Gleichung-Parameter...

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SunnySunflower Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung-Parameter...
Hi,
hab mal wieder Schwierigkeiten bei zwei Aufgaben!

1)Eine Lösung der Gleichung 1/4x² + bx + 1 = 0 ist x1=1-Wurzel5.
Berechne die zweite Lösung und den Parameter b.

2) Bestimme k so, dass die Gleichung
kx² + (k+1)x + k = 0
genau eine Lösung hat!

Danke schon mal für eure Hilfe!
mfg
Sunny
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

1. Genau dann hat eine quadratische Gleichung ax^2+ bx + c über R die Nullstelle n und m, wenn a(x-n)(x-m) = ax^2 + b^x + c.
Also ist c/a das Produkt der Nullstellen m und n und -b/a die Summe der Nullstellen n und m.
Wenn du also eine Nullstelle gegeben hast, wie muss dann die andre Nullstelle aussehen?

2. Bestimmte k so, dass die Diskriminante in der Lösungsformel 0 wird.
SunnySunflower Auf diesen Beitrag antworten »

oh, das ist mir igenwie viel zu kompliziert! Also geht das net einfacher für mich Nullchecker? traurig
Bitte, kann mir des keiner noch ausführlicher und^besser erklären???

Trotzdem Danke an dich, dass du´s mir erklären wolltest! verwirrt

mfg
Sunny
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Hiho.
Also bei 2 musst du so vorgehen.
Du kennst hoffentlich die PQ-Formel.
Wenn es also nur eine Möglichkeit geben soll, muss die Wurzel der PQ-Formel 0 ergeben, da sie den Ausschlag für die beiden verschieden Lösungen gibt.
Damit dem so ist, muss also

Formen wir deinen Term um, so erhalten wir:

Setzen wir dies in die obige Gleichung ein, so erhalten wir:





k muss also 1 sein, damit wäre die Aufgabe gelöst.

Gruß
Hanno

----------------------------------------------EDIT------------------------------------------------------------


Hiho.
Mal ne Frage na Irrlicht: wo hast du denn die Formel her für die Quadratische Gleichung? Grad aus den Fingern gesogen oder ist das ne allgemeingültige Gleichung ?

Gruß
Hanno

\\EDIT by sommer87: Bitte keine Doppelposts. EDIT nutzen!


Edit Equester: Latex korrigiert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 1. die Gleichung normieren (hier also mit 4 durchmultiplizieren), dann Satz von Vieta anwenden: -(Summe der Lösungen) = Koeffizient vor x , Produkt der Lösungen = konstanter Koeffizient (gilt nur für normierte quadratische Gleichungen).
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

@Mooxi
Das heisst "Satz von Vieta" und steht nur in der normierten Form in der Schul-Formelsammlung. *g* Und ja, ich hab mir das mal selbst hergeleitet, aber ist schon eine Weile her, nicht "gerade eben". Augenzwinkern
 
 
SunnySunflower Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
also die pq-Formel hatten wir in der Schule noch nicht...hab sie aber durch das ausführliche Erklären kapiert! Hmm...kann man die Aufgabe nicht auch anders Lösen...irgenwas mit dieser Diskriminante oder so???

Ach ja, den Satz von Vieta haben wir überhaupt noch nicht! Deswegen muss es doch nen anderen Weg geben diese 1. Aufgabe zu lösen!
????

mfg
Sunny
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Hiho.
Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, dass du mit 15 Jahren noch nicht die PQ-Formel hattest. Bist du dir da ganz sicher? Vielleicht hast sie auch einfahc vergessen?

Gruß
Hanno
SunnySunflower Auf diesen Beitrag antworten »

nein...wirklich...So ne schrott schule! Aber jetzt kenne ich sie und habe sie auch schon kapiert wegen dir! Aber gibt es denn wirklich keinen anderen Weg auf die Lösung zu kommen?

und was ist jetzt mit der 1. Aufgabe...die hat mir noch keiner so richtig erklärt! ????????????? Weil ich ja auch diesen Satz von Vieta net kapiere!

Bitte hilf mir
Danke

mfg
Sunny
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst die pq-Formel nicht, es geht genauso auch mit der abc-Formel.

Den Satz von Vieta muss man nicht in der Schule gehabt haben, um die Aufgabe mit ihm zu lösen. Ihr hattet nämlich in der Schule bestimmt die Linearfaktorzerlegung von (zumindest quadratischen) Polynomen und mit dieser kannst du dir den "Satz von Vieta" leicht mal selbst herleiten:

Die Linearfaktorzerlegung einer quadratischen Gleichung ax^2+bx+c ist a(x - x_1)(x - x_2), wobei x_1 und x_2 die beiden Nullstellen der quadratischen Gleichung sind. Hast du a gegeben (bei dir 1/4) und eine Nullstelle x_1 gegeben dann kannst du durch ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich die zweite Nullstelle herausbekommen - so wie es Leopold (in verständlicherer Sprechweise) und ich schon gepostet haben.
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Nun mal zu deiner Aufgabe 1:
Mein Ansatz wäre dieser hier, auch ohne Vieta smile
Du wendest die PQ-Formel ( ) an und sagst:

Das dann auflösen, dann solltest du eigenitch b haben.

