Querschnittsfläche

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elektrotechnik Auf diesen Beitrag antworten »
Querschnittsfläche
Hallo,
ich weiss net in welchem Bereich das gehört, aber ich stells einfach mal hier rein:

Ich soll eine Funktion A(x) aufstellen, die Abnahme der Querschnittfläche von der gegebenen Zeichnung darstellt.

Also quasi
A(0) = a²
A(l) = a²/2

Ich hab an sowas gedacht:

Weil diese Gleichung ja schon mal A(0) und A(l) erfüllt.

Meine Gleichung ist aber nicht ganz korrekt wurde mir gesagt.

Aber wie geht man an so einer Aufgabe systematisch ran?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung stimmt fast. Im Subtrahenden kann ich den Streckfaktor



erkennen. Da es sich hier aber um Flächeninhalte handelt, müßte da auch stehen.
 
 
elektrotechnik Auf diesen Beitrag antworten »

So also:


aber kannst du mir vielleicht zeigen, wie man an eine solche Aufgabe rangeht.

Ich hab nur überlegt, ok Ausgangsfläche ist a² und am ende muss für x=l a²/2 rauskommen, deswegen hab ich das einfach durch l geteilt und kam auf a²-a²x/(2l)

Woran erkennst du diesen Streckfaktor bzw wie kommst du da drauf?
Das wäre doch wie x sich zu l verhält oder entsteht das durch irgendeine Gleichung?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe raus:

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Länge der gestrichelten Linie auf dem oberen Dreieck bekommst du z.B. durch Anwendung des Strahlensatzes.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Ich habe raus:





Das kann nicht sein.
elektrotechnik Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold und @Webfritzi

Kann jemand von euch mir mal die Herleitung von A(x) zeigen.
Wenn ich das Ergebnis in der Klausur einfach hinschreibe (eigentlich war das eine Elektrotechnik Klausurteilaufgabe) bekomm ich dafür keine Punkte.

Versuch
Strahlensatz:

y/a = x/l
y = ax/l

und weiter?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK ok, hab mich verrechnet. Augenzwinkern

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von elektrotechnik
y/a = x/l


Nein. y/a = (l-x)/l
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die Pyramide der Höhe , die abgeschnitten wird. Denke sie dir auf ihre Grundfläche, das halbe Quadrat, gestellt. Nach oben hin verjüngt sich die Querschnittsfläche, und zwar im Quadrat des Maßes, mit dem sich die Höhe verjüngt. Wenn sich also die Höhe halbiert hat, dann ist die Querschnittsfläche nur noch ein Viertel mal so groß. Wenn die Höhe gedrittelt wurde, beträgt die Querschnittsfläche nur noch ein Neuntel ihrer ursprünglichen Größe. Der Streckfaktor in der Höhe ist nun gerade



Und deshalb mußt du die alte Grundfläche der Pyramide mit multiplizieren.

(Übrigens ist beim Volumen mit zu multiplizieren. Diese Argumentation funktioniert für Pyramiden oder allgemeiner Kegel, nicht für andere Körper.)

Ein alternative Argumentation geht über den Strahlensatz. Wie ich gerade bemerke, schlägt dir WebFritzi das vor.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von elektrotechnik

Woran erkennst du diesen Streckfaktor bzw wie kommst du da drauf?
Das wäre doch wie x sich zu l verhält oder entsteht das durch irgendeine Gleichung?


Das bekommst du, wie WebFritzi schon sagte, mit dem Strahlensatz. In jeder Entfernung x wird von dem quadratischen Querschnitt ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck abgeschnitten, für dessen Hypotenuse c(x) gilt:



Daraus bekommst die Fläche des abgeschnitten Dreiecks und schon hast du die korrekte Beziehung.
elektrotechnik Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich versuch trotzdem mal webfritzis weg:




das ganze sieht für mich jetzt irgendwie wie eine Geradengleichung aus.
was macht man nun?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nun strengt man seinen Grips ein wenig an. Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

In der Zeichnung wird aber nun mal x von unten gemessen. Deshalb muss y(x) bzw. c(x) für x = 0 auch 0 werden.
elektrotechnik Auf diesen Beitrag antworten »

wieso? für x = 0 muss doch y=a sein und mit positiver x richtung für x=l muss 0 rauskommen. stimmt doch so?

das selbe y stück hab ich noch für das seitliche Dreieck aber ich weiss trotzddem net weiter.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Also laut Zeichnung wird bei x = 0 nichts abgeschnitten und bei x = l das halbe Quadrat. Ich habe die Zeichnung nicht gemacht. Natürlich kann man x auch von der anderen Seite aus definieren und dann sieht auch die Formel anders aus.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sollten wir uns einmal verständigen, was eigentlich dieses bedeuten soll. Wenn es die Kathete des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks in der Höhe x ist, dann stimmt doch die Proportion

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es aber nicht. Wir sollten uns an die Vorgaben halten, und y wurde zuerst als die getrichelte Linie auf dem oberen Dreieck definiert. Lasst uns also dabei bleiben.

