrt(3x^2+1)-9x^2/sqrt(3x^2+1))/(3x^2+1)=...

27.05.2006, 22:20

Kira 007

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stimmt Qoutientenregel benutzen damit sollte ich klar kommen Super vielen Dank Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2006, 15:34

Kira 007

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ich hab mal versucht die zweite Ableitung zu berechnen
das war die Aufgabe dazu

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3x}{\sqrt{(3x^2+1)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=\sqrt{3x^2+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=3x*(3x^2+1)^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v²=3x^2+1 \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit oder ist irgendwo ein Fehler

dann könnte ich weiter rechnen

28.05.2006, 16:52

Kira 007

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ich habe hinterher als zweite ableitung raus

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{(\sqrt[2]{3x^+1})^2} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 16:55

Frooke

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Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} u=3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=3 \end{eqnarray*}$

Stimmt

Freude

Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} v=\sqrt{3x^2+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=3x*(3x^2+1)^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$

Auch gut!

Zitat:

Original von Kira 007
$\begin{eqnarray*} v²=(\sqrt{3x^+1})^2 \end{eqnarray*}$

Schreibe besser

$\begin{eqnarray*} v²=3x^2+1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da fehlt noch ein Quadrat! Deshalb stimmt auch die Ableitung nicht.

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28.05.2006, 17:18

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{(\sqrt[3]{3x^2+1})^2} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 17:24

Frooke

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Wie kommst Du auf die dritte Wurzel?

Stures Anwenden der Quotientenregel bringt ja

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{9x^2\sqrt{3x^2+1}-3\sqrt{3x^2+1}}{3x^2+1} \end{eqnarray*}$

Das kannst Du dann vereinfachen.

28.05.2006, 17:31

Kira 007

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in wie weit außer die beiden Wurzeln im Zähler die ich wegkürzen könnte fällt mir momentan nichts auf

Gruß kira

28.05.2006, 17:34

derkoch

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Zitat:

Original von Kira 007
in wie weit außer die beiden Wurzeln im Zähler die ich wegkürzen könnte fällt mir momentan nichts auf

Gruß kira

sowas hatten wir schon mal kira!

$\begin{eqnarray*} (3x^2+1) = \sqrt{3x^2+1} \cdot \sqrt{3x^2+1} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 17:39

Kira 007

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stimmt das hatten wir schon des öffteren!!

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{(\sqrt[2]{3x^2+1})^3} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 18:41

Frooke

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Du scheinst falsch zu kürzen:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{9x^2-3}{\sqrt{3x^2+1}} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 18:47

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{9x^2\sqrt{3x^2+1}-3\sqrt{3x^2+1}}{3x^2+1} \end{eqnarray*}$

also soweit komme ich ja Probleme kann ich das nicht zusammenfassn ohne das erst mal zu kürzen

ich muss den Zähler doch subtrahieren

verstehe das irgendwie nicht!!

28.05.2006, 19:12

Krokork

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Wieso denn das? Du kürzt die Wurzel raus und dann hast du wie Frooke es schon geschrieben hat eine schöne Zusammenfassung... Ich bin allerdings mit der Ableitung nicht ganz einverstanden. Ich weiß man soll es nicht einfach hinschreiben, aber ich denk das hilft am besten zu verstehen was letztendlich gemacht wird.

1. Qutientenregel:

$\begin{eqnarray*} \frac{3*\sqrt{3x^{2}+1} - 3x*\frac {3x}{\sqrt{3x^{2}+1}}}{3x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt das Vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{3*\sqrt{3x^{2}+1} - \frac {9x^{2}}{\sqrt{3x^{2}+1}}}{3x^{2}+1} = \frac{\frac{3*\sqrt{3x^{2} + 1}*\sqrt{3x^{2} + 1}}{\sqrt{3x^{2} + 1}}-\frac{9x^{2}}{\sqrt{3x^{2}+1}}}{3x^{2}+1} = \frac{\frac{3*(3x^{2}+1)}{\sqrt{3x^{2} + 1}}-\frac{9x^{2}}{\sqrt{3x^{2}+1}}}{3x^{2}+1} = \frac{\frac{3}{\sqrt{3x^{2}+1}}}{3x^{2}+1} = \frac{3}{(3x^{2}+1)*(3x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

Und daraus folgt dann schließlich:

$\begin{eqnarray*} = \frac{3}{(3x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

edit: wie das Erweitern funktioniert um den selben Hauptnenner zum subtrahieren zu bekommen ist dir klar oder? du kannst einfach in Zähler und Nenner das gleiche multiplizieren. Da du das auch einfach wieder wegkürzen kannst ist es dasselbe, nur eben anders geschrieben.

