Funktionsgleichung und Scheitelpunkt

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22.05.2004, 13:30	mkey	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsgleichung und Scheitelpunkt hallo, also die aufgabe lautet: Auf einer Normalparabel liegen 2 Punkte, P1(1/3) und P2(5/3) stelle die Funktionsgleichung auf, und berechne den Scheitelpunkt! Lösung: y=x²-6x+8 S(3/-1) Jetzt stellt sich mir nur die frage, wie kommt man darauf ? bzw wie stellt man die Funktionsgleichung auf ? brauche dringend hilfe, vielen dank schonmal!!
22.05.2004, 13:36	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsgleichung und Scheitelpunkt Fehlt da nicht noch eine Angabe?
22.05.2004, 13:38	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hiho. Das machst du so: Du schreibst dir die ursprüngliche Funktion auf: $\begin{align} f(x)=x^2+px+q \end{align}$ Du weißt: $\begin{align} 1^2+1p+q=3 \end{align}$ und $\begin{align} 5^2+5p+q=3 \end{align}$ Auflösen und gleichsetzen: $\begin{align} 2-p=-22-5p \Rightarrow p=-6 \end{align}$ Jetzt musst du p nur noch in eine der beiden gegebenen Gleichungen einsetzen: $\begin{align} q=2-p \Rightarrow q=8 \end{align}$ Gruß Hanno
22.05.2004, 13:39	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Da dürfte keine Angabe fehlen. Die allgemeine Parabelgleichung ist y = ax^2 + bx + c Da die Parabel eine Normalparabel ist, ist a=1. b und c bestimmt man, indem man die beiden Punkte in die Parabelgleichung einsetzt und dann das Gleichungssystem (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten) löst.
22.05.2004, 13:40	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsgleichung und Scheitelpunkt Jetzt weiß ich wenigstens,was eine Normalparabel ist! :]
22.05.2004, 13:56	mkey	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank schonmal @m00xi hat 1a funktioniert, dank dir aber wie bekomm ich jetz den scheitelpunkt heraus ?
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22.05.2004, 13:57	Gnu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist "Quadratisches Ergänzen" ein Begriff? Wenn ja, versuchs mal.
22.05.2004, 14:04	mkey	Auf diesen Beitrag antworten »
leider net mehr, ist doch das selbe wie pq formel oder ? bei pq bekomm ich 4 und 2 raus stimmt aber net
22.05.2004, 14:06	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die pq-Formel benutzt du zur Bestimmung der Nullstellen, die quadratische Ergänzung aber zur Bestimmung der Scheitelpunktskoordinaten. Wenn du die Parabel $\begin{align} x^2 + px + q \end{align}$ gegeben hast, dann ergänze mit Null, indem du $\begin{align} x^2 + 2\frac{p}{2}x + $\frac{p}{2}$^2 - $\frac{p}{2}$^2 + q \end{align}$ schreibst. Mit Binomischer Formel ergibt sich dann die Scheitelpunktsform $\begin{align} (x + \frac{p}{2})^2 + q - \frac{p^2}{4} \end{align}$ . Weisst du dann weiter wie du den Scheitelpunkt bestimmst?
22.05.2004, 14:10	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsgleichung und Scheitelpunkt aus der Angabe weißt du bereits, dass die x-Koordinate des Scheitels 3 ist ((1+5)/2). Diese dann in f(x) einsetzen.
22.05.2004, 14:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte Grybls letzte Idee aufgreifen: Da man weiß, daß die gegebenen Parabelpunkte dieselbe Ordinate (=3) haben, muß der Scheitel aus Symmetriegründen in der Mitte der Abszissen liegen: ½·(1+5) = 3. Jetzt kann man, da es sich um eine Normalparabel handelt, gleich den Ansatz p: y = (x-3)²+c wählen und muß jetzt nur noch c so bestimmen, daß für x=5 der Wert y=3 herauskommt (oder x=1, y=3). @Grybl Ich bin schon lange im "Schulgeschäft" tätig, deswegen muß ich mich auch geraume Zeit schon mit "Normalparabeln" herumschlagen. Aber bis heute weiß ich noch nicht, was das ist! Ist das der Graph der Funktion y=x² (und nur dieser?)? Dann wäre unsere Parabel p oben keine Normalparabel. Oder ist es jede zum Graphen von y=x² kongruente Parabel? Dann wäre das Ganze aber abhängig von der gewählten Längeneinheit. Und eine solche Definition widerspräche der sonst üblichen mathematischen Vorgehensweise! Zudem sind ja sowieso alle Parabeln zueinander ähnlich; denn die Parabel y=ax² geht durch die Streckung (x',y')=a·(x,y) über in die Parabel y'=x'².
22.05.2004, 14:46	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsgleichung und Scheitelpunkt @Leopold Ich habe heute zum ersten Mal den Begriff Normalparabel gehört. Wahrscheinlich kommt er in den österreichischen Lehrplänen nicht vor.
22.05.2004, 15:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
TU FELIX AUSTRIA!
22.05.2004, 15:23	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsgleichung und Scheitelpunkt Wahrscheinlich verträgt sich die Normalparabel nicht mit der österreichischen Gemütlichkeit!

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