Parabel und Gerade: Flächenintegral

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eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
Parabel und Gerade: Flächenintegral
Hallo!

Ich habe hier ein Beispiel, bei dem ich nicht weiter komme:

"Eine Parabel geht durch P(2/8) und hat den Scheitel S(3/9).
In P wird eine zu f normale Gerade n errichtet.
a) Berechne die von f,n und der y-Achse eingeschlossene Fläche!
b) Die Figur dreht sichum die x- bzw. die y-Achse. In welchem Verhältnis stehen die Rauminhalte?"

Lösung:
Zuerst bestimme ich die Funktion f:



Jedoch wie komme ich auf n? Es ist doch nicht die Tangente zum Punkt P oder?

Kann mir jemand helfen?

mfg
ajax2leet Auf diesen Beitrag antworten »

normal bedeutet orthogonal.
D.h. die Grade hat den negativen Kehrwert der Ableitung von f an der Stelle n als Steigung
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parabel und Gerade: Flächenintegral
Zitat:
Original von eierkopf1
Es ist doch nicht die Tangente zum Punkt P oder?


Doch.
ajax2leet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parabel und Gerade: Flächenintegral
Zitat:
Original von Q-fLaDeN
Zitat:
Original von eierkopf1
Es ist doch nicht die Tangente zum Punkt P oder?


Doch.


Nein, siehe meinen Post.

Tangente:


Normale:
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mann, ich bin heute irgendwie durch den Wind, (bzw. wars gestern :P)

Mit meinem doch, hab ich die eigentliche Tangente gemeint, und nicht die normale zu ihr, obwohl diese gemeint war...
ajax2leet Auf diesen Beitrag antworten »

ist ja schon spät Augenzwinkern
 
 
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten!

Zitat:
Original von ajax2leet
normal bedeutet orthogonal.
D.h. die Grade hat den negativen Kehrwert der Ableitung von f an der Stelle n als Steigung


Auf was steht die Gerade normal bzw. zwischen was ist der Winkel 90° ?

Mit dieser Angabe komme ich auf die Gardengleichung:



Die stimmt mit der Lösung überein.

Punkt a.) ist auch kein Problem:




zu Punkt b.)

Da komme ich nicht auf die Lösung:


Ich habe es jetzt nur für versucht:

Generelle Volumsintegralformel:






Das sollte genau das gefragte Volumen ausrechnen, oder?

Integriert ist es dann aber:



Was habe ich falsch gemacht?

mfg
Arbmosal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich auch mal an der Aufgabe versucht hab aber bei a) was ganz anderes raus -.-

Ich habe von den Schnittpunkten der Graphen nach unten "Trennungen" gemacht. dadurch bekomme ich 3 teilintegrale.
Eines unter der Parabel von 0 bis 2 eines unter der Geraden (quasie ein Trapez) von 2 bis 4,5 und nochmal unter der parabel von 4,5 bis 6
Diese Teilintegrale habe ich addiert und komme auf einen Wert von ca 33,4

Als Funktionen habe ich:
Parabel


Gerade



Ist hier bereits ein Fehler? oder soll ich noch die Lösungen meiner Teilintegrale posten?

MfG
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Auf was steht die Gerade normal bzw. zwischen was ist der Winkel 90° ?


Die Normale steht auf der Tangente senkrecht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arbmosal
Ich habe mich auch mal an der Aufgabe versucht hab aber bei a) was ganz anderes raus -.-

Ich habe von den Schnittpunkten der Graphen nach unten "Trennungen" gemacht. dadurch bekomme ich 3 teilintegrale.
Eines unter der Parabel von 0 bis 2 eines unter der Geraden (quasie ein Trapez) von 2 bis 4,5 und nochmal unter der parabel von 4,5 bis 6
Diese Teilintegrale habe ich addiert und komme auf einen Wert von ca 33,4


Laut Aufgabenstellung gehört nur die Fläche zwischen y-Achse und dem und dem Punkt (2/8) zur gesuchten Fläche. Das Ergebnis von eierkopf1 für die Fläche ist korrekt.
Arbmosal Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok dann hab ich das falsch verstanden. Danke

MfG
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1

zu Punkt b.)

Da komme ich nicht auf die Lösung:


Ich habe es jetzt nur für versucht:

Generelle Volumsintegralformel:



Die Formel ist nicht ganz richtig. Korrekt ist:



Im Übrigen kannst du nicht schließen, dass das Ergebnis falsch ist, weil dein Volumen nicht ganzzahlig ist. Du kennst nur das Verhältnis der Volumina. Und da kürzt sich z. B das heraus.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von eierkopf1
Auf was steht die Gerade normal bzw. zwischen was ist der Winkel 90° ?


