Querschnittsfläche

29.08.2008, 17:28

elektrotechnik

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Querschnittsfläche

Hallo,
ich weiss net in welchem Bereich das gehört, aber ich stells einfach mal hier rein:

Ich soll eine Funktion A(x) aufstellen, die Abnahme der Querschnittfläche von der gegebenen Zeichnung darstellt.

Also quasi
A(0) = a²
A(l) = a²/2

Ich hab an sowas gedacht:
$\begin{eqnarray*} A(x) = a²-\frac{x*a²}{2l} \end{eqnarray*}$
Weil diese Gleichung ja schon mal A(0) und A(l) erfüllt.

Meine Gleichung ist aber nicht ganz korrekt wurde mir gesagt.

Aber wie geht man an so einer Aufgabe systematisch ran?

29.08.2008, 17:37

Leopold

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Die Gleichung stimmt fast. Im Subtrahenden kann ich den Streckfaktor

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{x}{l} \end{eqnarray*}$

erkennen. Da es sich hier aber um Flächeninhalte handelt, müßte da auch $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ stehen.

29.08.2008, 17:51

elektrotechnik

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So also:
$\begin{eqnarray*} A(x) = a²-\frac{x²*a²}{2l²} \end{eqnarray*}$

aber kannst du mir vielleicht zeigen, wie man an eine solche Aufgabe rangeht.

Ich hab nur überlegt, ok Ausgangsfläche ist a² und am ende muss für x=l a²/2 rauskommen, deswegen hab ich das einfach durch l geteilt und kam auf a²-a²x/(2l)

Woran erkennst du diesen Streckfaktor bzw wie kommst du da drauf?
Das wäre doch wie x sich zu l verhält oder entsteht das durch irgendeine Gleichung?

29.08.2008, 17:53

WebFritzi

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Ich habe raus:

$\begin{eqnarray*} A(x) = \frac{a^2}{2}\left( 1 + 3\frac{(l-x)^2}{l^2} \right) = \frac{a^2}{2}\left( 1 + 3(1-\lambda)^2 \right). \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 17:54

WebFritzi

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Die Länge der gestrichelten Linie auf dem oberen Dreieck bekommst du z.B. durch Anwendung des Strahlensatzes.

29.08.2008, 18:01

Leopold

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Zitat:

Original von WebFritzi
Ich habe raus:

$\begin{eqnarray*} A(x) = \frac{a^2}{2}\left( 1 + 3\frac{(l-x)^2}{l^2} \right) = \frac{a^2}{2}\left( 1 + 3(1-\lambda)^2 \right). \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(0) = 2a^2 \end{eqnarray*}$

Das kann nicht sein.

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29.08.2008, 18:14

elektrotechnik

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@Leopold und @Webfritzi

Kann jemand von euch mir mal die Herleitung von A(x) zeigen.
Wenn ich das Ergebnis in der Klausur einfach hinschreibe (eigentlich war das eine Elektrotechnik Klausurteilaufgabe) bekomm ich dafür keine Punkte.

Versuch
Strahlensatz:

y/a = x/l
y = ax/l

und weiter?

29.08.2008, 18:17

WebFritzi

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OK ok, hab mich verrechnet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A(x) = \frac{a^2}{2}(2-\lambda^2) = \frac{a^2}{2}\left( 2-\frac{x^2}{l^2} \right). \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 18:19

WebFritzi

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Zitat:

Original von elektrotechnik
y/a = x/l

Nein. y/a = (l-x)/l

29.08.2008, 18:21

Leopold

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Betrachte die Pyramide der Höhe $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ , die abgeschnitten wird. Denke sie dir auf ihre Grundfläche, das halbe Quadrat, gestellt. Nach oben hin verjüngt sich die Querschnittsfläche, und zwar im Quadrat des Maßes, mit dem sich die Höhe verjüngt. Wenn sich also die Höhe halbiert hat, dann ist die Querschnittsfläche nur noch ein Viertel mal so groß. Wenn die Höhe gedrittelt wurde, beträgt die Querschnittsfläche nur noch ein Neuntel ihrer ursprünglichen Größe. Der Streckfaktor in der Höhe $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist nun gerade

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{x}{h} \end{eqnarray*}$

Und deshalb mußt du die alte Grundfläche $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \, a^2 \end{eqnarray*}$ der Pyramide mit $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

(Übrigens ist beim Volumen mit $\begin{eqnarray*} \lambda^3 \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren. Diese Argumentation funktioniert für Pyramiden oder allgemeiner Kegel, nicht für andere Körper.)

