?Zufallsvariable

28.05.2006, 18:45

anna'

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?Zufallsvariable

Hallo ich habe ien eaufgabe gefunden mit der ich nicht zurecht komme!
eine Zufallsvariable X sei N (µ;Sigma)- verteilt.
Wie groß muß k mindestens gewählt werden, damit X mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% einen Wert im intervall (µ-ksigma; µ+ksigma) animmt?

Das verstehe ich gerade gar nicht....

28.05.2006, 19:54

bil

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kennst du dich mit der normalverteilung bzw. standardnormalverteilung aus?
auf jeden fall sind hier schonmal zwei links die dir helfen können:
Beurteilende Statistik - Fragen zu Aufgaben
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung

gesucht ist übrigens ein k für das gilt:

$\begin{eqnarray*} P(\mu-k\sigma\leq X\leq \mu+k\sigma)\geq 0.95 \end{eqnarray*}$

am besten jetzt erstmal standardisieren und dann die standardnormalverteilungstabelle benutzten.

wenn etwas unklar ist kannst ja nochmal genauer nachfragen..

gruss bil

29.05.2006, 10:22

anna'

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Hallo
naja ich weiss nicht so genau wie man da jetzt weitermacht so eine Tabelle habe ich gefunden aber sind die eigentlich immer gleich ? ich ahbe jetzt mal hier eine aufgabe aus dem forum nachgerechnet und habe andere Zahlen raus aber das gleiche ergebniss.

mit standartisieren meinst du die sogenannte transformation also x-µ/sigma aber wie setze ich den term ein?

29.05.2006, 10:48

bil

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hi...

also die tabellen sind alle gleich. es gibt halt einseitige und zweitige tabellen, in der regel wird aber die einseitige tabelle verwendet, nämlich diese:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung
auf der seite findest du unten ein bsp P(3<X<7) und genauso wie in dem bsp musst du vorgehen.

du startest hier:

$\begin{eqnarray*} P(\mu-k\sigma\leq X\leq \mu+k\sigma)\geq 0.95 \end{eqnarray*}$

dann standardisierst/transformierst du(wie in dem bsp auch) und danach wird dein ergebniss nur noch von k abhängen. dann verwendest du folgende gleichheit(wird in dem bsp auch verwendet):

$\begin{eqnarray*} \Phi(k)-\Phi(-k)=2\Phi(k)-1 \end{eqnarray*}$

dann bringst du alles auf die rechte seite damit so etwas da steht:

$\begin{eqnarray*} \Phi(k)=\dots \end{eqnarray*}$

jetzt schaust du in der tabelle nach, welches k diese ... erfüllt. fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

probier mal so soweit wie möglich zu kommen, und wenn du probleme hast bei den einzelnen schritten, kann ich dir nochmal helfen...

gruss bil

29.05.2006, 14:24

anna'

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Mhh danke aber ich komme nicht wirklich dahinetr ich habe mir mal ne einfache... rausgesucht um das prinzip weiter zu verstehen.
ne normalverteilung mit (µ=3 und s=2)
A) P(x<4)= 0,6915 das bekomme ich auch raus stimmt mit der Lösung überein.
aber ab b) scheitere ich
P(2,5<x<4)=? soll 0,2902 rauskommen ?
c) P(x>3,5)=? soll 0,4013 rauskommen

d) P (Ix-3I<0,5)=? soll 0,1974 rauskommen (II Betrag)

29.05.2006, 16:17

bil

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Zitat:

Original von anna'
normalverteilung mit (µ=3 und s=2)
A) P(x<4)= 0,6915 das bekomme ich auch raus stimmt mit der Lösung überein.
aber ab b) scheitere ich
P(2,5<x<4)=? soll 0,2902 rauskommen ?
c) P(x>3,5)=? soll 0,4013 rauskommen

d) P (Ix-3I<0,5)=? soll 0,1974 rauskommen (II Betrag)

also a) ist klar.

b) $\begin{eqnarray*} P(2,5\leq X \leq 4) \end{eqnarray*}$ ist wahrscheinlichkeit X werte zwischen 2,5 bis 4 annimmt. es bedeutet das X kleiner als 4 ist aber grösser als 2,5. also kann man sich die sache auch umschreiben, nämlich so:

