Vektorielles Produkt u. Spatprodukt

28.08.2008, 16:02

eierkopf1

Vektorielles Produkt u. Spatprodukt

Hallo!

Ich habe ein Beispiel, bei dem ich eigentlich weiß, wie es gerechnet werden muss, aber verstehe dazu etwas nicht:

"Zeige, dass die Punkte A(9/3/12), B(6/7/0) und C(16,4/14,8/0) ein gleichschenkeliges-rechtwinkeliges Dreieck bilden. Ergänze das Dreieck ABC zum Quadrat ABCD, errichte über diesem Quadrat den Würfel ABCDEFGH und berechne die Koordinaten der nicht gegebenen Eckpunkte des Würfels."

So weit kein Problem: D(19,4/10,8/12).

Nur jetzt das mit dem Kreuzprodukt: Ich verstehe, wie es gerechnet wird und das es auf die beiden Basisvektoren normalsteht. Ich verstehe auch, wenn ich es grafisch vor mir habe, wann es ein Rechtssystem und wann es ein Linkssystem ist.

Jedoch wie überprüfe ich das? Mit dem Spatprodukt.

$\begin{eqnarray*} (\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \cdot \overrightarrow {c} > 0 \end{eqnarray*}$
wenn es ein Rechtssystem ist und kleiner 0 wenn es ein Linkssystem ist.

Soweit so gut:

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB} =\overrightarrow {a} =\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AD} =\overrightarrow {b} =\begin{pmatrix} 10,4 \\ 7,8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vektorielles Produkt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {c} =\begin{pmatrix} 93,6 \\ -124,8 \\ -65 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Spatprodukt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {c} \cdot \overrightarrow {c} =28651 \end{eqnarray*}$

-> größer Null -> Rechtssystem...

2. Fall:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AD} =\overrightarrow {a} =\begin{pmatrix} 10,4 \\ 7,8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB} =\overrightarrow {b} =\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vektorielles Produkt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {c} =\begin{pmatrix} -93,6 \\ 124,8 \\ 65 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Spatprodukt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {c} \cdot \overrightarrow {c} =28651 \end{eqnarray*}$

-> größer Null -> Rechtssystem...

Ich weiß aber, dass es einmal ein Linkssystem und einmal ein Rechtssystem sein muss. Mir ist auch klar, warum beim Spatprodukt zweimal etwas positives herausbekomme, weil Minus mal Minus ist Plus.

Kann mir jemand erklären, wie ich am besten vorgehe, damit ein Rechtssystem/Linkssystem entsteht. Wenn ich es grafisch vor mir sehe, ist es mir völlig klar, wie ich rechnen muss, damit ein Rechtssystem entsteht, aber rein rechnerisch (ist es auch schlecht zeichenbar) weiß ich es nicht...

Vielen Dank schon mal für die Hilfe!

mfg

28.08.2008, 17:11

mYthos

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Dein Fehler ist ganz einfach der, dass du bei beiden Vektorprodukten jedes Mal $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ geschrieben hast. Das ist jedoch unrichtig, denn beim zweiten ist

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{c} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ das Vektorprodukt im Fall 1 bezeichnet. Somit ist im Fall 2 das Spatprodukt

$\begin{eqnarray*} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (-\vec{c}) = - (\vec{c})^2 \end{eqnarray*}$

mY+

EDIT:
Obiges ist zu canceln.
Ich habe jetzt gesehen, dass dein $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ im 2. Fall den negativen Vektor des 1. Falles bezeichnet und insofern stimmt deine Rechnung rein formal wieder.

Wo steht allerdings geschrieben, dass das "Spatprodukt" (welches denn?) im 2. Falle negativ sein muss?? Das vorliegende ist doch nichts anderes als das skalare Produkt des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ mit sich selbst und das ist das Quadrat seines Betrages. Somit dient deine Methode schlichtweg nicht zur Bestimmung des Umlaufsinnes des Koordinatensystemes.

28.08.2008, 22:14

eierkopf1

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Zitat:

Original von mYthos
Dein Fehler ist ganz einfach der, dass du bei beiden Vektorprodukten jedes Mal $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ geschrieben hast. Das ist jedoch unrichtig, denn beim zweiten ist

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{c} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ das Vektorprodukt im Fall 1 bezeichnet. Somit ist im Fall 2 das Spatprodukt

$\begin{eqnarray*} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (-\vec{c}) = - (\vec{c})^2 \end{eqnarray*}$

mY+

EDIT:
Obiges ist zu canceln.
Ich habe jetzt gesehen, dass dein $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ im 2. Fall den negativen Vektor des 1. Falles bezeichnet und insofern stimmt deine Rechnung rein formal wieder.

