Kurve des Höhenschnittpunkts

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29.05.2006, 13:28	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurve des Höhenschnittpunkts Aufgabe: Gegeben ist das Ausgangsdreieck [A;B;C]. Anfangs gilt C = C0. Wenn sich die Ecke C des Dreiecks [A;B;C] auf einer Kurve k1 bewegt, dann bewegt sich der Schittpunkt H der Höhen des Dreiecks auf einer Kurve k2. Fur k1 werden nach einander die Parallele p(C0;AB) bzw. der Umkreis k(A;B;C0) gewählt. Bestimmen Sie die Kurven k2. Soweit bin ich gekommen: Bei derm ersten Teil ergibt sich eine Parabel beim 2. Teil ein Kreis, Skizzen siehe unten. Wie kann ich aber jetzt die Parabel bzw den Kreis genau bestimmen? Ein Tip war: der Ursprung des Koordinatensystems auf den ersten Schnittpunkt der Höhen legen (Hochpunkt der Parabel).
29.05.2006, 14:16	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
meine erste lösungsidee zu der Prabel. Ich lege das koordiantensystem mit dme Ursprung auf den Hochpunkt der Parabel und die y-Achse liegt auf hc dann folgt ja das A,B die gleichen y-Werte habne und die betragsgleicehn x-Werte (1/2 AB) oder? also habe ich dann 3 Punkte A (-0,5 AB / -y) B ( 0,5 AB / -y ) geändert, war verdreht Hs ( 0 / 0) aus diesen Punkten berechne ich dann die Parabel. ist die Aufgabe so zu verstehen bzw versteht ihr die auch so?? Wie geht das mit einem Kreis?? Was ist die Funktion für einen Kreis oder gibt es da eine andere Überlegung? (vielleicht was mit dem Absandt von C und Hs?)
29.05.2006, 16:57	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
die guten, alten geometrischen "örtlichkeiten" mit der länge der seite AB = 2a und A(-a/0), B(a/0) und $\begin{eqnarray} C(\xi/c) \end{eqnarray}$ hast du: $\begin{eqnarray} h_a: y = \frac{a-\xi}{c}(x+a) \end{eqnarray}$ geschnitten mit der höhe auf C: $\begin{eqnarray} y-\frac{a^{2}}{c}=-\frac{1}{c}\xi^{2} \end{eqnarray}$ und wenn du nun noch substituierst $\begin{eqnarray} \eta=y-\frac{a^{2}}{c} \end{eqnarray}$ , hast du die hübsche parabel durch O: $\begin{eqnarray} \eta=-\frac{1}{c}\xi^{2} \end{eqnarray}$ werner
29.05.2006, 17:30	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
ist doch eigentlich das gleiche wie ich machen wollte nur liegt bie dir der ursprung nicht auf dem scheitel der parabel oder? ich hab raus: allgemeine form: $\begin{eqnarray} (x) = ax^2+bx+c \end{eqnarray}$ A ( -0,5 AB / -y) B ( - 0,5 AB / -y) Hs ( 0 / 0) --> c=0 A,B müssen auf der Parabel liegen, da bei rechtwinkligen Dreiecken die Höhenschnittpunkte auf den Eckpunkten liegen. aus dem Glecihungsystem folgt dann $\begin{eqnarray} f(x) = (-4 y / AB^2) x^2 \end{eqnarray}$ stimmt doch auch oder? (bei Proberechnung immer mind. bis zur 3.Kommastelle gleich) kann deine lösung leider nicht ganz nachvollziehen: du setzt A(-a/0) B(a/0) ist ja ähnlich wie bei mir, nur die achse verschoben oder? Aber warum braucsht du den Punkt C dieser liegt doch nicht auf der Parabel. Ok deine Lösung ist möglich ohne die Koordinaten von Hs zu kennen. Oder berechnest du aus C und A deren Höhenschnittpunkt Hs und dann ist das das gleiche wie bei mir? falls ja wie berechne ich eine Höhe bzw woher kommt deine Formel für ha und woher die höhe hc. der erste teil von der Formel für ha: ist ja nicht die Steigung, du dividierst da ja einen x- durch einen y-Wert und woher kommt der Faktor in der Klammer. glaub ich steh auf dem schlauch was ist mit dem Kreis?
29.05.2006, 18:28	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
na das solltest du schon sehen! wen ich x,y statt $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ schreibe, steht ja da: $\begin{eqnarray} y=-\frac{1}{c}x^{2} \end{eqnarray}$ und wenn das nicht durch O(0/0) geht werner zu deinen darlegungen: überdenke doch einmal deine formeln und deren FORM! wohin ist denn nun die konstante c= k1, auf der ja der punkt C laufen soll, hinverschwunden? wenn ich das recht verstehe, versuchst du das umgekehrte zu zeigen, also wenn H der höhenschnittpunkt eines dreiecks mit basis AB ist, läuft C auf einer parallelen zu AB, das mag ok sein, aber irgendwo muß diese konstante k1 ja sein!
