Ableitungen + gebrochen-rationale Funktionen

28.05.2006, 18:04

Kotelett

Ableitungen + gebrochen-rationale Funktionen

Hallo!
Ich habe ein paar Fragen zu
I. Ableitungen
II. Gebrochen-rationale Funktionen

I. Ableitungen:

Mein Hauptproblem liegt eigentlich bei Ableitungen mit einer Wurzel.
Beispielaufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(4x+2)\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=4*\sqrt(x)+(4x+2)*\frac{1}{2}*x^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=4*\sqrt(x)+\frac{4x+2}{2*\sqrt(x)} \end{eqnarray*}$
Jetzt habe ich verschiedene Wege probiert, scheitere aber immer sofort. Was muss ich hier jetzt tun? An dieser Stelle steh ich meistens bei den Wurzelaufgaben. (Habe auch schon gleichnahmigen Nenner versucht, aber das stimmt nicht mit der Lösung überein.)
Lösung von dieser Aufgabe lautet:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=6*\sqrt(x)+\frac{1}{\sqrt(x)} \end{eqnarray*}$

II. Gebrochen-rationale Funktionen:

Zwei Textaufgaben sind mir unklar:
Textaufgabe 1:
Für jedes $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R ^+ \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_t \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_t(x)=\frac{(x^2+t)^2}{2x} \end{eqnarray*}$ . Ihr Grapf sei $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ .
a) Untersuchen Sie $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ auf Symmetrie, Asymptoten, Schnittpunkte mit der x-Achse, Hoch-, Tief- und Wendepunkte.
b) Bestimmen Sie für jedes $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R ^+ \end{eqnarray*}$ die Gleichung einer Näherungskurve für große |x|.
c) Zeichnen Sie $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ und die Näherungskurve für t=1 im Bereich $\begin{eqnarray*} -2 \leq x \leq +2 \end{eqnarray*}$ .
d) Ermitteln Sie die Gleichung der Ortslinie der Extrempunkte aller $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ .

Zu...
a) Das bekomm ich eigentlich hin, nur wie geh ich bei der Symmetrieüberprüfung bei gebrochen-rationalen Funktionen vor?
b) Mir ist die Aufgabenstellung unklar. Was ist eine Näherungskurve (vielleicht eine Asymptote 2. Grades oder höher?) und wie berechnet man diese? Und was ist soll hier dieses |x|?
c) Hier gibt es wohl auch noch (Er)klärungsbedarf, was getan werden muss.
d) Wie erechnet man diese?

Textaufgabe 2:
Für jedes $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ {1} ist durch $\begin{eqnarray*} f_t(x)=\frac{tx^1-1}{x^2-t} \end{eqnarray*}$ eine Funktion f_t gegeben. Zeigen Sie: Alle Graphen von f_t gehen durch zwei gemeinsame Punkte A und B. Geben Sie die Koordinaten von A und B an.

Ich habe keine Ahnung, wie ich hier vorgehen muss.
Lösung lautet:
Für x=1 ist $\begin{eqnarray*} f_t(1)=\frac{t-1}{1-t}=-1 \end{eqnarray*}$ ;
für x=-1 ist $\begin{eqnarray*} f_t(-1)=\frac{t-1}{1-t}=-1 \end{eqnarray*}$ ;
also: A (1|-1); B (-1|-1).

So, das war's erstmal. Eine große Ladung auf einmal, aber wer nicht fragt, bleibt dumm. Augenzwinkern

Vielen, vielen Dank im Voraus
MFG
Kotelett

PS: Bitte nummeriert Eure Antworten entsprechend der Stelle, auf welche Ihr Euch bezieht, dass man Sie schnell zuordnen kann. Danke.

28.05.2006, 18:36

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Aufgabe eins würde ich ganz dreist einfach umschreiben:
$\begin{eqnarray*} (4x+2)\sqrt{x}=4x^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ jetzt einfach nach potenzregel ableiten...

zu zwei: die Näherungskurve ist die Asymptote.
Erhält man durch z.b. durch polynomdivision.
Da es sich dabei nicht zwingend um eine Gerade als Asymptote handeln muss sondern durchaus auch Parabeln 2ter oder höherer ordnung auftauchen können wird hier halt möglichst weitfassend näherungskurven gesagt ...find ich übertrieben und unnötig aber gut. so schafft man als aufgabensteller, wie man hier sieht, die evtl. gewünschte verwirrung *ironisch*

Zur Ortskurve: Such mal boardsuche nach ortskurve oder ortslinie oder geometrischer Ort oder sowas... da müsstest du sicher was drüber finden!

PS: achja: Wink

und herzlich Willkommen

im board

28.05.2006, 20:06

Kotelett

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lazarus
Bei Aufgabe eins würde ich ganz dreist einfach umschreiben:
$\begin{eqnarray*} (4x+2)\sqrt{x}=4x^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ jetzt einfach nach potenzregel ableiten...

Hö? Wie bist du denn daraufgekommen? Ich stehe ich gerade auf der Leitung oder kenne ich dieses Verfahren noch nicht? (Also ich meine jetzt deine Beschreibung, nicht die Potenzregel.)

28.05.2006, 20:12

hodgesaargh

Auf diesen Beitrag antworten »

x^a*x^b=x^(a+b).
er hat also ausmultipliziert und ausgenutzt, dass man wurzeln auch mit gebrochenen exponenten schreiben kann.

28.05.2006, 21:04

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

1)Die Regeln die hodgesaargh geschrieben hat.
und
2) $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$
ansonsten die Klammer ausmultipliplizieren und zusammenfassen wo möglich.

28.05.2006, 23:38

Kotelett

Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu, damit funktioniert es und meine Lösung stimmt mit den Lösungen des Lehrers überein. Vielen Dank!

So, jetzt wäre I. Ableitungen geklärt, jetzt fehlt noch Gebrochen-rationale Funktionen. Augenzwinkern

29.05.2006, 00:02

bounce

Auf diesen Beitrag antworten »

hey Kotelett ja zu Symmetrie

es gibt immer nur 2 Möglichkeiten entweder Punkt oder Achsensymmetrie da kann man mit rechnen bestimmen oder auch anhand der Exponenten smile

zur erstens:

wenn $\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$ gilt dann gibt es eine Achsensymmetrie
wenn $\begin{eqnarray*} -f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ gilt dann Punktsymmetire , dass sollte dir jetzt helfen wie man die Symmetrie berechnet wenn nicht boardsuche oder wiki benutzen ^^

zu c) naja gibt es nicht viel zu sagen wie man eine Kurve halt zeichnet du hast ja t=1 gegeben oder kannste damit nix anfangen ? und die Nährungskurve bestimmst du oben und zeichnest diese mit ins Koordinatensystem desweiteren alles im vorgegebenen Intervall ist jetzt klar ?? Augenzwinkern

zu d) jo entweder boardsuche oder hier: also wenn du ein Extrempunkt berechnest hast hat man ja zb. $\begin{eqnarray*} E_max( x | y) \end{eqnarray*}$ wobei x und y Zahlen sind usw smile

diese werden allerdings Parameter abhängig sein da es sich um eine Schar handelt und du ja die Ortskurve bestimmen sollst, was habt ihr dazu schon behandelt ?

mfg bounce

Neue Frage »

Antworten »

Ableitungen + gebrochen-rationale Funktionen

Verwandte Themen