Gruß
Hanno
SunnySunflower Auf diesen Beitrag antworten »

woher weiß ich was p/2 ist.......

----------------------------------------------EDIT---------------------------------------------------------------


und wie bekomme ich die zweite Lösung raus und......
ach ist das schei.....
Ich habe keine p/q Formel und bin voll der hoffnungslose Fall...kommt es mir so vor! traurig

\\EDIT by sommer87: Bitte keine Doppelposts. EDIT nutzen!
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »



und meistens nennt man dann b/a einfach p und c/a einfach q und sagt dann dazu pq-Form der quadratischen Gleichung. Also das ist nichts anderes als die abc-Form, nur normiert.
SunnySunflower Auf diesen Beitrag antworten »

und jetzt bitte ganz ausführlich diese 2. Aufgabe
ich hab gedacht:
1/4x² + bx +1 = 0
x² + 4bx + 4 = 0

und dann?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

I x1+x2 = -4b
II x1·x2 = 4

x1 ist bekannt, aus II x2 ausrechnen, dann b mittels I berechnen
SunnySunflower Auf diesen Beitrag antworten »

an Leopold!
Woher weiß ich, dass
I x1+x2 = -4b
II x1·x2 = 4

ich versteh das nicht!
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal:

Sind x_1 und x_2 zwei Nullstellen von x^2 + 4bx + 4, so ist (wegen der Linearfaktorzerlegung)

Ausmultiplizieren liefert
SunnySunflower Auf diesen Beitrag antworten »

anscheinend rechnet ihr das alle ganz anders als wir gelernt haben!
Was ist n und was ist n?
Kann man das nicht mit der MNF oder was anderes rechnen!

traurig

Gruß
Sunny
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber ich hab dir doch dazugeschrieben, dass n und m die Nullstellen sind. Meinetwegen editier ich es dir auf x_1 und x_2, damit du dich nicht so verwirrt fühlst.

(Ich verstehe nicht, warum du so Angst hast vor diesem Loesungsweg. Du hast bestimmt schon gelernt, dass man ein quadratisches Polynom in 2 Linearfaktoren (x - 1.Nullstelle)(x - 2.Nullstelle)*Konstante zerlegen kann, oder etwa nicht?)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@SunnySunflower

Wie habt ihr denn bis jetzt solche Aufgaben gelöst?? Habt ihr schon pq-Formel oder erst quadratische Ergänzung?


Zitat:
Original von Irrlicht
Tut mir leid, aber ich hab dir doch dazugeschrieben, dass n und m die Nullstellen sind. Meinetwegen editier ich es dir auf x_1 und x_2, damit du dich nicht so verwirrt fühlst.

(Ich verstehe nicht, warum du so Angst hast vor diesem Loesungsweg. Du hast bestimmt schon gelernt, dass man ein quadratisches Polynom in 2 Linearfaktoren (x - 1.Nullstelle)(x - 2.Nullstelle)*Konstante zerlegen kann, oder etwa nicht?)


Man lernt heute keine Linearfaktorenzerlegung mehr! Zumindest nicht in der SekI! Ich hab ja nichtmal Vieta gelernt!! Eigentlich ist das, was Leopold gemacht hat auch direkt Vieta und Linearfaktorenzerlegung wird eigentlich erst dadurch (mit Vieta) hergeleitet. Woher weiß man denn, dass man es in Linearfaktoren zerlegen kann, wenn man Vieta noch nicht kennt, sondern erst Vieta daraus schließt? Also wie kann man denn Linearfaktorenzerlegung ohne Vieta herleiten?

@Leopold
Vieta ist zwar ganz schön und gut, hier sicher auch schneller, aber wir haben es z.B. nicht gelernt, d.h. bei solchen Aufgaben, die aus der 9. Klasse sind, lieber pq-Formel anwenden und wenn SunnySunflower das noch nicht kann, dann kann sie auch Vieta noch nicht (@Irrlicht dann auch Linearfaktorenzerlegung noch nicht), denn sie hat ja gesagt, sie hat noch nicht einmal pq-Formel. Dann sollte man mit quadratischer Ergänzung arbeiten.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS:
die Linearfaktorzerlegung wird nicht erst durch Vieta gezeigt (eher durch die Division mit Rest), sondern umgekehrt wird der Satz von Vieta durch die Linearfaktorzerlegung hergeleitet.
Und ich hatte 7 Nachhilfeschülerinnen (in allen Schulformen und Stufen), die alle mit der Mitternachtsformel in der 9ten Klasse auch die "Linearfaktorzerlegung" gelernt haben (aber leider nicht unter diesem Namen, sie haben sich das nur so als kleinen Satz aufgeschrieben und dem Ding keinen Namen gegeben).