28.05.2006, 19:13

Kira 007

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Schon mal vielen Dank an Dich Krokork

ich schau mir das mal an

Gruß Kira

habe alles verstanden ich hab einfach immer den gleichen Fehler gemacht.

Vielen dank an alle smile

smile

Gruß Kira

Doppelpost zusammengefügt, bitte benütze die Edit-Funktion. Lg Mike

28.05.2006, 22:13

Kira 007

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ich habe nochmal eine berechnet

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

als Ableitung habe ich berechnet

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4x}{(\sqrt[2]{x^2+1})^3} \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

28.05.2006, 23:03

derkoch

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Zitat:

Original von Kira 007
ich habe nochmal eine berechnet

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

als Ableitung habe ich berechnet

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4x}{(\sqrt[2]{x^2+1})^3} \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

ohne genau nach zu rechnen sag ich dir, daß der zähler faksch ist! im zähler steht nachher irgendetwas mit $\begin{eqnarray*} x^3 -x \end{eqnarray*}$ , soweit ich daß auf die schnelle gerechnet habe!

28.05.2006, 23:09

Kira 007

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der Zähler oder beides die Frage ist ob ich mich verrechnet habe oder das ganz falsch ist, was ich nicht wirklich verstehen würde

28.05.2006, 23:12

derkoch

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kira!
ich habe dir bereits gesagt, ween du schwierigkeiten hast mehrere sachen auf einmal zu rechnen, dann bilde einfach u' und v' einzeln getrennt ab! danach setzt du nach den quotientenregel die ableitungsfunktion zusammen! du ersparst dir eine menge kleine fehler dadurch! das erspart dir in der klausur auch eine ganze menge ärger! Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2006, 23:18

Kira 007

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ich leite das immer erst separat ab und setze das dann erst zusammen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2006, 23:20

hodgesaargh

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hehe, kira macht anscheinend den lieben langen tag nichts anderes, als irgendwelche funktionen abzuleiten. verwirrt

verwirrt

ich habe den gleichen nenner raus. den zähler habe ich anders.

28.05.2006, 23:22

Kira 007

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momentan hast Du recht ich mach wirklich fast nichts anderes

was hast Du den für den Zähler herraus ?

28.05.2006, 23:23

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Original von hodgesaargh
hehe, kira macht anscheinend den lieben langen tag nichts anderes, als irgendwelche funktionen abzuleiten. verwirrt

verwirrt

ich habe den gleichen nenner raus. den zähler habe ich anders.

Original von derkoch
ohne genau nach zu rechnen sag ich dir, daß der zähler faksch ist! im zähler steht nachher irgendetwas mit, soweit ich daß auf die schnelle gerechnet habe! Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

28.05.2006, 23:26

hodgesaargh

Auf diesen Beitrag antworten »

ähm, herr koch, mein comment enthielt immerhin noch die zusatzinformation, dass der nenner vermutlich stimmt, insofern war er berechtigt (ich vermute mal, ich habe deine "anspielung" verstanden).

für den zähler habe ich x^3+3x.

28.05.2006, 23:29

derkoch

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Zitat:

Original von hodgesaargh
ähm, herr koch, mein comment enthielt immerhin noch die zusatzinformation, dass der nenner vermutlich stimmt, insofern war er berechtigt (ich vermute mal, ich habe deine "anspielung" verstanden).

für den zähler habe ich x^3+3x.

und mein beitrag enthielt dementsprechend auch nur infos und kommentar über den zähler und nicht den nenner! Big Laugh

Big Laugh

geschockt

28.05.2006, 23:31

hodgesaargh

Auf diesen Beitrag antworten »

exactly, weshalb ich deinen comment von 23:23 nicht verstehe.