Ein alternative Argumentation geht über den Strahlensatz. Wie ich gerade bemerke, schlägt dir WebFritzi das vor.

29.08.2008, 18:25

Huggy

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Zitat:

Original von elektrotechnik

Woran erkennst du diesen Streckfaktor bzw wie kommst du da drauf?
Das wäre doch wie x sich zu l verhält oder entsteht das durch irgendeine Gleichung?

Das bekommst du, wie WebFritzi schon sagte, mit dem Strahlensatz. In jeder Entfernung x wird von dem quadratischen Querschnitt ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck abgeschnitten, für dessen Hypotenuse c(x) gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{c(x)}{a \sqrt{2}} = \frac{x}{l} \end{eqnarray*}$

Daraus bekommst die Fläche des abgeschnitten Dreiecks und schon hast du die korrekte Beziehung.

29.08.2008, 18:29

elektrotechnik

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ok ich versuch trotzdem mal webfritzis weg:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{a} =\frac{l-x}{l} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y =a*\frac{l-x}{l} = a- \frac{ax}{l} \end{eqnarray*}$

das ganze sieht für mich jetzt irgendwie wie eine Geradengleichung aus.
was macht man nun?

29.08.2008, 18:35

WebFritzi

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Nun strengt man seinen Grips ein wenig an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.08.2008, 18:38

Huggy

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In der Zeichnung wird aber nun mal x von unten gemessen. Deshalb muss y(x) bzw. c(x) für x = 0 auch 0 werden.

29.08.2008, 18:46

elektrotechnik

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wieso? für x = 0 muss doch y=a sein und mit positiver x richtung für x=l muss 0 rauskommen. stimmt doch so?

das selbe y stück hab ich noch für das seitliche Dreieck aber ich weiss trotzddem net weiter.

29.08.2008, 18:52

Huggy

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Also laut Zeichnung wird bei x = 0 nichts abgeschnitten und bei x = l das halbe Quadrat. Ich habe die Zeichnung nicht gemacht. Natürlich kann man x auch von der anderen Seite aus definieren und dann sieht auch die Formel anders aus.

29.08.2008, 18:53

Leopold

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Vielleicht sollten wir uns einmal verständigen, was eigentlich dieses $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bedeuten soll. Wenn es die Kathete des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks in der Höhe x ist, dann stimmt doch die Proportion

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{a} = \frac{x}{l} \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 18:55

WebFritzi

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Ist es aber nicht. Wir sollten uns an die Vorgaben halten, und y wurde zuerst als die getrichelte Linie auf dem oberen Dreieck definiert. Lasst uns also dabei bleiben.

@elektrotechnik: Versuch doch mal, eine Formel für den Flächeninhalt des Querschnitts zu bestimmen mit allen Variablen, die du hast.

29.08.2008, 18:58

Leopold

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Zitat:

Original von WebFritzi
und y wurde zuerst als die getrichelte Linie auf dem oberen Dreieck definiert

Sorry, aber ich kann das nirgendwo finden. verwirrt

verwirrt

29.08.2008, 19:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von WebFritzi
Die Länge der gestrichelten Linie auf dem oberen Dreieck bekommst du z.B. durch Anwendung des Strahlensatzes.

Zitat:

Original von elektrotechnik
Versuch
Strahlensatz:

y/a = x/l
y = ax/l

Augenzwinkern

29.08.2008, 19:07

Huggy

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Zitat:

Original von WebFritzi
Ist es aber nicht. Wir sollten uns an die Vorgaben halten, und y wurde zuerst als die getrichelte Linie auf dem oberen Dreieck definiert. Lasst uns also dabei bleiben.

Okay! Dann ist die Kathete des abgeschnitten Dreiecks a - y. Und damit hat alles wieder seine Ordnung. Es ist nur einfacher, gleich mit dem abgeschnittenen Dreieck zu rechnen.

29.08.2008, 19:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von WebFritzi
Ist es aber nicht. Wir sollten uns an die Vorgaben halten, und y wurde zuerst als die getrichelte Linie auf dem oberen Dreieck definiert. Lasst uns also dabei bleiben.