Wo steht allerdings geschrieben, dass das "Spatprodukt" (welches denn?) im 2. Falle negativ sein muss?? Das vorliegende ist doch nichts anderes als das skalare Produkt des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ mit sich selbst und das ist das Quadrat seines Betrages. Somit dient deine Methode schlichtweg nicht zur Bestimmung des Umlaufsinnes des Koordinatensystemes.

Danke für die Antwort!

Das ist mir eigentlich soweit klar. Nur ich dachte, wenn das Spatprodukt positiv ist, dann ist es ein Rechtssystem... Aber wie kann ich es sonst bestimmen, ob die Basisvektoren mit dem ausgerechneten Normalvektor ein Rechts- oder ein Linkssystem bilden?

mfg

28.08.2008, 23:58

mYthos

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Das ist relativ leicht zu erklären: Beachte die Definition des Normalvektors, d.h. im Besonderen die Definition des vektoriellen Produktes. Ein Absatz (der 3 Absätze) der Definition besagt, dass der Produktvektor aus den Basisvektoren genau so hervorzugehen hat, wie die Einheitsvektoren des Koordinatensystemes.

$\begin{eqnarray*} \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Wenn du daher den Normalvektor folgerichtig, d.h. definitionsgemäß berechnest, also in der Form

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \vec{e_1} \\ a_2 & b_2 & \vec{e_2} \\ a_3 & b_3 & \vec{e_3} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

dann folgen automatisch $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \ \vec{b} \ \text{und} \ \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ genau so aufeinander wie die Einheitsvektoren des Koordinatensystemes, bilden also hier in unserem Fall ein Rechtssystem wie das vorgegebene Koordinatensystem.

Daraus folgt auch zwangsläufig $\begin{eqnarray*} \vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b}) \end{eqnarray*}$ .

mY+

29.08.2008, 17:39

eierkopf1

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Zitat:

Original von mYthos
Das ist relativ leicht zu erklären: Beachte die Definition des Normalvektors, d.h. im Besonderen die Definition des vektoriellen Produktes. Ein Absatz (der 3 Absätze) der Definition besagt, dass der Produktvektor aus den Basisvektoren genau so hervorzugehen hat, wie die Einheitsvektoren des Koordinatensystemes.

$\begin{eqnarray*} \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Wenn du daher den Normalvektor folgerichtig, d.h. definitionsgemäß berechnest, also in der Form

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \vec{e_1} \\ a_2 & b_2 & \vec{e_2} \\ a_3 & b_3 & \vec{e_3} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

dann folgen automatisch $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \ \vec{b} \ \text{und} \ \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ genau so aufeinander wie die Einheitsvektoren des Koordinatensystemes, bilden also hier in unserem Fall ein Rechtssystem wie das vorgegebene Koordinatensystem.

Daraus folgt auch zwangsläufig $\begin{eqnarray*} \vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b}) \end{eqnarray*}$ .

mY+

Danke für die Antwort!

Also muss ich immer so rechnen, wenn ich mir ganz sicher sein will, dass es ein Rechts(Links)system sein soll.

Ich weiß, welche Werte die Einheitsvektoren des Koordinatensystems haben, nur weiß ich nicht, wie ich diese Determinate berechne soll. Kannst du mir das erklären oder anhand meines Beispiels rechnerisch zeigen?

Vielen Dank für die Mühe.

mfg

29.08.2008, 20:39

mYthos

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Du kannst diese Determinante leicht berechnen, indem du sie nach den Elementen der 3. Spalte (d.s. die Einheitsvektoren) entwickelst:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \vec{e_1} \\ a_2 & b_2 & \vec{e_2} \\ a_3 & b_3 & \vec{e_3} \end{vmatrix} = \vec{e_1} \cdot \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} - \vec{e_2} \cdot \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} + \vec{e_3} \cdot \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = \vec{n} = \vec{e_1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} - \vec{e_2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + \vec{e_3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = -16 \vec{e_1} - 10 \vec{e_2} - \vec{e_3} = \begin{pmatrix} -16 \\ -10 \\ -1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 16 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Probe zeigt, dass die jeweiligen Skalarprodukte der senkrecht aufeinanderstehenden Vektoren Null sind. Dass $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \ \vec{b} \ \text{und} \ \vec{n} \end{eqnarray*}$ auch ein Rechtssystem bilden, kannst du durch Zeichnung verifizieren. Die kürzeste Drehung von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ erzeugt nach der Rechts-Schraubregel die Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ .

mY+

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