Riemannsche Zeta-Funktion

28.08.2008, 17:00

ajax2leet

Riemannsche Zeta-Funktion

Ich habe mir gerade mal den wiki-Artikel zur Zeta-Funktion durchgelesen und bin da auf was gestoßen, was mich ziemlich verblüfft hat.
Vielleicht habe ic hes mir ja auch zu leicht gemacht...

Also definiert ist die Funktion ja durch: $\begin{eqnarray*} \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit einem Realteil > 1

Nun steht aber weiter unten im wiki-Artikel, dass für ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} k > 0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \zeta(1-k)=-\frac{B_k}k \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} B_k \end{eqnarray*}$ die k-te Bernoulli Zahl ist.

Ich habe einfach mal der Funktionswert für -1 (also k=2) berechnet und komme da auf $\begin{eqnarray*} \zeta (-1) = -\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

Hier kommt dann wohl der Punkt, an dem ich es mir zu leicht mache...
Wenn ich -1 jetzt einfach mal in die o.g. Definition einsetze bekomme ich ja:
$\begin{eqnarray*} \zeta(-1) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{-1}} = \sum_{n=1}^\infty n \end{eqnarray*}$

liegt das daran, dass für negative Funktionswerte, die obige Definition nicht gilt, damit solche (zumindest für mich) seltsamen Ergebnisse nicht auftreten?

Das hieße ja, die Summe aller natürliche Zahlen wäre $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ T_T

28.08.2008, 17:04

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Zitat:

Original von ajax2leet
liegt das daran, dass für negative Funktionswerte, die obige Definition nicht gilt,

So ist es - die obige Definition gilt eben nur für Re(s) > 1 .

Die so definierte Funktion kann aber über den genannten Bereich hinaus holomorph fortgesetzt werden - und genau das wird hier getan.

Das gibt es doch auch bei bekannteren, vertrauten Reihen: Betrachte mal $\begin{eqnarray*} f(z) := \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\neq 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n \end{eqnarray*}$ für alle komplexen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} z\geq 1 \end{eqnarray*}$ gibt es aber trotzdem die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ , nur eben ohne diese Bedeutung als Reihenwert. Oder würdest du so einfach folgern

$\begin{eqnarray*} f(2) = -1 \stackrel{???}{=} \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n \end{eqnarray*}$

Sicher nicht, und genauso ist es hier auch bei der Zetafunktion.

31.08.2008, 22:43

Raumpfleger

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Trotzdem hat diese Formel

1 + 2 + 3 + ... = -1/12,

der Verbindungen zu Ramanujan nachgesagt werden, dauerhaftes Interesse wenigstens unter theoretischen Physikern ausgelöst:

http://math.ucr.edu/home/baez/week126.html

Persönlich halte ich die Formel für falsch. Wenn man die Reihe summieren wollte, um von dieser Meinung wegzukommen, müsste man surreale Zahlen benutzen, die mehr Struktur als das einfach Unendliche für die diversen Unendlichkeiten enthalten.

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