Länge eines Kurvenbogens

30.08.2008, 09:53

Felix

Länge eines Kurvenbogens

Ich soll die Länge der Schleife der Kurve: 9y² = (x+1)² (x+4).

Was ist den die Schleife einer Kurve, welche Grenzen soll ich wählen?

lg smile

30.08.2008, 09:57

riwe

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RE: Länge eines Kurvenbogens
schleife

30.08.2008, 10:08

Mathespezialschüler

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Du könntest die Länge des oberen Teils der Schleife berechnen und müsstest diese dann nur noch verdoppeln. Kennst du die Formel zur Berechnung der Weglänge?

30.08.2008, 10:12

Felix

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Ok danke

Im konkreten Fall liegt die Schlaufe im Intervall [-1;-4]. Stimmt das ?

Edit @ spezialschüler

Jaja Formel ist kein Problem wusste nur nicht was eine Schlaufe sein soll Ups

30.08.2008, 10:21

riwe

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Zitat:

Original von Felix
Ok danke Freude

Im konkreten Fall liegt die Schlaufe im Intervall [-1;-4]. Stimmt das ?

Edit @ spezialschüler

Jaja Formel ist kein Problem wusste nur nicht was eine Schlaufe sein soll Ups

ja das intervall ist korrekt.
ich bekomme
$\begin{eqnarray*} l=4\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ verwirrt

30.08.2008, 10:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Felix
Im konkreten Fall liegt die Schlaufe im Intervall [-1;-4]. Stimmt das ?

Nein, es ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [-4,-1] \end{eqnarray*}$ !

30.08.2008, 10:39

Felix

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Wie hast du denn abgeleitet ?
Wenn ich mich nicht irre dann ist f´ bei -4 nämlich nicht definiert unglücklich

lg

Edit :

Du meinst wegen der Reihenfolge ?

30.08.2008, 10:45

riwe

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Felix
Im konkreten Fall liegt die Schlaufe im Intervall [-1;-4]. Stimmt das ?

Nein, es ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [-4,-1] \end{eqnarray*}$ !

das nenne ich bosheit, aber du hast schon recht

also genau genommen verwirrt

]-4,-1]

(schreibt man das so verwirrt

die ableitung ist ist für $\begin{eqnarray*} x\leq -4 \end{eqnarray*}$ nicht definiert, oder verwirrt

30.08.2008, 11:42

Felix

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Zitat:

Original von riwe

die ableitung ist ist für $\begin{eqnarray*} x\leq -4 \end{eqnarray*}$ nicht definiert, oder verwirrt

ja genau. Also falls ich keinen Fehler beim Ableiten gemacht habe (was ich nicht glaube)

Die Schlaufe befindet sich allerdings dennoch im Intervall [-4;-1]. Der Punkt P(-4/0) gehört ja eindeutig noch dazu.
Dann sollte eigentlich folgen, dass man die Länge des Bogens nicht bestimmen kann.
Irgendwie kommt mir das komisch vor, ich glaube schon das man bei diesem Beispiel zu einem Ergebnis kommen sollte. verwirrt

So habe ich abgeleitet :

$\begin{eqnarray*} y = \frac{(x + 1) \cdot \sqrt{x + 4}}{3} \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{(x + 1) + \sqrt{x + 4}}{6\sqrt{x + 4}} \end{eqnarray*}$ #

Hier kann man schon sehen, dass f' bei x = -4 nicht definiert ist unglücklich

30.08.2008, 12:20

riwe

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bei mir kommt raus
$\begin{eqnarray*} y^\prime=\frac{x+3}{2\sqrt{x+4}} \end{eqnarray*}$

und als amateur würde ich vermuten:

betrachte $\begin{eqnarray*} \lim_{\epsilon \to 0} f(-4+\epsilon) \end{eqnarray*}$

und als praktischer amateur: schau dir das problem nach der integration an.

oder löse es nicht unglücklich

30.08.2008, 13:11

Felix

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Wie hast du denn abgeleitet ???

30.08.2008, 14:00

riwe

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Zitat:

Original von Felix
Wie hast du denn abgeleitet ???

(hoffentlich) richtig verwirrt

$\begin{eqnarray*} 18yy^\prime=2(x+1)(x+4)+(x+1)^2=(x+1)(3x+9)=3(x+1)(x+3) \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} y^\prime=\frac{(x+1)(x+3)}{6y}=\frac{x+3}{2\sqrt{x+4}} \end{eqnarray*}$

30.08.2008, 14:42

Felix

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Deine Ableitung stimmt, ich habe einen Fehler bei der Produktregel gemacht ...

Wenn irgend jemand die Zeit finden würde mir dieses Beispiel vorzurechnen wäre ich unglaublich dankbar (habe noch einige andere Beispiele mit der selben Problematik unglücklich

).