Die Normale steht auf der Tangente senkrecht.


Vielen Dank. Habe es garde gezeichnet und es stimmt smile

Das Flächenintegral, das ich ausgerechnet habe, stimmt auch mit der Lösung zusammen. Aber aufs Volumsintegral komme ich einfach nicht unglücklich

mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Das Flächenintegral, das ich ausgerechnet habe, stimmt auch mit der Lösung zusammen. Aber aufs Volumsintegral komme ich einfach nicht unglücklich


Ist dabei schon mein letzer Post berücksichtigt?
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein aber jetzt:



Integriert ist es dann:



Stimmt leider auch nicht mit der Lösung über ein.unglücklich

Was ist eigentlich der Unterschied zwischen den beiden grundsätzlichen Integralsformeln? Wann verwende ich welche?

mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1

Integriert ist es dann:



Stimmt leider auch nicht mit der Lösung über ein.unglücklich

Was ist eigentlich der Unterschied zwischen den beiden grundsätzlichen Integralsformeln? Wann verwende ich welche?

mfg


Das Vorzeichen des Terms mit x^3 ist falsch.
Hast du denn separate Werte für Vx und Vy?

Welche beiden grundsätzlichen Formeln meinst du?

Bin vermutlich nicht mehr lange online. Schaue dann morgen wieder rein.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von eierkopf1

Integriert ist es dann:



Stimmt leider auch nicht mit der Lösung über ein.unglücklich

Was ist eigentlich der Unterschied zwischen den beiden grundsätzlichen Integralsformeln? Wann verwende ich welche?

mfg


Das Vorzeichen des Terms mit x^3 ist falsch.
Hast du denn separate Werte für Vx und Vy?

Welche beiden grundsätzlichen Formeln meinst du?

Bin vermutlich nicht mehr lange online. Schaue dann morgen wieder rein.


Danke für die Antwort.

Das mit dem Vorzeichen war nur ein Abschreibfehler, es ändert nichts am Ergebnis


Eine Idee, was ich falsch mache?

habe ich noch nicht probiert. Werde ich gleich versuchen...

Ich meine die beiden Formeln:



Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Noch mal: Hast du separate Werte für Vx und Vy? Falls ja, welche?

Schreibfehler: ist jetzt verloren gegangen.

Die zweite Formel kenne ich trotzdem nicht. Was soll das sein?

Bis morgen!
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Noch mal: Hast du separate Werte für Vx und Vy? Falls ja, welche?

Schreibfehler: ist jetzt verloren gegangen.

Die zweite Formel kenne ich trotzdem nicht. Was soll das sein?

Bis morgen!


Ja, natürlich mit . Beide Formeln sind in meinem Schulbuch.


Ich habe jetzt mal für die Gerade berechnet:




Für die Parabel schaffe ich es nicht, auf oder umzuformen:



Kann mir jemand helfen?

mfg
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Einen fehlt bei beiden Formeln der Faktor Pi.

Zum anderen:
Die zweite Formel nehmen Schüler gerne, ist aber falsch. Berechnet wird damit das Volumen des Drehkörpers der Differenzfunktion.

Nimm einfach f(x) = 5 und g(x) = 3.
Offensichtlich ergibt das einen Hohlzylinder, dessen Volumen gleich dem Volumen des äußeren Zyl. minus dem des inneren Zyl. ist.

Nimmst du nun aber die falsche Integralformel, so errechnest du das Volumen der Funktion h(x) = f(x)-g(x) = 2, die du um die x-Achse rotieren lässt - etwas völlig anderes.

Wenn dus nicht glaubst: Rechne beide Varianten durch und veranschauliche dir graphisch, was du jeweils ausgerechnet hast.

air
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal zu Vx. Das war schon fast richtig.

Es ist:





Da hast du im letzten Schritt einen Rechenfehler gemacht.
Ich hoffe mal, ich habe keinen gemacht.

Nun zu Vy. Es ist ungünstig, durch Auflösen der Gleichungen nach x dieselbe Formel zu benutzen. Benutze die Formel:




Nun zu deiner Formel



Du solltest mal nachschauen, für was die gelten soll. Bestimmt nicht für Vx oder Vy.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »



mit bekommst du


und damit

eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten!

Zitat:
Original von Huggy
Zunächst mal zu Vx. Das war schon fast richtig.

Es ist:





Da hast du im letzten Schritt einen Rechenfehler gemacht.
Ich hoffe mal, ich habe keinen gemacht.


