Generell Steckbriefaufgaben und VZW-Kriterium

28.08.2008, 18:47

Jacques

Generell Steckbriefaufgaben und VZW-Kriterium

Hallo,

Ich hätte eine grundsätzliche Frage zu Steckbriefaufgaben, in denen Extrem- und Wendestellen vorgegeben sind:

Beim Aufstellen der passenden Funktionsgleichung benutzt man ja i. A. nur die notwendigen (und nicht zugleich hinreichenden) Bedingungen für Extrem- und Wendestellen. Also erfüllen ja auch die "Ergebnisfunktionen" nur die notwendigen Bedingungen, haben also nicht zwangsläufig an den geforderten Stellen wirklich Extrem- und Wendepunkte.

Müsste man dann am Ende nicht streng genommen so antworten:

"Wenn es überhaupt die geforderte Funktion gibt, dann ist es ..." ?

Und die zweite Frage:

Ich kenne die Vorzeichenwechsel-Definition in dieser Form:

f hat an der Stelle x0 genau dann einen Vorzeichenwechsel von - nach +, wenn es eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von x0 gibt, sodass alle Stellen, die in der "linken Hälfte" der Umgebung liegen, negative Funktionswerte haben, und alle in der "rechten Hälfte" liegenden Stellen positive Funktionswerte. (bei + nach - enstprechend)

Ist der Vorzeichenwechsel an der Stelle x0 als Extremum-Kriterium nicht zu streng? Reicht nicht auch das folgende Kriterium aus:

f hat an der Stelle x0 dann ein lokales Extremum, wenn es eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von x0 gibt, welche die folgende Eigenschaft hat: Für alle Stellen in der einen "Hälfte" der Umgebung sind die Funktionswerte nichtnegativ, und für alle Stellen in der anderen "Hälfte" sind sie nichtpositiv.

Also der Graph von f' braucht die x-Achse nicht zu schneiden, sondern er darf die x-Achse an der Stelle nur nicht in genau einem Punkt berühren.

//Korrektur

28.08.2008, 21:38

mYthos

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1.
Wenn bei der Umkehraufgabe die Funktion aus den Vorgaben berechnet ist, muss diese anschließend einer normalen Diskussion unterworfen werden, auf das wird meistens vergessen. Das soll man aber tun, um die Resultate zu verifizieren. Dabei kann dann auf bekanntem Wege auch auf die hinreichenden Bedingungen eingegangen werden.

2.
Der VZW bei der Prüfung eines Extremums betrifft die erste Ableitung. In einer Umgebung dieser Stelle muss f ' monoton sein. Da sie genau an der Extremstelle Null ist, muss sie die x-Achse dort schneiden.

mY+

28.08.2008, 22:28

Jacques

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Zitat:

Original von mYthos
1.
Wenn bei der Umkehraufgabe die Funktion aus den Vorgaben berechnet ist, muss diese anschließend einer normalen Diskussion unterworfen werden, auf das wird meistens vergessen. Das soll man aber tun, um die Resultate zu verifizieren. Dabei kann dann auf bekanntem Wege auch auf die hinreichenden Bedingungen eingegangen werden.

OK, das war mir nicht klar. Danke für die Erläuterung. Freude

Zitat:

Original von mYthos
2.
Der VZW bei der Prüfung eines Extremums betrifft die erste Ableitung. In einer Umgebung dieser Stelle muss f ' monoton sein. Da sie genau an der Extremstelle Null ist, muss sie die x-Achse dort schneiden.

mY+

Ja genau, aber f' braucht in dieser Umgebung nicht streng monoton zu sein, oder? Also der Graph braucht die x-Achse nicht zu "durchstoßen", sondern er kann auch auf der x-Achse verlaufen.

Dann wäre die Forderung der strengen Monotonie beim VZW-Kriterium zu streng.

28.08.2008, 23:33

mYthos

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Zitat:

Original von Jacques
...
Ja genau, aber f' braucht in dieser Umgebung nicht streng monoton zu sein, oder? Also der Graph braucht die x-Achse nicht zu "durchstoßen", sondern er kann auch auf der x-Achse verlaufen.
...

Nein, das kann sie eben nicht, denn sonst würde es ja gar keinen VZW geben!! Der Graph kann doch nicht auf der x-Achse herumgurken!?
Oder meinst du, der Graph könnte die x-Achse in der Art eines Terrassenpunktes durchsetzen? Das würde nichts an der Tatsache der strengen Monotonie ändern.

Zitat:

...
Dann wäre die Forderung der strengen Monotonie beim VZW-Kriterium zu streng.

Nein, das ist sie aus o.a. Gründen nicht. Die Monotonie muss auf jeden Fall streng sein.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{x^4}{4} + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \ '(x) = -x^3 \end{eqnarray*}$

Maximum an der Stelle x = 0 (rot), wegen VZW von f ' (grün), diese ist dort streng monoton fallend.

29.08.2008, 08:50

Jacques

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Zitat:

Original von mYthos
Nein, das kann sie eben nicht, denn sonst würde es ja gar keinen VZW geben!! Der Graph kann doch nicht auf der x-Achse herumgurken!?
Oder meinst du, der Graph könnte die x-Achse in der Art eines Terrassenpunktes durchsetzen? Das würde nichts an der Tatsache der strengen Monotonie ändern.

Ich meinte, dass f' in einer Umgebung von x0 konstant auf der x-Achse verlaufen darf -- dann ist ja f in derselben Umgebung auch konstant.

Also ich denke an Funktionen wie

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}(x+1)^2, &\textrm{falls } x \leq -1\\ 0, & \textrm{falls } -1 < x < 1\\ (x-1)^2, & \textrm{falls } x \geq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zumindest nach der Definition, die ich kenne, wäre z. B. 0 Extremstelle:

"Eine Stelle x0 einer Funktion f heißt genau dann Extremstelle, wenn es eine Umgebung von x0 mit den folgenden Eigenschaften gibt: Die Umgebung ist Teilmenge von Df, und f(x0) ist Maximum der Einschränkung von f auf die Umgebung."

Hm, ist das nicht die übliche Definition, oder mache ich irgendwo einen Denkfehler? verwirrt

29.08.2008, 08:59

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Nein, das siehst du vollkommen richtig. Freude

Sehr oft wird der Fehler gemacht, "lokales Maximum" und "isoliertes lokales Maximum" zu verwechseln. Bei letzterem wird zusätzlich gefordert, dass

$\begin{eqnarray*} f(x) < f(x_0) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in U_{\varepsilon}(x_0)\setminus \{x_0\} \end{eqnarray*}$ ,

also < statt < wie beim bloßen "Maximum".

29.08.2008, 15:06

Jacques

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Alles klar, danke für die Erklärung. smile

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