Iterationsverfahren (Jacobi & Gauß-Seidel)

28.05.2006, 13:36	joshmus9	Auf diesen Beitrag antworten »
Iterationsverfahren (Jacobi & Gauß-Seidel) Hallo, ich habe mit dem Jacobi- bzw. Gauß-Seidel-Verfahren zwei mal iteriert und folgende Vektoren erhalten $\begin{eqnarray} x^{(2)} \end{eqnarray}$ = (10, 1, $\begin{eqnarray} \frac{7}{4} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} ^T \end{eqnarray}$ mit Jacobi bzw. $\begin{eqnarray} x^{(2)} \end{eqnarray}$ = ( $\begin{eqnarray} \frac{65}{8} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{-5}{32} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} ^T \end{eqnarray}$ mit Gauß-Seidel. Ich soll nun den Fehler der zweiten Iterierten beider Verfahren zur exakten Lösung berechnen. Also habe ich zunächst den exakten Wert berechnet: $\begin{eqnarray} x^{(exakt)} \end{eqnarray}$ = (8, 0, 0) $\begin{eqnarray} ^T \end{eqnarray}$ Anschließend habe die Spaltensummennorm meiner iterierten Vektoren durch die Spaltensummennorm des exakten Vektors geteilt. $\begin{eqnarray} \frac{\|\|x^{(2)}\|\|_1}{\|\|x^{(exakt)}\|\|_1} \end{eqnarray}$ Das müßte dann den Fehler ergeben, je näher ich hier an 1 liege, destso besser ist mein Ergebnis, da bei genau 1 für den Fehler null folgt. Wenn meine Überlegungen bisher stimmen, so habe ich jetzt folgendes Problem. Ich soll nämlich die Iterationsmatrixen angeben(ok, das habe ich noch selbst geschaft:-) und die Konvergenzgeschwindigkeit der beiden Iterationsverfahren nach folgender Formel abschätzen: $\begin{eqnarray} $\|\|r^{k+1}\|\| \leq \|\|I-B^{-1}A\|\|$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|r^k\|\| \end{eqnarray}$ Ich soll jetzt eine obere Schranke für den Fehler $\begin{eqnarray} \|\|r^{(3)}\|\|_1 \end{eqnarray}$ für beide Verfahren angeben. Das Prinzip ist mit klar, und die Spaltensummennorm der Iterationsmatrix (ist ja der Ausdruck $\begin{eqnarray} I-B^{-1}A \end{eqnarray}$ ) habe ich hinbekommen, war ja nicht schwer, nur wo ist mein Vektor $\begin{eqnarray} r^k \end{eqnarray}$ mit k = 2 von dem ich auch noch die Spaltensummennorm berechnen muß??? Es ist doch nicht der Vektor $\begin{eqnarray} x^{(2)} \end{eqnarray}$ gemeint, oder?
28.05.2006, 14:23	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsverfahren (Jacobi & Gauß-Seidel) Willkommen im Forum, joshmus9 Dein Problem hängt davon ab, wie ihr die beiden Verfahren definiert habt. In dieser Definition sollte auch der Fehlervektor enthalten sein. Hier könnte in Frage kommen: $\begin{eqnarray} r^{(k)} = x^{(k)} - x^{(k-1)} \end{eqnarray}$ . Die exakte Lösung wird hier nicht vorkommen, denn wenn man die kennen würde, bräuchte man kein Iterationsverfahren dazu. Grüße Abakus
28.05.2006, 14:58	joshmus9	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie soll ich dann den Fehler berechnen zwischen der zweiten Iterierten beider Verfahren und der exakten Lösung? Setzt das nicht voraus, dass ich die exakte Lösung kenne? Worauf soll ich denn sonst meinen iterierten Vektor beziehen? Bei der zweiten Sache hast du glaube ich recht und wir hatten das so definiert - danke

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