Ja. stimmt. Komme jetzt auch auf dein Ergebnis. Nur natürlich mit


Zitat:
Original von Huggy
Nun zu Vy. Es ist ungünstig, durch Auflösen der Gleichungen nach x dieselbe Formel zu benutzen. Benutze die Formel:




Diese Formel kannte ich bis jetzt nicht. Kann ich sie immer für das Berechnen von verwenden? Welche Grenzen wähle ich dann?

Ich habe es mal mit meinem Beispiel versucht:



Integriert:




Auf die angegebene Lösung komme ich trotzdem nicht... unglücklich

Zitat:
Original von Huggy
Nun zu deiner Formel



Du solltest mal nachschauen, für was die gelten soll. Bestimmt nicht für Vx oder Vy.


Ich habe jetzt mal die Seiten von meinem Buch gescannt und angehängt:

[attach]8534[/attach] [attach]8535[/attach]

Man berechnet doch bei der ersten Formel das gelbe Stück und bei der zweiten das blaue Stück oder?

mfg
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe


mit bekommst du


und damit



Danke für die Antwort!

Ich verstehe schon die erste Zeile nicht unglücklich
Wie kommst du auf das?


mfg
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Zitat:
Original von riwe


mit bekommst du


und damit



Danke für die Antwort!

Ich verstehe schon die erste Zeile nicht unglücklich
Wie kommst du auf das?


mfg


Ich sehe gerade, dass ist die allgemeine Formel für die Volumsberechnung von Kegelstumpfen und es ist das gleiche Ergebnis, wie wenn man es mit dem Volumsintegral rechnet smile

EDIT: Bei hast du das vergessen ;-)

Zu : Muss ich jetzt gleich versuchen ;-)

Danke für die Antworten.

mfg
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe einfach nicht, wie riwe berechnet hat unglücklich

Außerdem stimmt auch das Verhältnis nicht:




mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe


mit bekommst du


und damit



Werner,

momentan stehe ich mächtig auf dem Schlauch!

Bei haben wir dasselbe Resultat. Mit deinem ergibt sich genau das Verhältnis, das eierkopf1 ganz zu Anfang genannt hat. Also sollte dein Resultat richtig sein.

Ich komme auf ein deutlich kleineres . Das würde ich auf einen Rechenfehler schieben, wenn nicht auch per Überschlag deutlich kleiner als sein sollte. Denn:

Die Fläche A zwischen den Punkten (0/0), (2(8) und (0/9) wird einmal um die x-Achse und einmal um die y-Achse gedreht. Sei



der Schwerpunkt von A. Dann ist nach der Guldinschen Regel

und , also

Nun ist nach Augenmaß und , d. h. . Rechnung ergibt und .

Kannst du meine Gehirnverknotung entwirren?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von riwe


mit bekommst du


und damit



Werner,

momentan stehe ich mächtig auf dem Schlauch!

Bei haben wir dasselbe Resultat. Mit deinem ergibt sich genau das Verhältnis, das eierkopf1 ganz zu Anfang genannt hat. Also sollte dein Resultat richtig sein.

Ich komme auf ein deutlich kleineres . Das würde ich auf einen Rechenfehler schieben, wenn nicht auch per Überschlag deutlich kleiner als sein sollte. Denn:

Die Fläche A zwischen den Punkten (0/0), (2(8) und (0/9) wird einmal um die x-Achse und einmal um die y-Achse gedreht. Sei



der Schwerpunkt von A. Dann ist nach der Guldinschen Regel

und , also

Nun ist nach Augenmaß und , d. h. . Rechnung ergibt und .

Kannst du meine Gehirnverknotung entwirren?


hallo huggy,
kein hirverzwirner bei dir, sondern ich habe offensichtilch denselben fehler gemacht wie die....
da sieht man wieder, wie lacht man sich selbst manipuliert smile + unglücklich
(gilt natürlich nur für mich)

überschlagsmäßig mit kegel und kegelstumpf gerechnet, ist man sofort bei deinem ergebnis Freude

und so ist es passiert



und bei y = 0 kommt eh nur NULL raus unglücklich also (9-y)=0 unglücklich
daher richtig



gut, dass es dich gibt Gott
und traue dir mehr als anderen Freude
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mächtig erleichtert!
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten!

Zitat:
Original von riwe


mit bekommst du


und damit



Ich verstehe jetzt, wie du gerechnet hast.

Wie hast du auf



umgeformt?


