Totale Differenzierbarkeit

28.05.2006, 21:33

vektorraum

Totale Differenzierbarkeit

Hi!

Ich hab gestern in einem Buch nachgelesen wie man totale Differenzierbarkeit im Nullpunkt zeigen kann. Und da hab ich so verschiedene Möglichkeiten gesehen, und bei der einen bin ich nicht so ganz dahinter gestiegen, was die nun gemacht haben.
Also hier mal das Beispiel, und was gemacht wurde:

Sei $\begin{eqnarray*} f(x,y)= \cfrac{x^2y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ für
$\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ und 0 für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$

Der Beweis der totalen Diff'barkeit im Nullpunkt erfolgt über die Definition.
Man berechnet die partiellen Ableitungen im Nullpunkt. Also:
$\begin{eqnarray*} f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 \end{eqnarray*}$

Dann rechnet man nach:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{0}} \cfrac{1}{\left| \vec{x}-\vec{0} \right|} [f(\vec{x})-f(\vec{0})-grad~f(\vec{0}) \cdot (\vec{x}-\vec{0})] = 0 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \cfrac{1}{\left| (x,y) \right|} \left[ \cfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}-0-(0,0) \cdot \begin{pmatrix} x-0 \\ y-0 \end{pmatrix} \right] = 0 \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} \left|(x,y)\right| = \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ (*)

bleibt zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \cfrac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} = 0 \end{eqnarray*}$

So und hier ist der Punkt, wo ich nicht mehr nachvollziehen kann, was die eigentlich gemacht haben...
Warum gilt denn nun eigentlich (*)??? Das stand nirgends da!

Wäre echt nett, wenn mir da jemand helfen könnte Wink

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

29.05.2006, 00:20

Abakus

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RE: Totale Differenzierbarkeit
(*) ist der normale Betrag eines Vektors (Pythagoras).

Grüße Abakus smile

29.05.2006, 09:45

Sunwater

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wenn jetzt einige partielle Ableitungen im Nullpunkt nicht stetig sind, kann dann die totale Ableitung trotzdem existieren?, weil ansonsten kann man doch auch einfach die Stetigkeit der Ableitungen im Nullpunkt untersuchen oder?

29.05.2006, 13:19

vektorraum

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RE: Totale Differenzierbarkeit
Hi!

@abacus: War mir schon klar, dass das der absolute Betrag ist. Meine Frage bezog sich eher darauf, wie die das dann gerechnet haben. Vlt wärst du so nett, dass mir mal hinzuschreiben, weil ich da im Moment ein bisl aufm Schlauch stehe, wie ich die Form

$\begin{eqnarray*} \left| (x,y) \right| \end{eqnarray*}$

zu verstehen habe. Dankeschön!

@sunwater: Ich würde ganz klar sagen, dass deine Aussage falsch ist, dass heißt, wenn eine partielle Ableitung gar nicht existiert, bzw. nicht stetig ist, dann ist die Funktion auch nicht total diff'bar.
Aber die Aussage stimmt, dass es auch einfach reichen würde, die partiellen Ableitungen zu bilden und auf Stetigkeit zu untersuchen!
Aber ich glaube, es ist dann immer noch besser den Beweis über den Grenzwert (also über die Definition) zu führen, weil bei mehr als 2 Variabeln werden es ja so viele partielle Ableitungen Augenzwinkern

29.05.2006, 13:38

Marcyman

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Vorsicht! Ganz großer unterschied zwischen der Existenz der partiellen Ableitung und deren Stetigkeit. Für die total Differenzierbarkeit einer Funktion heißt das:

Falls alle partiellen Ableitungen in einem Punkt existieren und stetig sind, ist die gegebene Funktion dort auch stetig total differenzierbar.

Falls eine partielle Ableitung in einem Punkt nicht existiert, ist die gegebene Funktion dort nicht total differenzierbar.

Jetzt kommt die Gemeinheit:

Falls alle partiellen Ableitungen in einem Punkt existieren und eine nicht stetig sein sollte, so kann man leider daraus nichts über die Differenzierbarkeit in diesem Punkt schließen. Dann muss der Fußweg eingeschlagen werden, d.h. Differenzialquotient betrachten.

Ein Beispiel für den Fall, dass alle part. Ableitungen in einem Punkt existieren, nicht stetig sind und die Funktion trotzdem total differenzierbar ist, ist:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x^2+y^2)\sin[(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}] \end{eqnarray*}$

wobei f(x,y) := 0 für (x,y)=(0,0) definiert wird.

29.05.2006, 13:45

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Kommen wir auf vektorraums Frage zurück, wie man den Grenzwert nachweist: Am einfachsten über die Einschachtelung $\begin{eqnarray*} 0\leq x^2y^2\leq \left( \frac{x^2+y^2}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$ , sieht man über AMGM oder auch direkt durch AUsmultiplizieren. Dann folgt nämlich sofort

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\leq \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{4} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt sollte der Grenzwert kein Problem mehr sein.

29.05.2006, 15:21

Sunwater

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Zitat:

Original von Marcyman

Jetzt kommt die Gemeinheit:

Falls alle partiellen Ableitungen in einem Punkt existieren und eine nicht stetig sein sollte, so kann man leider daraus nichts über die Differenzierbarkeit in diesem Punkt schließen. Dann muss der Fußweg eingeschlagen werden, d.h. Differenzialquotient betrachten.

Ein Beispiel für den Fall, dass alle part. Ableitungen in einem Punkt existieren, nicht stetig sind und die Funktion trotzdem total differenzierbar ist, ist:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x^2+y^2)\sin[(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}] \end{eqnarray*}$

wobei f(x,y) := 0 für (x,y)=(0,0) definiert wird.

Genau das meinte ich - gut das zu wissen... - und rein zufällig ist das wirklich eine unsere Aufgaben Augenzwinkern

29.05.2006, 15:24

Sunwater

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RE: Totale Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von vektorraum

bleibt zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \cfrac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} = 0 \end{eqnarray*}$

So und hier ist der Punkt, wo ich nicht mehr nachvollziehen kann, was die eigentlich gemacht haben...
Warum gilt denn nun eigentlich (*)??? Das stand nirgends da!

Wäre echt nett, wenn mir da jemand helfen könnte Wink

wenn du nur den Grenzwert bestimmen willst:

setze $\begin{eqnarray*} x = r * \cos \phi , y = r * \sin \phi \end{eqnarray*}$

und damit ist $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ und wenn du jetzt r gegen Null laufen lässt, geht der Punkt auch Richtung Null... - das wäre dann dein Grenzwert

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