29.05.2006, 18:35	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
also das die Kurve k1 bei mir fehlt stimmt. Bei dir ist die gegeben durch das c bzw der Abstand von der Kurve zur Grundseite wenn die X-Achse des Koordiantensystems durch A und B geht. Aber was ich immernoch nicht versteh ist wie du auf die Höhen kommst. Ok die Formel für ha hast du angegeben, aber woher kommt die, ich kann die leider wirklcih nicht nachvollziehn!!! Die Formel für hc sieht vermutlich ähnlich aus und beim Gleichsetzen kommt das raus was du angegeben hast, soweit so gut. Aber woher weis ich dann wie und wo ich substituieren muss? und deine skizze müsste doch so aussehn odeR? da liegt der Punkt doch nicht um Ursprung, an der Gleichugn ists kalr aber am bild!! steh ich soooo sehr auf dem schlauch?
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29.05.2006, 19:27	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} h_a \end{eqnarray}$ steht senkrecht auf BC und geht durch A, daraus ergibt sich das ganze. $\begin{eqnarray} h_c \end{eqnarray}$ braucht man ja nicht (gott sei dank, steigung unendlich), bzw. nur insoferne, als durch die wahl des koordinaatensystems ja festgelegt ist, dass der höhenschnittpunkt H immer dieselbe koordinate hat wie C, bzw. umgekehrt zum kreis: aber vorher solltest du das obige echt durchschauen! A(-a/b), B(a/-b). $\begin{eqnarray} r=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{eqnarray}$ , und daher C auf dem kreis K(0/0/r) mit C( $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ /c), x- koordinate dieselbe wie (der gesuchte geometrisch ort) H( $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ / $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ ). wieder wie oben, da senkrecht $\begin{eqnarray} \frac{a-\xi}{c+b}=\frac{\eta+b}{\xi+a}\Rightarrow c=\eta+2b \end{eqnarray}$ das nun in die kreisgleichung für den punkt C einsetzen, ergibt $\begin{eqnarray} \xi^{2}+(\eta+2b)^{2}=a^{2}+b^{2} \end{eqnarray}$ was ja bekanntlich ein kreis ist. werner und bilderl habe ich auch
29.05.2006, 19:44	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
auf das mit dem senkrechtstehen bin ich gerade auch selbst gekommen, aber hänge bei der subst. bzw warum bringst du a²/c nach links? was hat das für einen vorteil? Habe versucht dne Höhenschnittpunkt, der ist doch dann: $\begin{eqnarray} H ( \xi / (a^2/\xi c) - (1/c)) \end{eqnarray*}$ ind ie Parabelgleichugn der form f(x) = a x² einzusetzen und damit auf die gleichung zu gelangen aber ohne erfolg. oder hab ich mich verrechnet? Der Schnitt der Höhen ist ja einfach in ha den X Wert von C einsetzen.
29.05.2006, 20:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sollte irgendwann auch mal erwähnen, dass es Parabel und nicht Parabell heisst ... mY+
29.05.2006, 22:15	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
upps! Da könntest du Recht haben!!! Kann mir aber bitte noch jemand den Schritt erklären, warum ich dann, wenn ich die Höhen gleichgesetzt habe das a²/c nach links bringe bzw. von y abziehe und wie ich dann auf die parabel komme?