Kann mir jemand erklären, wieso das Volumen von der Formel:



gleich dem Volumen von:


Und wie wählt man für die obere Formel die Grenzen richtig?

mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Kann mir jemand erklären, wieso das Volumen von der Formel:



gleich dem Volumen von:


Und wie wählt man für die obere Formel die Grenzen richtig?

mfg


Die obere Formel ergibt sich aus der Guldinschen Regel angewendet auf die x-Koordinate des Schwerpunkts, d. h. bis auf einen Faktor ist es die Formel für die x-Koordinate des Schwerpunkts. Die Integrationsgrenzen sind dieselben wie bei der Formel für .

Bei der unteren Formel versucht man, die Formel für anzuwenden, indem man die Rolle von x und y vertauscht. Dabei muss man beachten, dass sich jetz die Bedeutung der Begrenzung der zu drehenden Fläche ändert.

Formal bedeutet die Vertauschung von x und y eine Spiegelung an der Geraden y = x. Leichter vorstellbar ist das Ergebnis aber, wenn man das Ausgangsdiagramm um 90° gegen den Urzeigersinn dreht. Dann liegt die y-Achse auch waagrecht, kann also die Rolle der Achse x-Achse übernehmen. Positive y-Werte gehen jetzt nach links, aber das ist unerheblich.

Wenn man sich das Diagramm jetzt betrachtet, ist nicht mehr das Normalenstück die obere Begrenzung der Fläche und das Parabelstück die untere Begrenzung. Die untere Begrenzung ist jetzt im gesamten Intervall [0, 9] die y-Achse. Die obere Begrenzung ist im Intervall [0, 8] das Parabelstück und im Intervall [8, 9] das Normalenstück. Man muss also, um die Formel für anzuwenden, das Gesamtintervall aufteilen und in den Teilintervallen die entsorechenden Obergrenzen einsetzen und 0 als Untergrenze der Fläche.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von eierkopf1
Kann mir jemand erklären, wieso das Volumen von der Formel:



gleich dem Volumen von:


Und wie wählt man für die obere Formel die Grenzen richtig?

mfg


Die obere Formel ergibt sich aus der Guldinschen Regel angewendet auf die x-Koordinate des Schwerpunkts, d. h. bis auf einen Faktor ist es die Formel für die x-Koordinate des Schwerpunkts. Die Integrationsgrenzen sind dieselben wie bei der Formel für .

Bei der unteren Formel versucht man, die Formel für anzuwenden, indem man die Rolle von x und y vertauscht. Dabei muss man beachten, dass sich jetz die Bedeutung der Begrenzung der zu drehenden Fläche ändert.

Formal bedeutet die Vertauschung von x und y eine Spiegelung an der Geraden y = x. Leichter vorstellbar ist das Ergebnis aber, wenn man das Ausgangsdiagramm um 90° gegen den Urzeigersinn dreht. Dann liegt die y-Achse auch waagrecht, kann also die Rolle der Achse x-Achse übernehmen. Positive y-Werte gehen jetzt nach links, aber das ist unerheblich.

Wenn man sich das Diagramm jetzt betrachtet, ist nicht mehr das Normalenstück die obere Begrenzung der Fläche und das Parabelstück die untere Begrenzung. Die untere Begrenzung ist jetzt im gesamten Intervall [0, 9] die y-Achse. Die obere Begrenzung ist im Intervall [0, 8] das Parabelstück und im Intervall [8, 9] das Normalenstück. Man muss also, um die Formel für anzuwenden, das Gesamtintervall aufteilen und in den Teilintervallen die entsorechenden Obergrenzen einsetzen und 0 als Untergrenze der Fläche.


Danke für die Erklärung. Die Guldinsche Regel kannte ich nicht. Ich werde sie mir mal anschauen.

Darum rechne ich bis dahin lieber mit der unteren Formel.

Aber eine Frage habe ich noch:

Bei der Umformung von:

Da gibt es natürlich zwei Lösungen:





Welches nehme ich?

Wahrscheinlich das, bei dem die Gleichung für die Lösung ergibt. -> Ich setze die y-Grenzen ein und schaue wo die dazu passenden x-Werte herauskommen, oder?


mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Danke für die Erklärung. Die Guldinsche Regel kannte ich nicht. Ich werde sie mir mal anschauen.

Darum rechne ich bis dahin lieber mit der unteren Formel.

Aber eine Frage habe ich noch:

Bei der Umformung von:

Da gibt es natürlich zwei Lösungen:





Welches nehme ich?

Wahrscheinlich das, bei dem die Gleichung für die Lösung ergibt. -> Ich setze die y-Grenzen ein und schaue wo die dazu passenden x-Werte herauskommen, oder?


mfg


Völlig richtig! Man muss das Parabelstück nehmen, das die gegebene Fläche begrenzt. Mit y= 8 kann man das richtige Vorzeichen identifizieren. y = 0 ist auch gut geeignet.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Völlig richtig! Man muss das Parabelstück nehmen, das die gegebene Fläche begrenzt. Mit y= 8 kann man das richtige Vorzeichen identifizieren. y = 0 ist auch gut geeignet.