Okay! Dann ist die Kathete des abgeschnitten Dreiecks a - y. Und damit hat alles wieder seine Ordnung. Es ist nur einfacher, gleich mit dem abgeschnittenen Dreieck zu rechnen.

Ja, aber da kommt man mit Text und Zeichnung so schlecht ran. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.08.2008, 19:12

elektrotechnik

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$\begin{eqnarray*} y =a*\frac{l-x}{l} = a- \frac{ax}{l} \end{eqnarray*}$

A(x) = a² - fläche von dreieck

Eine Seitenlänge des Dreiecks: a-y
$\begin{eqnarray*} a-(a-\frac{ax}{l}) = \frac{ax}{l} \end{eqnarray*}$

Da rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck folgt für die Dreiecksfläche:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{ax}{l})^2}{2} \end{eqnarray*}$

Also insgesamt:

$\begin{eqnarray*} A(x) = a² - \frac{(\frac{ax}{l})^2}{2} = a² - \frac{a²x²}{l² 2} \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 19:13

Leopold

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von WebFritzi
Die Länge der gestrichelten Linie auf dem oberen Dreieck bekommst du z.B. durch Anwendung des Strahlensatzes.

Zitat:

Original von elektrotechnik
Versuch
Strahlensatz:

y/a = x/l
y = ax/l

Augenzwinkern

Aha! Also Gedankenübertragung. WebFritzi spricht's aus, elektrotechnik nimmt ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , und WebFritzi denkt, 's ist seins. Ich bin leider mit diesen $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ -Verfahren noch nicht ganz vertraut.

Unabhängig davon ist es unpraktisch, mit der Hypotenuse des Dreiecks zu arbeiten. Da es ein halbes Quadrat ist, geht doch mit der Kathete alles viel einfacher.

29.08.2008, 19:15

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Unabhängig davon ist es unpraktisch, mit der Hypotenuse des Dreiecks zu arbeiten. Da es ein halbes Quadrat ist, geht doch mit der Kathete alles viel einfacher.

Du bestätigst dies jetzt grad als dritter. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.08.2008, 19:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von elektrotechnik
$\begin{eqnarray*} y =a*\frac{l-x}{l} = a- \frac{ax}{l} \end{eqnarray*}$

A(x) = a² - fläche von dreieck

Eine Seitenlänge des Dreiecks: a-y
$\begin{eqnarray*} a-(a-\frac{ax}{l}) = \frac{ax}{l} \end{eqnarray*}$

Da rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck folgt für die Dreiecksfläche:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{ax}{l})^2}{2} \end{eqnarray*}$

Also insgesamt:

$\begin{eqnarray*} A(x) = a² - \frac{(\frac{ax}{l})^2}{2} = a² - \frac{a²x²}{l² 2} \end{eqnarray*}$

Sehr schön. Freude

Freude

29.08.2008, 19:17

Leopold

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Und da aller guten Dinge drei sind, paßt doch alles.

29.08.2008, 19:19

WebFritzi

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Big Laugh

29.08.2008, 19:19

elektrotechnik

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alle 3 zusammen, vielen dank
Big Laugh

Big Laugh

29.08.2008, 19:23

Leopold

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@ elektrotechniker

Und jetzt optimiere das. Damit es nicht wieder ein Durcheinander gibt, lege ich fest

$\begin{eqnarray*} z = \mbox{Kathete des Querschnittsdreiecks der abgeschnittenen Pyramide von der Höhe} \ x \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{a} = \frac{x}{l} \ \ \Leftrightarrow \ \ z = a \cdot \frac{x}{l} \end{eqnarray*}$

Und fertig ist's.

$\begin{eqnarray*} A(x) = a^2 - \frac{1}{2} \, z^2 = a^2 - \frac{a^2 x^2}{2 l^2} \end{eqnarray*}$

29.08.2008, 19:34

Huggy

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Zitat:

Original von Leopold
Unabhängig davon ist es unpraktisch, mit der Hypotenuse des Dreiecks zu arbeiten. Da es ein halbes Quadrat ist, geht doch mit der Kathete alles viel einfacher.

Schon richtig! Da man aber die Kathete in der Zeichnung nicht sieht, habe ich halt die Hypotenuse genommen.

Doch nun hat die Tragikomödie ja ein glückliches Ende genommen.

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