Jetzt will ich die Lösung deines Lehrers aber auch gepostet haben, wenn du sie hast, Sunny!
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann haben wir eben eine Ausnahme? ich z.B. hatte den Begriff Linearfaktorzerlegung im Untericht auch nie. Da der lehrer sich weiß, was er da aufgibt, muss es ja auch für sie verständlich gelöst werden können.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
@MSS:
die Linearfaktorzerlegung wird nicht erst durch Vieta gezeigt (eher durch die Division mit Rest), sondern umgekehrt wird der Satz von Vieta durch die Linearfaktorzerlegung hergeleitet.
Und ich hatte 7 Nachhilfeschülerinnen (in allen Schulformen und Stufen), die alle mit der Mitternachtsformel in der 9ten Klasse auch die "Linearfaktorzerlegung" gelernt haben (aber leider nicht unter diesem Namen, sie haben sich das nur so als kleinen Satz aufgeschrieben und dem Ding keinen Namen gegeben).

Jetzt will ich die Lösung deines Lehrers aber auch gepostet haben, wenn du sie hast, Sunny!


Wie leitet man denn dann die Linearfaktorenzerlegung her??
SunnySunflower Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man denn nicht einfach für das x, das x1 einsetzen
also,
1/4(1-Wurzel5)² + b(1-Wurzel5) + 1 = 0
und dann auflösen
Wenn das richtig ist, kann das mal jemand hier rein-auflösen, weil bei mir ein Schmarn rauskommt, oder bin ich jetzt voll auf dem Holzweg!

...und dann, wenn man b hat, kann man ja die zweite Lösung für diese Gleichung ausrechnen!

Bis bald
Sunny
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung ist vollkommen korrekt, Sunny, und funktioniert auch. Aber wieso bekommst du Schmarrn raus?
Ich habs mal gerechnet und bekomme für heraus

und dann für die beiden Nullstellen
.

Hmmm, die Vorzeichen stimmen nicht...
Oh... Äh, in deinem Starter schreibst du 1+sqrt(5) und jetzt 1-sqrt(5). Was ist es denn jetzt, Sunny? Aber bis aufs Vorzeichen stimmt deine Lösung dann auch, Sonnenblume. smile
Rich Auf diesen Beitrag antworten »

hi
hab das auch mal gerechnet und bei mir kommen die gleichen ergebnisse raus wie bei Irrlicht!
meiner meinung nach ist das auch die einfachste lösung!

der satz von vieta ist ein spezialfall der MNF, da er nur für normierte gleichungen anwendbar ist.
man kann also in diesem fall beide verwenden wenn man die gleichung normiert!
Beide Möglichkeiten können mit hilfe der quadratischen ergänzung hergeleitet werden
linearfaktorenzerlegung bedeutet eigentlich nichts anderes als ausklammern und das sollte jeder von euch schon mal gehört haben :P
die pq formel kann auch durch quadratische ergänzung erklärt werden und unterscheidet sich nicht stark von der MNF!
soll heißen:alle lösungsmöglichkeiten beruhen auf den gleichen mathematischen Mitteln und sind nur ein bisschne anders ausgedrückt als die anderen!
SunnySunflower Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oh... Äh, in deinem Starter schreibst du 1+sqrt(5) und jetzt 1-sqrt(5). Was ist es denn jetzt, Sunny? Aber bis aufs Vorzeichen stimmt deine Lösung dann auch,

Das habe ich jetzt net so verstanden! was du mit 1+sqrt(5) ........
also, die Aufgabe heißt so, wie ich sie am anfang geschrieben habe, wo habe ich denn was anderes geschreiben? :P

Gruß
Sunny

Ist deine Lösung wirklich richtig?
Dann muss ich nochmal rumrechnen!

:P
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Lösung ist richtig, wenn du 1-Wurzel(5) als Nullstelle hast (das hast du in dem Post geschrieben, als du deinen Lösungsvorschlag präsentiertest und meintest, bei dir käme nur Schmarrn raus).

Wenn du 1+Wurzel(5) als Nullstelle hast, dann kommt, ... *rechne*...
raus
und als Nullstellen
kikidiestarke Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungen
kann mir wer helfen bei den nullstellen?

die gleichung ist :

f(x)=t²x³/8+9tx²/16+9/16x

die eine ist 0 das weiß ich schon aber ich komm leider nicht weiter unglücklich
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