Danke für die Antwort!

Aber was ist, wenn bei einem anderen Beispiel für y= 0 herauskommt und für y=8 ? Dann müsste ich das Integral in zwei splitten und dann die Grenzen so wählen:

8 bis zum Übergang von und

und das zweite Integral

Übergang von und bis 0

oder?

mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

So ähnlich! Am besten machst du dir die Situation an einem Beispiel klar. Nimm die Parabel dieses Beispiels. Statt der Normalen nimm als obere Begrenzung eine Strecke, die auf dem rechten Ast der Parabel beginnt und von da nach links oben bis zur y-Achse läuft, ohne die Parabel links von dem Beginn noch mal zu schneiden. Wenn du jetzt das Diagramm spiegelst oder drehst, siehst du, dass die zu rotierende Fläche in einem Teilbereich von y zwei obere und zwei untere Begrenzungen hat. Mna muss dann die Fläche so aufteilen, dass jede Teilfläche nur zwei Begrenzungen hat.

Es ist viel leichter, solche Probleme für konkrete Beispiele zu lösen, als eine ganz allgemeine, alle Widrigkeiten abdeckende Formulierung zu finden.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
So ähnlich! Am besten machst du dir die Situation an einem Beispiel klar. Nimm die Parabel dieses Beispiels. Statt der Normalen nimm als obere Begrenzung eine Strecke, die auf dem rechten Ast der Parabel beginnt und von da nach links oben bis zur y-Achse läuft, ohne die Parabel links von dem Beginn noch mal zu schneiden. Wenn du jetzt das Diagramm spiegelst oder drehst, siehst du, dass die zu rotierende Fläche in einem Teilbereich von y zwei obere und zwei untere Begrenzungen hat. Mna muss dann die Fläche so aufteilen, dass jede Teilfläche nur zwei Begrenzungen hat.

Es ist viel leichter, solche Probleme für konkrete Beispiele zu lösen, als eine ganz allgemeine, alle Widrigkeiten abdeckende Formulierung zu finden.


So zB?



mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja!
Die Situation nach dem Drehen wird noch deutlicher, wenn du Strecke noch weiter rechts beginnen lässt. Dann muss sie halt noch steiler werden.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Ja!
Die Situation nach dem Drehen wird noch deutlicher, wenn du Strecke noch weiter rechts beginnen lässt. Dann muss sie halt noch steiler werden.


Ja, ich verstehe auf was du hinaus willst smile

Wenn dann wieder das y-Achse-Volumen vom Stück zwischen y-Achse, Parabel (x1= linker Ast u. x2 = rechter Ast) und Gerade gefragt ist, dann wähle ich die Grenzen so:

Volumen des Kegels: vom "S mit der y-Achse" bis "S mit der Parabel"

Minus dem
Volumen des kleinen Stückes zwischen Kegel und rechtem Ast der Parabel (x2 für den rechten Ast): vom "Scheitel der Parabel" bis "S mit der Geraden"

Plus dem
Volumen zwischen Parabel und y-Achse (x1 für den linken Ast): vom "Scheitel der Parabel" bis "S mit der y-Achse"

Müsste so stimmen, oder?

mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja!
Und du kannst dir noch viel üblere Beispiele ausdenken. Nimm statt der jetzigen Parabel als Untergrenze ein Polynom höheren Grades, welches in dem Intervall [a,b] haufenweise lokale Maxima und Minima hat. Und als Obergrenze statt der Geraden ein ähnliches Polynom. Dann tränen dir nach dem Drehen bald die Augen bei dem Versuch festzustellen, was zur Drehfläche gehört und was nicht. Spätestens dann wirst du die andere Formel zu schätzen wissen, die auch dann die gesamte Fläche in einem Stück zu behandeln gestattet.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Ja!
Und du kannst dir noch viel üblere Beispiele ausdenken. Nimm statt der jetzigen Parabel als Untergrenze ein Polynom höheren Grades, welches in dem Intervall [a,b] haufenweise lokale Maxima und Minima hat. Und als Obergrenze statt der Geraden ein ähnliches Polynom. Dann tränen dir nach dem Drehen bald die Augen bei dem Versuch festzustellen, was zur Drehfläche gehört und was nicht. Spätestens dann wirst du die andere Formel zu schätzen wissen, die auch dann die gesamte Fläche in einem Stück zu behandeln gestattet.


Mit anderer Formel meinst du die aufgrund der Guldinschen Regel?

mfg
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