2 Sachen irritieren mich :

a) das f' anscheinend nicht stetig ist

b) es ist extrem kompliziert das unbestimmte Integral zu bestimmen (viel schwieriger als alle Übungsaufgaben zu unbestimmten Integralen im selben Buch unglücklich

)

lg

30.08.2008, 15:04

riwe

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zu 1) will ich mich nicht auslassen.
zu 2) so kompliziert auch wieder nicht

$\begin{eqnarray*} I=\int_{}^{}~\sqrt{1+f^\prime(x)^2}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=\int_{}^{}~\frac{x+5}{2\sqrt{x+4}}~dx =\frac{1}{3}(x+7)\sqrt{x+4} \end{eqnarray*}$

wohin am einfachsten die substituition $\begin{eqnarray*} u = x+4 \end{eqnarray*}$ und aufspalten des integranden führt

30.08.2008, 15:12

Felix

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Ich hab vergessen f' zu quadrieren Hammer

Edit :

Wenn ich integriere erhalte ich $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Die Länge der Schleife wäre demnach also $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

30.08.2008, 15:44

Leopold

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Dieses Phänomen hast du immer, wenn eine Kurve senkrechte Tangenten hat (betrachte die Stelle $\begin{eqnarray*} x=-4 \end{eqnarray*}$ deiner Zeichnung). Ich finde es erst einmal gut, daß du stutzig wirst, denn die meisten hätten das einfach durchgerechnet, ohne auch nur einen Gedanken an die Zulässigkeit ihrer Rechnung zu verschwenden. Wenn man ohne weiter nachzudenken stur rechnet (natürlich fehlerfrei rechnet), fällt das Problem überhaupt nicht auf, denn die Stammfunktion (siehe Werners Ergebnis) ist bei $\begin{eqnarray*} x=-4 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar, obwohl der Integrand bei $\begin{eqnarray*} x=-4 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Wenn du es ganz genau haben willst, dann befolge Werners Vorschlag und berechne für ein genügend kleines $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{-4 + \varepsilon}^{-1} \ldots \end{eqnarray*}$

Das Kurvenstück, das jetzt noch fehlt, ist winzig und verschwindet für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \to 0 \end{eqnarray*}$ . Im Limes erhältst du dann auch nichts anderes, als wenn du gleich die "verbotene" -4 einsetzt (eben wegen der stetigen Fortsetzbarkeit der Stammfunktion).

In der Praxis taucht dieses Problem oft auf, z.B. bei vielen Integralsubstitutionen (den wenigsten fällt das aber auf, da kannst du fast jeden zweiten Strang hier nehmen, in dem irgendjemand eine Substitution empfiehlt). Wenn man sich einmal klar gemacht hat, wie das Ganze funktioniert, darf man von da ab den schnellen Weg nehmen, wissend, daß dieser von der Logik her nicht ganz einwandfrei ist, aber man jederzeit in der Lage wäre, die Rechnung richtig hinzuschreiben.

Etwas anderes: Während du bei dieser Definitionslücke sehr pingelig warst, bist du an anderer Stelle großzügig über etwas hinweggegangen, nämlich bei

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+1)^2} = x+1 \end{eqnarray*}$

Bist du dir darüber im klaren, daß du mit dieser Wahl des Vorzeichens die Länge des unteren Teils der Schlaufe berechnest? Ist natürlich nicht weiter schlimm, denn die Schlaufe liegt symmetrisch zur x-Achse. Aber so etwas kann in anderen Fällen böse enden ...

30.08.2008, 15:59

Felix

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Vielen Dank für diese ausführliche Antwort Freude

Zitat:

Original von Leopold

Etwas anderes: Während du bei dieser Definitionslücke sehr pingelig warst, bist du an anderer Stelle großzügig über etwas hinweggegangen, nämlich bei

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+1)^2} = x+1 \end{eqnarray*}$

Bist du dir darüber im klaren, daß du mit dieser Wahl des Vorzeichens die Länge des unteren Teils der Schlaufe berechnest? Ist natürlich nicht weiter schlimm, denn die Schlaufe liegt symmetrisch zur x-Achse. Aber so etwas kann in anderen Fällen böse enden ...

Um ehrlich zu sein ist mir das nicht aufgefallen. Allerdings hatte ich schon ein ungutes Gefühl einfach so die Wurzel zu ziehen. Nebenbei hab ich mich auch gefragt wie ich wohl die Länge des oberenTeils der Kurve bestimmen könnte. Naja wie es scheint ast du meine Fragen erahnt. Big Laugh

Auch dafür nochmal danke Freude

30.08.2008, 22:10

riwe

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Zitat:

Original von Felix
Ich hab vergessen f' zu quadrieren Hammer

Edit :

Wenn ich integriere erhalte ich $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Die Länge der Schleife wäre demnach also $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

siehe meinen beitrag nr. 02 unglücklich

31.08.2008, 10:32

Felix

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Hab ich vergessen ...

Danke auch dir für die Hilfe Freude

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