Koordinatenmatrix ausrechnen

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28.05.2006, 16:10

Daktari

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Koordinatenmatrix ausrechnen

H(a)i

ich habe ein Problem mit dem Ausrechnen der Koordinatenmatrix Forum Kloppe

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} f:{\mathbb Q}^3x{\mathbb Q}^2->{\mathbb Q} \end{eqnarray*}$ bilinear
mit $\begin{eqnarray*} ((a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2))=2a_1b_1+a_1b_2+a_2b_2-a_3b_2 \end{eqnarray*}$
i)Berechnen Sie die Koordinatenmatrix bzgl. der Kanonischen Basen von $\begin{eqnarray*} {\mathbb Q}^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\mathbb Q}^2 \end{eqnarray*}$
ii)Berechnen Sie zusätzlich die Koordinatenmatrix von f bzgl der Basen $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es gibt ne Formel für die Koordinatenmatrix einer bilinearen Abbildung, aber die verwirrt mich noch mehr, denn da braucht man zwei Basen.

Mit $\begin{eqnarray*} A_{f,B,C} \end{eqnarray*}$ sei die Koordinatenmatrix von f bzgl. der Basen B und C gemeint. Und mit $\begin{eqnarray*} P_{B'->B} \end{eqnarray*}$ meine ich die Übergangsmatrix von B' zu B.
Seien B,B' Basen von V und seien C,C' Basen von W
Die Formel lautet: $\begin{eqnarray*} A_{f,B,C}=P_{B->B'}*A_{f,B',C'}*P_{C->C'} \end{eqnarray*}$

Ich vermute mal, dass man das Ergebnis von i) als $\begin{eqnarray*} A_{f,B',C'} \end{eqnarray*}$ in die Formel einsetzen muss um ii) auszzurechnen.

Ich ging bis jetzt so vor

$\begin{eqnarray*} f((1,0,0),(y_1,y_2))=2b_1+b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f((0,1,0),(y_1,y_2))=b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f((0,0,1),(y_1,y_2))=-b_2 \end{eqnarray*}$

B' sei die kanonische Basis des $\begin{eqnarray*} {\mathbb Q}^3 \end{eqnarray*}$ und C' sei die kanonische Basis des $\begin{eqnarray*} {\mathbb Q}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{f,B',C'}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 & \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{f,B,C}=P_{B->B'}*\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 & \\ 0 & -1 \end{pmatrix}*P_{C->C'} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{B->B'} \end{eqnarray*}$ müsste eine 3x3 Matrix sein und $\begin{eqnarray*} P_{C->C'} \end{eqnarray*}$ müsste eine 2x2 Matrix sein, damit wäre zumindest die Multiplikation der Matrizen definiert
Stimmt mein Vorgehen bis jetzt ?

29.05.2006, 00:46

Ben Sisko

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RE: Koordinatenmatrix ausrechnen

Zitat:

Original von Daktari
Ich ging bis jetzt so vor

$\begin{eqnarray*} f((1,0,0),(y_1,y_2))=2b_1+b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f((0,1,0),(y_1,y_2))=b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f((0,0,1),(y_1,y_2))=-b_2 \end{eqnarray*}$

Hier geht ja noch gar nicht ein, dass du als zweite Basis ebenfalls die kanonische nimmst Augenzwinkern

Du musst es stattdessen so machen, wie ich hier schon vorgeschlagen habe, nur hier halt mit zwei Basen.

Es ist also $\begin{eqnarray*} a_{11}=f((1,0,0),(1,0)), a_{1,2}=f((1,0,0),(0,1)) \end{eqnarray*}$ usw.

Deine anderen Überlegungen sind soweit richtig.

Gruß vom Ben

29.05.2006, 07:07

Daktari

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RE: Koordinatenmatrix ausrechnen

Zitat:

Original von Ben Sisko
Es ist also $\begin{eqnarray*} a_{11}=f((1,0,0),(1,0)), a_{1,2}=f((1,0,0),(0,1)) \end{eqnarray*}$ usw.

Hi Ben, danke für deine Antworten, dennoch habe ich ein paar Fragen

1.)Selbst wenn ich es so machen würde, bekomm ich für $\begin{eqnarray*} A_{f,B',C'} \end{eqnarray*}$ immer noch das gleiche raus.
$\begin{eqnarray*} a_{1,1}=f((1,0,0),(1,0)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{1,2}=f((1,0,0),(0,1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2,1}=f((0,1,0),(1,0)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2,2}=f((0,1,0),(0,1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3,1}=f((0,0,1),(1,0)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3,2}=f((0,0,1),(0,1)) \end{eqnarray*}$
2.)Kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} P_{B->B'}=B \end{eqnarray*}$ ist ?
Ich muss hier doch B durch B' ausdrücken, aber B' ist die kanonische Basis des $\begin{eqnarray*} {\mathbb Q}^3 \end{eqnarray*}$
3.)Für was braucht man überhaupt Koordinatenmatrizen ? Augenzwinkern

29.05.2006, 14:09

Ben Sisko

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RE: Koordinatenmatrix ausrechnen

Zitat:

Original von Daktari
1.)Selbst wenn ich es so machen würde, bekomm ich für $\begin{eqnarray*} A_{f,B',C'} \end{eqnarray*}$ immer noch das gleiche raus.
$\begin{eqnarray*} a_{1,1}=f((1,0,0),(1,0)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{1,2}=f((1,0,0),(0,1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2,1}=f((0,1,0),(1,0)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2,2}=f((0,1,0),(0,1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3,1}=f((0,0,1),(1,0)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3,2}=f((0,0,1),(0,1)) \end{eqnarray*}$

Dann ist's auch richtig Augenzwinkern

(hab's nicht nachgerechnet)

Zitat:

Original von Daktari
2.)Kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} P_{B->B'}=B \end{eqnarray*}$ ist ?
Ich muss hier doch B durch B' ausdrücken, aber B' ist die kanonische Basis des $\begin{eqnarray*} {\mathbb Q}^3 \end{eqnarray*}$

Merk es dir so: Wenn du B mit einem Vektor bzgl. B multiplizierst, bekommst du ihn bzgl. B' heraus.

Zitat:

Original von Daktari
3.)Für was braucht man überhaupt Koordinatenmatrizen ? Augenzwinkern

Hast du das nicht in deinem anderen thread gesehen? Hier wird halt zusätzlich noch auf andereBasen transformiert.

Gruß vom Ben

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