$\begin{eqnarray*} P(2,5\leq X \leq 4)=P(X\leq 4)-P(X\leq 2,5) \end{eqnarray*}$

und das kannst du ja genauso ausrechnen wie bei a). du kannst dir die umformung an einer geraden vorstellen bzw. klar machen. male einfach mal einen strich mit der länge 4 und überlege dir was man da genau machen müsste um die wahrscheinlichkeit von 2,5-4 zu bekommen.
diese umschreibung braucht man aber nicht umbedingt machen, man kann auch gleich standardisieren: (es ist übrigens s= $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} P(2,5\leq X \leq 4)=P\left(\frac{2,5-3}{2}\leq X^*\leq \frac{4-3}{2}\right) \end{eqnarray*}$

und jetzt kann man, die phi-funktion bzw. tabelle verwenden(da unsere zufallsvariable jetzt standardnormalverteilt ist. das ist auch der grund weshalb wir überhaupt standardisieren). denn für eine standardisierte zufallsvariable gilt allgmein:

$\begin{eqnarray*} P(a\leq X^*\leq b)=\Phi(b)-\Phi(a) \end{eqnarray*}$

bedeutet in unserem fall dann:

$\begin{eqnarray*} P\left(\frac{2,5-3}{2}\leq X^*\leq \frac{4-3}{2}\right)=\Phi \left(\frac{2,5-3}{2}\right)-\Phi\left(\frac{4-3}{2}\right) \end{eqnarray*}$

und das darfst du jetzt in der tabelle nachschaun Augenzwinkern

Augenzwinkern

. da sollte dann deine 0.2902 rauskommen..

c) da kann man wieder die sache umschreiben. es gilt allgmein für die stetige verteilung(in unserem fall normalverteilung)

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 3,5)=1-P(X\leq 3,5) \end{eqnarray*}$

das sollte du jetzt wieder ausrechnen können, oder? es gilt übrigens auch bei stetigen verteilungen

$\begin{eqnarray*} P(X\leq a)=P(X<a) \end{eqnarray*}$

sprich grösser gleich und nur grösser ist die selber wahrscheinlichkeit.

d) $\begin{eqnarray*} P(|x-3|\leq 0,5)=P(3-0,5\leq X\leq 3+0,5) \end{eqnarray*}$

zu berechnen wie die b)

die standardisierung die ich bei der b) gemacht habe musst du auch bei deinem anfangsproblem machen...

wenn was unklar ist, einfach fragen...

gruss bil

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29.05.2006, 16:20

anna'

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Hey du solltest Lehrer werden..oder besser nicht!:-) Jedenfalls vielen Dank!!!

29.05.2006, 16:25

bil

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nichts zu danken smile

smile

hast du jetzt deine erste frage verstanden?

gruss bil

29.05.2006, 19:11

anna'

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Naja ich ahbe jetzt noch weiter aufgaben gerechnet das hat auch geklappt also die ergebmisse haben mit dem lösungsbuch überein gestimmt. auch alte klausuren funktionieren.
aber das sind dann teilweise immer nur mit einer Gauß Aufgabe am ende aber ich will das jetzt auch verstehen.

nur bei den aufgaben die hier im bord gestellt habe klappts nicht b) bekomme ich nicht die 0,29.. raus...
und bei der d) auch nicht das richtige weil beim einsetzen bekomme ich auf beiden seiten 0,25 raus einmal - und einmal +.
Ganz blöd!

29.05.2006, 19:39

bil

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aha... also ab jetzt am besten bei falschen lösungen den rechenweg mit posten. dann kann ich schneller den fehler sehen. du wirst dich irgendwo verrechnet haben müssen bei der d):

$\begin{eqnarray*} P(|x-3|\leq 0,5)=P(3-0,5\leq X\leq 3+0,5) \end{eqnarray*}$

jetzt wie immer standardisieren ergibt:

$\begin{eqnarray*} P\left(\frac{3-0,5-3}{2}\leq X^*\leq \frac{3+0,5-3}{2}\right)=P(-0.5\leq X^*\leq 0.5)=\Phi(0,25)-\Phi(-0.25) \end{eqnarray*}$

aso, so weit bist du wohl auch gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

, das sind dann wohl deine +-0.25.
ok, dein problem ist wahrscheinlich -0.25.

es gilt allgmein:

$\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$

wenn du das oben einsetzt, passt das ergebniss am ende...