@elektrotechnik: Versuch doch mal, eine Formel für den Flächeninhalt des Querschnitts zu bestimmen mit allen Variablen, die du hast.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
und y wurde zuerst als die getrichelte Linie auf dem oberen Dreieck definiert


Sorry, aber ich kann das nirgendwo finden. verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Die Länge der gestrichelten Linie auf dem oberen Dreieck bekommst du z.B. durch Anwendung des Strahlensatzes.



Zitat:
Original von elektrotechnik
Versuch
Strahlensatz:

y/a = x/l
y = ax/l


Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Ist es aber nicht. Wir sollten uns an die Vorgaben halten, und y wurde zuerst als die getrichelte Linie auf dem oberen Dreieck definiert. Lasst uns also dabei bleiben.


Okay! Dann ist die Kathete des abgeschnitten Dreiecks a - y. Und damit hat alles wieder seine Ordnung. Es ist nur einfacher, gleich mit dem abgeschnittenen Dreieck zu rechnen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von WebFritzi
Ist es aber nicht. Wir sollten uns an die Vorgaben halten, und y wurde zuerst als die getrichelte Linie auf dem oberen Dreieck definiert. Lasst uns also dabei bleiben.


Okay! Dann ist die Kathete des abgeschnitten Dreiecks a - y. Und damit hat alles wieder seine Ordnung. Es ist nur einfacher, gleich mit dem abgeschnittenen Dreieck zu rechnen.


Ja, aber da kommt man mit Text und Zeichnung so schlecht ran. Augenzwinkern
elektrotechnik Auf diesen Beitrag antworten »



A(x) = a² - fläche von dreieck

Eine Seitenlänge des Dreiecks: a-y


Da rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck folgt für die Dreiecksfläche:


Also insgesamt:

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von WebFritzi
Die Länge der gestrichelten Linie auf dem oberen Dreieck bekommst du z.B. durch Anwendung des Strahlensatzes.



Zitat:
Original von elektrotechnik
Versuch
Strahlensatz:

y/a = x/l
y = ax/l


Augenzwinkern


Aha! Also Gedankenübertragung. WebFritzi spricht's aus, elektrotechnik nimmt ein , und WebFritzi denkt, 's ist seins. Ich bin leider mit diesen -Verfahren noch nicht ganz vertraut.

Unabhängig davon ist es unpraktisch, mit der Hypotenuse des Dreiecks zu arbeiten. Da es ein halbes Quadrat ist, geht doch mit der Kathete alles viel einfacher.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Unabhängig davon ist es unpraktisch, mit der Hypotenuse des Dreiecks zu arbeiten. Da es ein halbes Quadrat ist, geht doch mit der Kathete alles viel einfacher.


Du bestätigst dies jetzt grad als dritter. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von elektrotechnik


A(x) = a² - fläche von dreieck

Eine Seitenlänge des Dreiecks: a-y


Da rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck folgt für die Dreiecksfläche:


Also insgesamt:



Sehr schön. Freude
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und da aller guten Dinge drei sind, paßt doch alles.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh
elektrotechnik Auf diesen Beitrag antworten »

alle 3 zusammen, vielen dank
Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ elektrotechniker

Und jetzt optimiere das. Damit es nicht wieder ein Durcheinander gibt, lege ich fest



Dann gilt:



Und fertig ist's.

Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Unabhängig davon ist es unpraktisch, mit der Hypotenuse des Dreiecks zu arbeiten. Da es ein halbes Quadrat ist, geht doch mit der Kathete alles viel einfacher.


Schon richtig! Da man aber die Kathete in der Zeichnung nicht sieht, habe ich halt die Hypotenuse genommen.

Doch nun hat die Tragikomödie ja ein glückliches Ende genommen.
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