Flächenberechnung

29.08.2008, 16:12

Rudi

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Flächenberechnung

Servus ,

folgende Aufgabe:

Es gilt : $\begin{eqnarray*} f_z(x)=x^3-x+z \end{eqnarray*}$
Intervall: a=0 ; b=2

Das z , soll so gewählt werden , dass es nur eine Nullstelle gibt und durch die diese Nullstelle wird die Fläche zwischen a und b genau in zwei gleiche Teile unterteilt !

Also habe ich mir erstmal aufgeschrieben , dass folgendes gelten muss :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx = \int_{x_0}^{2}~x^3-x+z~dx \end{eqnarray*}$

Habe versucht was aus dieser Gleichung zu machen , aber ich glaub das ist der falsche Weg ... jemand ein Tipp ?

29.08.2008, 16:19

WebFritzi

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RE: Flächenberechnung

Zitat:

Original von Rudi
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx = \int_{x_0}^{2}~x^3-x+z~dx \end{eqnarray*}$

Guter Ansatz, aber nicht ganz richtig. Bedenke, dass die eine Fläche ja unterhalb der x-Achse liegen muss und das Integral daher negativ ist. Das andere ist positiv, und die beiden könnten niemals gleich sein. Du solltest noch irgendwo ein Vorzeichen verändern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Verwende zudem die richtige Funktion im Integral.

29.08.2008, 16:21

Rudi

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müsste dann demnach so sein :

$\begin{eqnarray*} | \int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx| =| \int_{x_0}^{2}~x^3-x+z~dx | \end{eqnarray*}$

edit: was meinst du mit richtiger Funktion?

29.08.2008, 16:24

WebFritzi

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Dein Integrand ist immernoch falsch! Vergleiche ihn mit deiner eingangs geposteten Funktion.

Mit den Betragstrichen stimmt es. Aber das hilft nicht viel. Du weißt doch, dass eines von beiden Integralen negativ, das andere positiv ist...

29.08.2008, 16:29

Rudi

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Ach , habe mich oben verschrieben es gilt : Es gilt : $\begin{eqnarray*} f_z(x)=x^3-x+z \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 16:40

WebFritzi

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OK. Egal. Dann stell jetzt die richtige Integralbedingung auf.

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29.08.2008, 16:43

Rudi

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Hmm.. die stimmt doch oder nicht , die Flächen müssen beide gleichgroß sein !

Von 0 bis zur Nullstelle und von der Nullstelle bis x=2 ..

29.08.2008, 16:44

WebFritzi

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Lies dir doch meine Beiträge richtig durch, bitte. Ich hatte schon geschrieben, dass dich die Beträge nciht weiterbringen werden. Nochmal: Das eine Integral ist negativ, das andere positiv. Verwende diese Information, indem du die Betragstriche wieder wegmachst und an einer bestimmten Stelle ein Vorzeichen einfügst.

EDIT: Ach, und bitte nicht raten.

29.08.2008, 16:49

Rudi

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achso ok , nun verstehe ich :

$\begin{eqnarray*} - \int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx = \int_{x_0}^{2}~x^3-x+z~dx \end{eqnarray*}$

So müsste das eigentlich sein , kannst du mir trotzdem nochmal sagen wieso die Betragsstriche mit hier nicht weiterbringen , oder sehe ich das gleich in der Rechnung ?

edit : bin dann mal 1h weg

29.08.2008, 16:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von Rudi
kannst du mir trotzdem nochmal sagen wieso die Betragsstriche mit hier nicht weiterbringen

Wie hättest du denn weiterrechnen wollen?

29.08.2008, 18:12

Rudi

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ja ich hätte dann die Stammfunktion gebildet und um die Stammfunktion die Betragszeichen gemacht ..

29.08.2008, 18:21

WebFritzi

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Und die Grenzen eingesetzt, hoffe ich. Und dann?

29.08.2008, 18:25

Rudi

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ja am ende kam ich dann nicht weiter , weil ich ja x0 für die Nullstelle habe und z eben als Variable .. da wusste ich nicht wie ichw eiter machen sollte ..