30.05.2006, 09:54

anna'

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Hi! Also es mklappt jetzt alles konnte alle aufgaben lösen auch auf den Übungsblättern.
Danke

Aber wie macht man das wenn die aufgabe so ist
eine zufallsvariable X sei normalverteilt mit dem erwartungswert µ=5 und der standardabweichung=0,2
P(X<c)=0,85

Anna

30.05.2006, 10:12

bil

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Zitat:

Original von anna'
eine zufallsvariable X sei normalverteilt mit dem erwartungswert µ=5 und der standardabweichung=0,2
P(X<c)=0,85

ich schätze mal die aufgabe soll sein das c zu bestimmen.
dann gehst du ganz normal vor, erst standardisieren und dann in die phi funktion einsetzten.
dann steht das am ende da:

$\begin{eqnarray*} \Phi(\frac{c-5}{0.2})=0,85 \end{eqnarray*}$

jetzt schaust du in der tabelle nach welcher wert 0.85 ergibt und diesen wert
setzt du dann mit

$\begin{eqnarray*} \frac{c-5}{0.2} \end{eqnarray*}$

gleich.und dann löst du nach c auf.

gruss bil

30.05.2006, 10:57

anna'

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mhh ja aber ich bekomme nicht das C=5,2 raus?

weil mir ist auch aufgefallen die Internet Tabelle und die aus dem buch sind unterschiedlich?

für 0,85 bekome ich ja 0,19.. das umgeformt gibt ja 0,19...+5/02

30.05.2006, 14:05

bil

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Zitat:

Original von anna'
mhh ja aber ich bekomme nicht das C=5,2 raus?

weil mir ist auch aufgefallen die Internet Tabelle und die aus dem buch sind unterschiedlich?

für 0,85 bekome ich ja 0,19.. das umgeformt gibt ja 0,19...+5/02

ich glaub du verwechelst was. also laut dieser tabelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung
gilt:

$\begin{eqnarray*} \Phi(1.4)\approx 0.85 \end{eqnarray*}$

das bedeutet dann für unsere aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{c-5}{0.2}\stackrel{!}{=}1.4 \end{eqnarray*}$

und das musst du nach c aufösen..

gruss bil

30.05.2006, 15:25

anna'

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Mhh ja jetzt bekome ich auch die 5,28
wenn ich jetzt c-5/0,2=0,7 schaue ich in der Tabelle für 0,7 bekomme ich laut tabelle 0,53?

und als ergebniss aber nicht 4,9?

30.05.2006, 15:34

bil

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Zitat:

Original von anna'
Mhh ja jetzt bekome ich auch die 5,28
wenn ich jetzt c-5/0,2=0,7 schaue ich in der Tabelle für 0,7 bekomme ich laut tabelle 0,53?

und als ergebniss aber nicht 4,9?

also ich bekomme auch nicht 4,9 raus.vll liegt der fehler ja im buch Augenzwinkern

Augenzwinkern

, poste mal am besten die ganze fragestellung dazu...

gruss bil

30.05.2006, 15:48

anna'

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eine zufallsvariable X sei normalverteilt mit dem erwartungswert µ=5 und der standardabweichung=0,2
Ermitteln Sie cso daß gilt
zb. in dem fall
a) P(X>c)=0,7
b) P( X-5 <c)= 0,9
Das wäre sie

30.05.2006, 15:57

bil

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Zitat:

Original von anna'
eine zufallsvariable X sei normalverteilt mit dem erwartungswert µ=5 und der standardabweichung=0,2
Ermitteln Sie cso daß gilt
zb. in dem fall
a) P(X>c)=0,7
b) P( X-5 <c)= 0,9
Das wäre sie

ok, das sieht doch dann schon ganz anders aus:

allgemein gilt für eine standardnormalverteilte zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X^* \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(X^*\leq z)=\Phi(z) \end{eqnarray*}$

und die betonung liegt auf $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ .

bei der a) ist erstens nicht $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ gegeben und zweitens fehlt natürlich wieder die standardisierung.

also:

a) $\begin{eqnarray*} P(X\geq c)=1-P(X\leq c)=0.7 \end{eqnarray*}$

und bei der b) gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X-5\leq c)=0.9~\Leftrightarrow~P(X\leq c+5)=0.9 \end{eqnarray*}$

gruss bil

30.05.2006, 18:39

anna'

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Ok jetzt sind alle Probleme klar geworden der rest von der aufgabe hat hingehauen!
Vielen Vielen Dank !!!!!

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