29.05.2006, 22:22	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
@hallo mythos, das ist nach dem grammatikalischen stress/streß/streßß in letzter zeit geradezu erholsam: mase , masse , maße usw. parabel(lum) ist wahrscheinlich eine analogie zu dem schießgerät?! @orrny: wenn du eh selbst auf alles draufkommst, umso besser. das freut mich wirklich sehr, bedeutet es doch AUCH, dass ich mir hinreichend mühe gegeben habe, meine gedanken (?) sauber inclusive korrekten gebrauchs des formeleditors darzulegen. ich lese mein geschreibsel sogar möglichst genau durch, bevor ich es poste. leider kann ich selbiges nicht von dir sagen! auch in deinem letzten beitrag verstehe ich NIX. also bringe ihn zunächst in eine form, die es möglich macht zu verstehen, was du meinst! werner
29.05.2006, 23:08	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
naja ich dachte es ist verständlich, naja wenn man weis was gemeint ist, wenn nicht geb ich dir recht ists doof geschreiben! tut mir leid! werde auch versuchen den Formeleditor richtig zu nutzen Das mit dem selber drauf kommen, ja das liegt auch daran, das du dir mühe gibst es verständlich zu erklären. Und unter selbst drauf gekommen meine ich auch das ich es nachvollziehen kann! also nochmal der versuch zur aufgabe: bin jetzt so weit gekommen, das ich die höhe ha ausgerechnet und verstanden habe woher alles kommt. Mein nächster Schritt war das ich den X-Wert von Punkt C also $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ in die Funktion von ha eingesetz habe und bin dann auf folgendes gekommen: $\begin{eqnarray} y = \frac{-\xi^2}{c} + \frac{a^2}{c} \end{eqnarray}$ .Gilt diese Gleichung dann wenn ich den Parabelscheitel nicht um Ursprung habe? jetzt war mein Schluss das der Schnittpunkt der Höhen $\begin{eqnarray} Hs ( \xi \| \frac{-\xi^2}{c} + \frac{a^2}{c}) \end{eqnarray}$ ist. Diesen Punkt habe ich in eine Parabelgleichung der Form: y=ax² eingesetzt und komme dann auf die Funktion über die Steigung s die sicher egibt als $\begin{eqnarray} s = ( \frac{-1}{c} + \frac{a^2}{c\xi^2} ) \end{eqnarray}$ . auf: $\begin{eqnarray} f(\xi) = ( \frac{-1}{c} * \xi^2 + \frac{a^2}{c} ) \end{eqnarray}$ . edit könnte ich hier jetzt annehmen, da der Schneitel der Parabel im Ursprung liegen soll das die Verscheibung $\begin{eqnarray} \frac{a^2}{c} =0 \end{eqnarray}$ ist und damit das gleich folgt wie du hast also: $\begin{eqnarray} f(\xi) = \frac{-1}{c} * \xi^2 \end{eqnarray}$ dann muss auch gelten: $\begin{eqnarray} A'(-a / -\frac{a^2}{c} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B'(a / -\frac{a^2}{c} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C'(\xi / c-\frac{a^2}{c} ) \end{eqnarray}$ Weil A,B liegen nun nichtmehr auf der X-Achse falls nicht: Warum machst du diesen Schritt bzw. was ist der Grund für diesen Schritt warum/wie ist dann zu substituieren? Dann ist auch A,B zu aendern, da diese nun nichtmehr auf der X-Achse liegen oder? Stimmt dann c ueberhaupt noch als Abstand von der Parallelen zu AB oder ist das dann der Betrag von c oder ist das egal? $\begin{eqnarray} y = ( \frac{1}{c} + \frac{a^2}{c\xi^2} )x^2 \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} y - \frac{a^2}{c} = \frac{-\xi^2}{c} \end{eqnarray}$ damit du/man auf die Funktion $\begin{eqnarray} f(\xi) = \frac{-1}{c} * \xi^2 \end{eqnarray*}$ kommst. Hoff nun verständlich hab mein bestes gegeben! UND DANKE FÜR DIE HILFE, AUCH WENN NICHT IMMER KLAR IST WAS ICH WILL!!!!
29.05.2006, 23:15	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
heute ist es mir schon zu spät, melde mich dann nach dem schlaf werner
29.05.2006, 23:20	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
danke im Vorraus! Was ich sagen wollte, habe oben nochmal etwas editiert hatte kurz vorm schlafengehn noch eine idee! gehe jetzt aber auch mal....
