nnomial Koeffizienten

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22.05.2004, 12:27	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
nnomial Koeffizienten Wie man Binomialkoeffizienten berechnet ist klar(mit n über K). Aber wie macht man es mit Trinomial koeffizienten(ich weiß nicht ob es so heißt). Ich kenne nur den Weg dass ich (a+b+c)hoch n auflöse. Aber das ist mir zu umständlich. Gibt es dafür eine Formel.
22.05.2004, 12:29	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hiho. Also wenn ich das auflösen müsste würde ich die Summanden in der Klammer substituieren also so zusammenfassen, dass nur noch 2 dastehen. Das kannst du ganz einfach über ne Klammer machen. Dann rechnest du fröhlich mit den Binomialkoeffizienten weiter. Dass es dafür eine Formel gibt wage ich zu bezweifeln. Gruß Hanno
22.05.2004, 12:41	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub schon dass es diese Koeffizienten gibt. Die müssten dann "Multinomialkoeffizienten" oder "Polynomialkoeffizienten" heißen (und die gibt's dann für jede Anzahl von Summanden). Bei drei Summanden kann man die sicherlich mit einer "Pascalschen Pyramide" bestimmen, die ähnlich wie das Pascalsche Dreieck aufgebaut ist. Leider ist es nicht ganz so einfach, die auf ein Blatt Papier zu schreiben. Zum praktischen Rechnen ist eher der Weg von m00xi geeignet, die Summe als ((a+b)+c)^n zu schreiben und binomial zu zerlegen.
22.05.2004, 12:42	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Pascalsche Pyramide, das klingt ja putzig, da muss ich mich doch gleich mal informieren Gruß Hanno
22.05.2004, 12:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Erweiterung der Binomialkoeffizienten hat man die sogenannten Multinomialkoeffizienten: $\begin{align} $\array{n\\{k_1,k_2,...,k_r}}$ \ = \ \frac{n!}{k_1!k_2!\cdot\cdot\cdot k_r!} \end{align}$ wobei $\begin{align} k_1+k_2+...+k_r \ = \ n \end{align}$ gelten muß. Das Wort Trinomialkoeffizient habe ich noch nie gehört, es wäre aber die sinnvolle Fortsetzung und entspräche dem Spezialfall r=3. Der "trinomische Satz" würde dann lauten: $\begin{align} $a+b+c$^n \ = \ \Bigsum_{i+j+k=n}^{}~{$\array{n\\{i,j,k}}$a^i b^j c^k} \end{align}$ wobei über alle nichtnegativen Indizes i,j,k mit i+j+k=n zu summieren ist.
22.05.2004, 12:46	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! Die kenn ich doch aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung... Multinomialverteilung. Und ist meine Idee mit der Pyramide richtig, Leopold?
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22.05.2004, 12:47	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
War ja klar, dass Leo das weiß ;-) Wie immer :P :P unverständlichmitdemkopfschüttelT Gruß Hanno :P :P
22.05.2004, 12:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung - aber man könnt's ja 'mal probieren! Wo habe ich nur gleich meine LEGO-Steine gelassen?
22.05.2004, 12:49	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu Wir hatten früher auch immer KIIISTTENWEISE Lego, hab mal daraus eine 1,50m hohe Pyramide gmacht. Wo der kram jetzt geblieben ist, weiß ich gar nicht mehr :P :P Gruß Hanno
22.05.2004, 12:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann red' hier nicht lange herum, sondern such' deine LEGO-Steine! Dann auf ans Werk! Bau dir die Trinomial-Pyramide! Und wenn du die hast, dann versuchst du's gleich mit dem Quadrinomial-Simplex!
22.05.2004, 14:17	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
g Bei dem Simplex muss er uns dann aber einladen, wenn er den baut.
22.05.2004, 14:18	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
PEch gehabt, ich kann meine Lego steine leeiider nicht mehr finden - wie schade Gruß Hanno
22.05.2004, 14:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Irrlicht Ich lasse schon einmal Zimmer im Hilbert-Hotel reservieren. Ich denke, da werden genügend viele zur großen Party kommen. Und wer weiß - vielleicht reicht der Platz ja doch nicht!
25.05.2004, 19:49	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
So groß muss das Hotel doch gar nicht sein, ein beliebig endlich großes würde schon genügen! Die Idee mit der Pyramide funktioniert. Laut Leopolds Beitrag ist $\begin{align} $\array{i+j+k\\i,j,k}$ = \frac{(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!} \end{align}$ und man kann "mit wenig Mühe" nachrechnen, dass $\begin{align} {\frac {(i+j+k-1)!}{i!\,j!\,(k-1)!}}+{\frac {(i+j+k-1)!}{(i-1)!\,j!\,k!}}+{\frac {(i+j+k-1)!}{i!\,(j-1)!\,k!}} = \frac{(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!} \end{align}$ richtig ist für alle positiven ganzen Zahlen i,j,k. Das ist aber genau die Summenregel für die Pyramide (wobei die "Höhe" durch die Summe i+j+k und die Position in der Ebene z.B. durch i und j festgelegt ist). Die Ränder muss man natürlich noch gesondert untersuchen unter Verwendung der Setzung, dass der Trinomialkoeffizient gleich 0 ist, wenn eine der Zahlen i,j,k negativ ist. (Wie beim Binomialkoeffizienten diese Regelung auch nötig ist, um die Additionsregel für alle 0<=k<=n anwenden zu können.) Gruss, SirJective
25.05.2004, 20:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ SirJective Das Hotel sollte man dennoch rechtzeitig buchen. Ich will nämlich gleich Zimmer möglichst nahe am Eingang reservieren - und zwar verbindlich! Als ich das letzte Mal da war, war das ein Theater sondergleichen. Zwar ist das Hotel durchaus schön und auch recht komfortabel eingerichtet, aber dauernd mußte man umziehen, weil immer wieder Gäste kamen, die nicht reserviert hatten. Am Anfang war ich ja noch höflich, denn der Portier hatte ganz verbindlich angefragt, ob ich nicht einfach ein Zimmer weiterziehen würde. Aber das wurde immer schlimmer, ich kam einfach nicht zur Ruhe - schließlich bin ich entnervt abgereist, als ich im Zimmer aleph13omega kaum eingezogen war und schon wieder "einige" Nummern weiterrücken mußte. Ich muß allerdings sagen, daß das Hotel mir meine Kosten großzügig erstattet hat.
26.05.2004, 12:12	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie hieß der Portier?
26.05.2004, 12:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
... Santer? ... Kanter? ... ... Cantel? ... ... ... Nein - jetzt hab ich's! Ein Herr Cantor war das.
26.05.2004, 22:35	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Umzugsprobleme hättest du in einem beliebig endlich großen Hotel nicht. Da passen zwar nur endlich viele Gäste rein, aber die haben ihre Plätze sicher. Denn wenn endlich viele weitere Gäste ankommen, bekommen die einfach die Zimmer hinter den belegten zugewiesen - es sind ja noch beliebig endlich viele freie Zimmer da. ,-)

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