Guldinsche Regel

30.08.2008, 15:21

Felix

Guldinsche Regel

Ich soll beweisen, dass der Rauminhalt des Drehkörpers der entsteht wenn ein Flächenstück um eine Achse rotiert welche die Fläche nicht schneidet gleich dem Produkt aus Flächeninhalt und dem Weg den der Schwerpunkt zurücklegt ist.

Wie gehe ich das an ?

lg

30.08.2008, 15:44

cst

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RE: Guldinsche Regel
Hi,

das ist halb so wild:

Stell einen Term für "Weg des Schwerpunktes mal Flächeninhalt" auf, setz die Formel für die Schwerpunktkoordinate ein, dann steht schon fast die Volumenformel da. Es ist ja $\begin{eqnarray*} \iint_A \ldots~ \dd A = \int_{\cdots}^{\cdots} \int_{\cdots}^{\cdots} \ldots ~\dd y ~\dd x \end{eqnarray*}$ .

lg
cst

30.08.2008, 15:54

Felix

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Ja ich hab schon in die Richtung gedacht nämlich :

$\begin{eqnarray*} ( \frac{1}{2} \cdot \frac{\int_{b}^{a}~y²~dx}{\int_{b}^{a}~y~dx} ) \cdot A \end{eqnarray*}$

Dass ich die Schwerpunktkoordinate benutz so wie du vorgeschlagen hast geht ja in Ordnung weil, ich den Beweis ja auch mit der x Achse führen kann verwirrt

Welche Volumsformel sollte denn jetzt dastehen ? Meinst du :

$\begin{eqnarray*} V = \pi * \int_{a}^{b}~((u(x))² - ((v(x))²)~dx \end{eqnarray*}$ verwirrt

30.08.2008, 16:18

cst

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Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} ( \frac{1}{2} \cdot \frac{\int_{b}^{a}~y²~dx}{\int_{b}^{a}~y~dx} ) \cdot A \end{eqnarray*}$

lg

Fast genauso, nur fehlt da noch das $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ( U = 2*pi*r). Und der Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} \int_a^b y~\dd x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ja auch klar, oder Augenzwinkern

?

Das Volumen eines rotierenden Graphen ohne Nullstellen ist doch einfach
$\begin{eqnarray*} V = \pi * \int_{a}^{b}~y(x)²~\dd x \end{eqnarray*}$

Wink

cst

30.08.2008, 16:37

Felix

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Ok ich sehe jetzt denn Zusammenhang, aber was :

$\begin{eqnarray*} V = \pi * \int_{a}^{b}~y(x)²~\dd x \end{eqnarray*}$

damit zu tun hat verstehe ich nicht. Es geht ja um ein rotierendes Flächenstück, das einen Drehkörper mit Ringfigur "hat". unglücklich

30.08.2008, 18:07

cst

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Okay, ich dachte erst, nur der Graph würde rotieren (im Bild links). Jetzt verstehe ich, dass eine Fläche rotieren soll (Bild rechts). Das macht aber nix. Die Formel für den Schwerpunkt ist dann eben nicht
$\begin{eqnarray*} y_S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\int_{b}^{a}~y²~dx}{\int_{b}^{a}~y~dx} \end{eqnarray*}$ , sondern du musst von

$\begin{eqnarray*} y_S = \frac 1 A \iint_A y~ \dd A = \frac 1 A\int_{\cdots}^{\cdots} \int_{\cdots}^{\cdots} y ~\dd y ~\dd x \end{eqnarray*}$ ausgehen. Wenn du überlegst, was man für die Pünktchen einsetzen muss, kommt man direkt auf die von dir angegebene Volumenformel mit dem u und v bzw. f und g.

Ok?
cst

30.08.2008, 19:42

Felix

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$\begin{eqnarray*} y_S = \frac 1 A \iint_A y~ \dd A = \frac 1 A\int_{\cdots}^{\cdots} \int_{\cdots}^{\cdots} y ~\dd y ~\dd x \end{eqnarray*}$

Das sagt mir leider gar nichts unglücklich

Mal abgesehen davon, dass ich die Formel nicht kenne, wenn ich nach A integrieren will muss ich ja y in Abhängikeit von A kennen. Und was bedeutet die Untergrenze A ???

lg

30.08.2008, 21:30

WebFritzi

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Eigentlich besteht die Aufgabe darin, die Transformationsformel anzuwenden. Wir stellen und vor, dass die Fläche A oberhalb der x-Achse liegt. Der Schwerpunkt sei $\begin{eqnarray*} (x_s,y_s)^T. \end{eqnarray*}$ Dabei ist

$\begin{eqnarray*} x_s = \frac{1}{|A|}\int_A x\,d(x,y), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_s = \frac{1}{|A|}\int_A y\,d(x,y). \end{eqnarray*}$

Der Weg, den der Schwerpunkt bei der Rotation zurücklegt ist offensichtlich

$\begin{eqnarray*} 2\pi y_s. \end{eqnarray*}$

Sei V der Drehkörper. Zu zeigen ist also

$\begin{eqnarray*} \lambda_3(V) = 2|A|\pi y_s. \end{eqnarray*}$

Dabei sei $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ das 3-dimensionale Lebesgue-Maß. Der Drehkörper kann parametrisiert werden: Es sei

$\begin{eqnarray*} \phi(x,y,t) := (x,y\cos t, y\sin t)^T \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x,y)\in A,\,t\in[0,2\pi). \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} V = \left\{ \phi(x,y,t) : (x,y,t)\in A\times[0,2\pi) \right\}. \end{eqnarray*}$

Es ist also

$\begin{eqnarray*} \lambda_3(V) = \int_V d(x,y,z) = \int_{\phi(A\times [0,2\pi))}\,d(x,y,z). \end{eqnarray*}$

Transformationsformel:

$\begin{eqnarray*} \lambda_3(V) = \int_{A\times[0,2\pi)} |\text{det}\phi'(x,y,t)|\,d(x,y,t). \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du dran.

