grenzwertsatz beweis

29.08.2008, 15:17

hallo gast

grenzwertsatz beweis

hi,

ich hab mal ne frage zu dem grenzwertsatz:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{An}{Bn} = \frac{A}{B} \end{eqnarray*}$
(A ist der grenzwert von An; B der von Bn...)

reicht dieser beweis dafür aus:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{Bn}-\frac{1}{B} \mid = \mid \frac{B-Bn}{Bn*B} \mid < e (epsilon) \end{eqnarray*}$

weil Bn gegen B läuft kann ich doch im nenner Bn mit B ersetzen oder?

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{B-Bn}{B^{2}} \mid < e \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \mid B-Bn \mid <\frac{e}{b^{2}} \end{eqnarray*}$

das sollte doch eigentlihc reichen oder?

Auf einigen seiten (z.B. http://www.mathproject.de/Folgen/beweisGWS.xml#1) ist der beweis nämlcih etwas umständlicher aber wenns nun so einfach geht.......

29.08.2008, 15:39

WebFritzi

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RE: grenzwertsatz beweis

Zitat:

Original von hallo gast
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{Bn}-\frac{1}{B} \mid = \mid \frac{B-Bn}{Bn*B} \mid < e (epsilon) \end{eqnarray*}$

weil Bn gegen B läuft kann ich doch im nenner Bn mit B ersetzen oder?

Natürlich nicht. Wichtig ist übrigens auch, dass (bn) von Null wegbeschränkt bleibt.

BTW: Warum schreibst du nicht \epsilon statt e?

29.08.2008, 15:46

Jacques

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Ich würde den Satz allgemein erstmal sauber formulieren @ hallo gast:

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_n = b \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 16:05

hallo gast

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aber wieso darf ich das nicht verwirrt

ich schätz doch eh nur ab und für große n ist Bn nunmal fast B...

Wär nett, wenn mich jemand genau über meinen fehler aufklärt Hammer

PS: wie schreibt man diesne tiefgestellten index bei z.B. An? beim formeleditor hab ich leider keine solche option gefunden

29.08.2008, 16:09

WebFritzi

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Zitat:

Original von hallo gast
aber wieso darf ich das nicht verwirrt

ich schätz doch eh nur ab und für große n ist Bn nunmal fast B...

Wir sind hier Mathematiker - keine Ingenieure. Es muss alles ganz genau sein.

Zitat:

Original von hallo gast
PS: wie schreibt man diesne tiefgestellten index bei z.B. An? beim formeleditor hab ich leider keine solche option gefunden

a_n
Du hättest auch einfach auf "Zitieren" klicken können, um das zu sehen.

29.08.2008, 16:29

hallo gast

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mathematiker schätzen nie ab?
also das wär mir mal neu...

also mal im ernst, willst du mich veräppeln?
in der analysis wird sogar sehr häufig abgeschätzt!

29.08.2008, 16:41

WebFritzi

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abschätzen $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ schätzen

In dem richtigen Beweis muss sogar abgeschätzt werden.

29.08.2008, 17:07

hallo gast

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na von mir aus, dann sind schätzen und abschätzen zwei begriffe, die unter keinen umständen verwechselt werden dürfen

mein fehler!

trotzdem vversteh ich nich wieso mein beweis so nicht funktioniert
es ist doch nunmal so, dass der nenner für große n (und das ist ja sinn der sache) konstant ist, nämlich fast b^2...
so der zähler wird also nicht kleiner, der nenner aber läuft gegen null, dann ist das ne nullfolge

was stimmt denn daran nicht Lesen1

29.08.2008, 17:17

WebFritzi

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Das stimmt alles. Ist aber umgangssprachlich formuliert und somit für die Mathematik nicht geeignet. Das "fast" ist hier das Problem. Das muss mathematisch präzisiert werden.

Es ist gut, wenn man eine Vorstellung der Dinge für sich entwickelt, so wie du hier. Das formale Aufschreiben dieser Gedanken ist dann eine erneute Aufgabe.

29.08.2008, 17:45

hallo gast

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ah ok,

also ist mein beweis unbrauchbar, selbst für die SEK II?
(kann ja sein, dass dieses hohe maß an präzision erst auf der uni gefordert wird
.......oder es hängt halt vom lehrer ab Lehrer

)

na gut, vielen dank für den tipp, dann schau ich mir halt den richtigen beweis genauer an Augenzwinkern

30.08.2008, 12:19

klarsoweit

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Ein Tipp noch zur Aufgabe. Am besten betrachtet man erstmal den Fall B > 0. Da die Folge b_n gegen B konvergiert, gibt es ein N_0, so daß einerseits $\begin{eqnarray*} |b_n - B| < \frac 1 2 \cdot B^2 \cdot \epsilon \end{eqnarray*}$ und andererseits $\begin{eqnarray*} b_n > \frac B 2 > 0 \end{eqnarray*}$ ist. Aus der ersten Ungleichung folgt:

$\begin{eqnarray*} |b_n - B| < \frac 1 2 \cdot B^2 \cdot \epsilon \Leftarrow |b_n - B| < b_n \cdot B \cdot \epsilon \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite etwas umformen und du bist fast am Ziel.

30.08.2008, 17:53

WebFritzi

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@klarsoweit: Es gibt hier keine Aufgabe. hallo gast wollte nur fragen, ob man den Beweis vereinfachen könne, wenn man im Nenner des abzuschätzenden Terms b_n durch b ersetzt.

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