28.05.2006, 23:35

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hodgesaargh
exactly, weshalb ich deinen comment von 23:23 nicht verstehe.

das soll sagen, daß wir beide zum selben ergebnis gekommen sind! ich habe es nicht exakt nach gerechnet, weshalb ich in meinem beitrag auch schrieb, daß evtl. irgend etwas mit $\begin{eqnarray*} x^3-x \end{eqnarray*}$ raus kommen könntes! und du mein ergebnis, bzw. meine vermutung bestätig hast! daher das Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

28.05.2006, 23:37

Kira 007

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also ich poste ersteinmal meine Ableitung in Form der Qoutientenregel

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x*\sqrt{x^2+1}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}*x^2-1}{(\sqrt{x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$

29.05.2006, 00:26

Krokork

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast beim Ableiten des Nenners die innere Ableitung vergessen, ansonsten stimmts.

Und im Nenner deiner Ableitung kannst du einfach $\begin{eqnarray*} x^{2}+1 \end{eqnarray*}$ schreiben. Wurzel und Quadrat heben sich ja auf..

29.05.2006, 11:52

Kira 007

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ich denke Du meinst die Ableitung im Zähler und nicht im Nenner

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x*\sqrt{x^2+1}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}*x^2-1}{(\sqrt{x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$

stimmt das schon mal

aber auf das Ergebnis komme ich trotzdem nicht, ich habe Probleme beim vereinfachen, eventuelll würde ich das besser verstehen wenn ich den Lösungsweg sehen würde

Gruß Kira

29.05.2006, 11:57

klarsoweit

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Klammern setzen!
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x*\sqrt{x^2+1}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2-1)}{(\sqrt{x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ erweitern.

29.05.2006, 11:58

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kira 007
ich denke Du meinst die Ableitung im Zähler und nicht im Nenner

Ich denke, er meint die Ableitung des Ursprungsnenners, die in der Ableitung im Zähler zu stehen kommt. smile

smile

Und der zweite war: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=x~\forall x>0 \end{eqnarray*}$

also für Deine Ableitung (die ich jetzt nicht geprüft habe)

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x\cdot\sqrt{x^2+1}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot x^2-1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt schreib doch mal die Wurzeln in Potenzen um, dann siehst Du ganz einfach, was sich ausklammern lässt!

29.05.2006, 11:58

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kira 007
ich denke Du meinst die Ableitung im Zähler und nicht im Nenner

$\begin{eqnarray*} -\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}*x^2-1 \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

falsch!!!! Forum Kloppe

Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} -\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}*(x^2-1) \end{eqnarray*}$

KLAMMERN; KLAMMERN und nochmal KLAMMERN!

29.05.2006, 12:04

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x*\sqrt{x^2+1}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2-1)}{(\sqrt{x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$

kann jetzt nicht einfach wieder die Brüche voneinander subtrahieren wie bei der anderen Aufgabe

Gruß Kira

29.05.2006, 12:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen:

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich würde jetzt mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ erweitern.

29.05.2006, 14:26

Kira 007

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also wenn ich die Brüche subtrahiere muss ich sie doch gleichnamig machen dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{2x*\sqrt{x^2+1}*2\sqrt{x^2+1}-}{2\sqrt{x^2+1}}\frac{2x^3-1}{2\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

29.05.2006, 14:33

derkoch

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Zitat:

Original von Kira 007
also wenn ich die Brüche subtrahiere muss ich sie doch gleichnamig machen dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{2x*\sqrt{x^2+1}*2\sqrt{x^2+1}-}{2\sqrt{x^2+1}}\frac{2x^3-1}{2\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

nein!

unglücklich

wie kommst du denn darauf?

29.05.2006, 14:34

Kira 007

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das hatte ich so berechnet bei der anderen Aufgabe, deshalb komme ich darauf

29.05.2006, 14:37

derkoch

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Zitat:

Original von Kira 007
das hatte ich so berechnet bei der anderen Aufgabe, deshalb komme ich darauf

könntest du mir bitte erläutern, wie du auf den term $\begin{eqnarray*} (2x^3-1) \end{eqnarray*}$ kommst?

29.05.2006, 14:41

Kira 007

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x*\sqrt{x^2+1}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2-1)}{(\sqrt{x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$

klar 2x *(x^2+1)

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