31.08.2008, 12:58

Felix

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Ich glaube nicht, dass die Aufgabe darin besteht.

Also um meine Situation genauer wiederzugeben :
Im Rahmen des Kapitels Integralrechnung in meinem Mathebuch der 8. (12.) Klasse wird die Guldinsche Regel vorgestellt.
Vorwissen ist folgendes :

Schwerpunkt eines Flächeninhalts bestimmen.
Diese Formel wurde für die y_ Koordinate verwendet :

$\begin{eqnarray*} y_s = \frac{\int_{b}^{a}~y²~dx }{2\int_{b}^{a}~y~dx } \end{eqnarray*}$

Rauminhalt eines durch 2 Funktionen gebenen Flächenstücks um die x - Achse (das Flächenstück schneidet sie nicht)

Formel : $\begin{eqnarray*} V = \pi * \int_{a}^{b}~((u(x))² - ((v(x))²)~dx \end{eqnarray*}$

Von der Transformationsformel habe ich noch nicht gehört auch nicht von dem Lebesgue - Maß.

lg

31.08.2008, 18:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von Felix
eines durch 2 Funktionen gebenen Flächenstücks um die x - Achse (das Flächenstück schneidet sie nicht)

Wie schön, dass du jetzt erst sagst, dass das Flächenstück von 2 Funktionen begrenzt wird... unglücklich

31.08.2008, 18:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von Felix
Schwerpunkt eines Flächeninhalts bestimmen.
Diese Formel wurde für die y_ Koordinate verwendet :

$\begin{eqnarray*} y_s = \frac{\int_{b}^{a}~y²~dx }{2\int_{b}^{a}~y~dx } \end{eqnarray*}$

Was ist denn das y im Integranten? verwirrt

01.09.2008, 08:43

Huggy

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Zitat:

Original von Felix
Ich glaube nicht, dass die Aufgabe darin besteht.

Also um meine Situation genauer wiederzugeben :
Im Rahmen des Kapitels Integralrechnung in meinem Mathebuch der 8. (12.) Klasse wird die Guldinsche Regel vorgestellt.
Vorwissen ist folgendes :

Schwerpunkt eines Flächeninhalts bestimmen.
Diese Formel wurde für die y_ Koordinate verwendet :

$\begin{eqnarray*} y_s = \frac{\int_{b}^{a}~y²~dx }{2\int_{b}^{a}~y~dx } \end{eqnarray*}$

Rauminhalt eines durch 2 Funktionen gebenen Flächenstücks um die x - Achse (das Flächenstück schneidet sie nicht)

Formel : $\begin{eqnarray*} V = \pi * \int_{a}^{b}~((u(x))² - ((v(x))²)~dx \end{eqnarray*}$

Von der Transformationsformel habe ich noch nicht gehört auch nicht von dem Lebesgue - Maß.

lg

Ist das Thema für dich noch aktuell?

Mir scheint, dein Problem besteht im Verständnid der Formel für den Schwerpunkt. Dazu folgende Frage:
Wo versteckt sich denn in dieser Formel die Information über die Berandung der Fläche? Ohne das zu wissen, kannst du nicht weiter kommen.

01.09.2008, 18:24

Felix

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Da bin ich wieder Wink

Habe mir das Problem nochmal angesehen und Huggy hat mit seiner Vermutung recht, ich bin nur von der Formel des Schwerpunktes für eine von der x Achse begrentzen Fläche ausgegangen.

Hat sich jetzt geklärt smile

Ich danke allen die sich hier so engagiert bemüht haben mir zu helfen Freude

01.09.2008, 18:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von Felix
ich bin nur von der Formel des Schwerpunktes für eine von der x Achse begrentzen Fläche ausgegangen.

Richtig. Die "Auflösung" geht wie folgt: Sei $\begin{eqnarray*} u(x)\le v(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\le x \le b. \end{eqnarray*}$ Für die y-Koordinate des Schwerpunktes gilt dann

$\begin{eqnarray*} y_s = \frac{\int_a^b [v(x)^2 - u(x)^2]\,dx}{2\int_a^b [v(x) - u(x)]\,dx}. \end{eqnarray*}$

Man kann dafür auch schreiben

$\begin{eqnarray*} y_s = \frac{\int_a^b [v(x)^2 - u(x)^2]\,dx}{2A}. \end{eqnarray*}$

Dabei sei A der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche. Für das Volumen V des Rotationskörpers gilt (nach Formel von Felix)

$\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot \int_a^b [v(x)^2 - u(x)^2]\,dx. \end{eqnarray*}$

Das Integral findet sich in der obigen Formel für $\begin{eqnarray*} y_s \end{eqnarray*}$ wieder. Wir lösen diese Formel nach dem Integral auf:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b [v(x)^2 - u(x)^2]\,dx = 2Ay_s. \end{eqnarray*}$

Also folgt

$\begin{eqnarray*} V = 2\pi Ay_s, \end{eqnarray*}$

was zu zeigen war.

EDIT: Die Guldinsche Regel gilt übrigens auch für allgemeinere Flächen - nicht nur für solche, die von zwei zur y-Achse parallelen Geraden und der Graphen zweier Funktionen eingeschlossen sind. Um dies zu beweisen, folge man dem Weg, den ich in meinem ersten Beitrag eingeschlagen hatte.

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