30.05.2006, 10:30	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
guten morgen, und sozusagen als wiedergutmachung für meine gestrige schelte: 1) du sollst die eigenschaften - als ich zur schule ging vor ewigkeiten hieß dies "geometrischer ort" - des höhenschnittpunktes H untersuchen. daher geben wir H die koordinaten $\begin{eqnarray} H(\xi/\eta) \end{eqnarray}$ . 2) zunächst legen wir die koordinaten des dreiecks wie folgt fest: die seite AB liege parallel zur x-achse. $\begin{eqnarray} A(-a/-b) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B(a/-b) \end{eqnarray}$ und da sich C immer senkrecht über H befindet $\begin{eqnarray} C(\xi/y_c) \end{eqnarray}$ . und erstellen nun die höhe $\begin{eqnarray} h_a \end{eqnarray}$ , über $\begin{eqnarray} h_c \end{eqnarray}$ haben wir ja schon durch die koordinatenwahl verfügt. $\begin{eqnarray} m_{CB}=\frac{y_c+b}{\xi -a}\Rightarrow m_{h_a}=\frac{a-\xi}{y_c+b} \end{eqnarray}$ damit können wir die gleichung der höhe $\begin{eqnarray} h_a \end{eqnarray}$ aufstellen: $\begin{eqnarray} y+b=\frac{a-\xi}{y_c+b}(x+a) \end{eqnarray}$ 3) C bewege sich auf einer parallelen zu AB, d.h. $\begin{eqnarray} y_c=c \end{eqnarray}$ da H auf $\begin{eqnarray} h_a \end{eqnarray}$ liegt,wir setzen also einfach die koordinaten von H in die geradengleichung ein unter berücksichtigung von $\begin{eqnarray} y_c=c \end{eqnarray}$ und erhalten daraus $\begin{eqnarray} \eta=-\frac{1}{c+b}\xi^{2}+\frac{a^{2}-b^{2}-cb}{c+b} \end{eqnarray}$ auf dieser kurve - parabel - bewegt sich der punkt H. a und c sind ja festgelegt durch das dreieck, aber über b kann man frei verfügen. mit $\begin{eqnarray} b=-\frac{c}{2}+\sqrt{\frac{c^{2}}{4}+a^{2}} \end{eqnarray}$ erreichst du, dass der letzte ausdruck verschwindet, und du hast $\begin{eqnarray} \eta =-\frac{1}{c+b}\xi^{2} \end{eqnarray}$ 4) C bewege sich auf dem umkreis. wir wählen die koordinaten wieder wie oben, wobei allerdings $\begin{eqnarray} H(\xi/y_c) \end{eqnarray}$ auf dem umkreis U(0/0/r) liegen soll, mit $\begin{eqnarray} r=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{eqnarray}$ . wie vorher haben wir $\begin{eqnarray} (\eta+b)(y_c+b)=a^{2}-\xi^{2}=y_c^{2}-b^{2} \end{eqnarray}$ letzteres folgt gerade daraus, dass C auf dem kreis liegt! und daraus folgt: $\begin{eqnarray} y_c=\eta+2b \end{eqnarray}$ das können wir nun für C in die kreisgleichung einsetzen und erhalten damit $\begin{eqnarray} \xi^{2}+(\eta+2b)^{2}=r^{2} \end{eqnarray}$ der höhenschnittpunkt H bewegt sich also auf einem kreis mit dem radius des umkreises K(0/-2b/r). für b = 0 fallen beide kreise zusammen, warum wohl? doch gar nicht so arg, oder? werner
30.05.2006, 15:07	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
ok bis schritt 2 alles klar bei 3 auch klar was du machst nur bekomm ich folgendes dabei raus: habe in die gleichung von ha den x wert von C eingesetzt: $\begin{eqnarray} \eta = \frac{-x^2}{c+b} + \frac{a^2}{c} -b \end{eqnarray}$ also muss $\begin{eqnarray} b = \frac{a^2}{c} \end{eqnarray}$ sein damit der scheitel im Ursprungleigt oder. Hab ich einen Rechenfehler gemacht? oder soll ich mal einscannen was ich gerechnet habe? Zum Kreis ist mir jeder Schluss klar nur einer nicht: Bei schritt 4 hast du geschrieben: $\begin{eqnarray} = yc^2-b \end{eqnarray}$ woher kommt das? weil $\begin{eqnarray} a^2+b^2= yc^2+\eta^2 \end{eqnarray}$ also umgestellt?
30.05.2006, 20:23	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst nicht den x-wert von C einsetzen, sondern nur den von H, und die sind halt gleich, aber H liegt auf der geraden und C nicht! und dieser x- wert heißt $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ ! und da hast du dich in folge verrechnet. (du kannst es ja mit EUKLID überprüfen, zu meiner version sagt EUKLID ok!) zum kreis: C liegt auf K, daher gilt $\begin{eqnarray} \xi^{2}+y_c^{2}=r^{2}=a^{2}+b^{2}\Rightarrow a^{2}-\xi^{2}=y_c^{2}-b^{2}=(y_c+b)(y_c-b) \end{eqnarray}$
30.05.2006, 23:08	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
hi! also in aufgabenteil 1 mit der Parabel hab ich meinen Rechenfehler gefunden und das gleiche raus! bei dem Kreis meinte ich wenn ich deine Antwort richtig verstehe auch das gleiche habe nur irgendwie die Buchstaben vertauscht. Es heißt doch ich berechne den Kreisradius auf 2 arten und stell um oder? danach wars wieder kalr mit der binomischen formel und dann kürzen. falls ja hab ich alles verstanden! freu VIELEN VIELEN DANK für deine geduld mit mir und die zeit die du geopfert hast!!! PS kleine frage zum formeleditor wie heißt die syntax für teifgestelt?
30.05.2006, 23:21	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja super, freu mich mit dir! tiefgestellt: $\begin{eqnarray} y_c \end{eqnarray}$ <=> y_c , $\begin{eqnarray} y_{abc} \end{eqnarray}$ <=> y_{abc} werner

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