//Edit: achso jetzt wirds mir klar , wenn ich das - da noch stehen habe kann ich ja dann wegkürzen und komme auf ein Ergebnis für c ! aha ^^ das dürfte mich also doch weiter bringen ..

29.08.2008, 18:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von Rudi
//Edit: achso jetzt wirds mir klar , wenn ich das - da noch stehen habe kann ich ja dann wegkürzen und komme auf ein Ergebnis für c !

Selbstgespräche im Forum, die keiner verstehen kann, bitte lassen. Danke.

29.08.2008, 18:30

Rudi

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Haha , ne sorry , das musste eben sein.

Mir wurde sozusagen eben klar , wie mich das - vor dem Integral weiter bringt. Denn im letzen Schritt hatte ich probleme mit den Variablen , aber durch das Minus fallen da ein paar Sachen weg und dann sollte es klappen .. ich teste es gleich mal aus smile

smile

29.08.2008, 18:33

WebFritzi

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Man kann das ganze auch einfach so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 f_z(x)\,dx = 0. \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 19:04

Rudi

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also ich habe es nochmal so ausgerechnet
$\begin{eqnarray*} - \int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx = \int_{x_0}^{2}~x^3-x+z~dx \end{eqnarray*}$

und komme auf $\begin{eqnarray*} c=-1 \end{eqnarray*}$

Mit dieser Schreibweiße :
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 f_z(x)\,dx = 0. \end{eqnarray*}$ kommt ich auch aufs richtige Ergebnis , nur ich verstehe gerade nicht wieso .. man berechnet ja das Integral von 0 bis 2 für die Funktion und für diese Funktion die Nullstelle ...

Edit: Achso verstehe , zwischen diesen zwei Flächen MUSS ja eine Nullstelle liegen und diese Teilt die Flächen eben in genau zwei gleiche Stücke ok ! ( wenns noch eine bessere Erläuterung gibt , nur her damit)

Nun muss ich die Nullste nur noch bestimmen :

$\begin{eqnarray*} x^3 - x -1 =0 \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 19:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von Rudi
also ich habe es nochmal so ausgerechnet
$\begin{eqnarray*} - \int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx = \int_{x_0}^{2}~x^3-x+z~dx \end{eqnarray*}$

und komme auf $\begin{eqnarray*} c=-1 \end{eqnarray*}$

Was ist c?

Zitat:

Original von Rudi
Mit dieser Schreibweiße :

Es heißt Weise.

Zitat:

Original von Rudi
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 f_z(x)\,dx = 0. \end{eqnarray*}$ kommt ich auch aufs richtige Ergebnis , nur ich verstehe gerade nicht wieso .. man berechnet ja das Integral von 0 bis 2 für die Funktion und für diese Funktion die Nullstelle ...

Du hast

$\begin{eqnarray*} - \int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx = \int_{x_0}^{2}~x^3-x+z~dx \end{eqnarray*}$

Das ist eine Gleichung. Addiere auf beiden Seiten das Integral (ohne Minus), was auf der linken Seite steht. Bedenke, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx. \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 19:13

Rudi

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Achso ok , logisch !

$\begin{eqnarray*} - \int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx = \int_{x_0}^{2}~x^3-x+z~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx +\int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx= \int_{x_0}^{2}~x^3-x+z~dx +\int_{0}^{x_0}~x^3-x+z~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = \int_{0}^{2}~x^3-x+z~dx \end{eqnarray*}$

ok ! super Erklärung Freude

Freude

Wie komme ich nun an die Nullstelle ?

$\begin{eqnarray*} x^3 - x -1 =0 \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 19:18

WebFritzi

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Musst du die laut Aufgabenstellung berechnen?

29.08.2008, 19:22

Rudi

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Achso ok ! du hast recht , es wird nur von z gesprochen !

Dann danke ich dir vielmals smile

smile

aber aus neugierde , gibt es da einen Weg ?

29.08.2008, 19:31

WebFritzi

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Ja, die Formeln von Cardano.

29.08.2008, 19:43

Rudi

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danke schön !

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