"Böser" (Unter)vektorraumnachweis

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Daktari Auf diesen Beitrag antworten »
"Böser" (Unter)vektorraumnachweis
Sei {}
und {}

z.z.
1.)B(V) ist ein K-Vektorraum
2.)S(V) ist ein Untervektorraum von B(V)
3.)Berechnen Sie die Dimensionen dieser Vektorräume

Ich kenne die Definitionen von (Unter)Vektroräumen, aber ich kann sie nicht auf diese Aufgabe übertragen Forum Kloppe
Von 3.) habe ich gar keine Ahnung

V ist ein K-Vektorraum, wenn und gilt:
1.) ist eine abelsche Gruppe
2.)
3.)
4.)
5.)
U ist ein Untervektorraum von V, wenn und gilt
1.)
2.)
3.)

Ich vermute sehr stark, dass man bei zeigen muss, dass
Dies hab ich mal versucht zu zeigen
(da symetrisch)
Also ist
Aber jetzt hänge ich schon fest traurig
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub du musst wirklich alle Axiome nachweisen - viele davon sind dir aber schon durch die Eigenschaften einer Bilinearform geschenkt

bei der Dimension musst du dir eine Dimension von V vorgeben und sehen welche Dimension dann B(V) und S(V) haben

und bei der 0 in S(V) : es gibt ja auch die Nullabbildung, die alles auf die Null abbildet - die könnte das erfüllen Augenzwinkern
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
ich glaub du musst wirklich alle Axiome nachweisen - viele davon sind dir aber schon durch die Eigenschaften einer Bilinearform geschenkt


Ich kenn die Eigenschaften einer Bilinearform, steh aber grad vollkommen auf dem Schlauch - Denkblokade. Kannste mir ein Bsp. für ein "Geschenk" geben?

Zitat:

bei der 0 in S(V) : es gibt ja auch die Nullabbildung, die alles auf die Null abbildet - die könnte das erfüllen Augenzwinkern


Das wollte ich mit <v,w>=0 andeuten. Ich stecke aber fest traurig
Oder meinste mit Nullabbildung was anderes?



Das man die Nachweise der Axiome geschenkt bekommt, glaub ch euch gerne smile . Mein Problem ist nur, dass ich Schwierigkeiten habe, die "allgemeinen (Unter)Vektorrauamaxiome" auf diese Aufgabe anzuwenden
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

als erstes müsste man natürlich definieren, wie man zwei Bilinearformen addiert oder wie man einen skalaren Faktor zu einer Bilinearform multipliziert...

sagen wir einfach mal:



und



du kannst also einfach die Rechenregeln für Bilinearform als deine Addition und Multiplikation sehen...

und dann hast du ja noch die Linearität in beiden Argumenten...

und zur Nullabbildung: betrachte für alle

das ist eine Bilineare Symmetrische Abbildung und augenscheinlich erfüllt sie die Rolle des Nullelements...
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition der Bilinearform kenn ich.

Bitte haltet mich nicht für vollkommen blöd (oder so), aber ich seh nicht wie man zeigt, dass wenn man zwei Elemente aus S(V) addiert, dieses wieder in S(V) liegt. verwirrt
Ich kenn die ganzen Axiome die zu zeigen sind, nur versteh ich nicht, wie man sie auf das "z.B. das oben erwähnte" Problem anwendet. unglücklich
Wenn mir jemand den Beweis bzw. nur den Ansatz mit Idee hinschreibt würde ich mir mit dem Rest bestimmt leichter tun, da ich dann in etwa weiß, wie man vorgehen muss.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nenene, Sunwater, du machst es dir leider etwas zu leicht!
<a,b>+<a',b>=<a+a',b> hat nix damit zu tun, dass man zwei Linearformen addiert!

es geht darum, eine sinnvolle Addition von (ohne weiteres verschiedenen!) <.,.> und (.,.) zu finden.
genauso auch für einen Skalar k aus k eine Multiplikation k*(.,.).

Da das etwas kompliziert aufzuschreiben ist, nenne ich die zwei Bilinearformen, die ich brauche nimmer Skully (.,.), sondern f und g, je natürlich von zwei Elementen.

Wie wäre es mit der üblichen Definition (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)?
und analog (k*f)(a,b)=k*f(a,b)!?
Nachzurechnen wäre die Bilinearität von f+g, das soll ja wieder im Bild liegen.

Das Nullelement ist natürlich wirklich die Nullabbildung, die erfüllt das gewünschte.

Gruß, Jochen

Achja: Punkt 1 deines Unterraumkriteriums ist sehr streng: Die Nichtleerheit der Menge genügt...
 
 
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

sorry - stimmt... - muss wohl eine andere Definition für Addition und skalare Multiplikation her...
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

Danke LOED für deine Antwort. Das mit der Definition von (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b) habe ich noch nie gehört. Damit wird's einfacher.

Muss ich mit "dem oben erwähnten Vektorraumkriterium 5.)" zeigen, dass
1*f(v,w)=f(v,w) € S(V) ?

Falls ja, dann würde ich so vorgehen:
1 und f(v,w) sind Elemente des Körpers, und da ist die 1 neutrales Element, also gilt's. oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Danke LOED für deine Antwort. Das mit der Definition von (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b) habe ich noch nie gehört. Damit wird's einfacher.

dann ist die Aufgabe schlichtweg FALSCH gestellt

Eine Menge (hier die Menge der Bilinearformen) wird erst dadurch zu einem Vektorraum, wenn man die Addition und die skalare Multiplikation festlegt.
Und es gibt übelst viele Methoden, wie man die addieren kann, so dass kein Vektorraum vorliegt!

Also MÜSSTE hier eigentlich stehen, wie sie zu verknüpfen sind, ich habe einfach die bekannte Standardverknüpfung von linearen Abbildungen übertragen.....

Ich denke übrigens man könnte die a) auch sehr gut mit dem Unterraumkriterium machen, nämlich als Unterraum ALLER Abbildungen von VxV nach K.



Dein Beweis ist richtig (edit: nein, eigentlich nicht, da war ich zu schnell! es muss schon die umständliche Variante unten sein), etwas umständlicher formuliert wird daraus:

und das natürlich wiederum für alle f aus......





@Sun: mach dir keinen Kopf deswegen, das passiert hier schneller als man denkt..... Sieht einfach so naheliegend aus.
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Danke LOED für deine Antwort. Das mit der Definition von (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b) habe ich noch nie gehört. Damit wird's einfacher.

dann ist die Aufgabe schlichtweg FALSCH gestellt

Eine Menge (hier die Menge der Bilinearformen) wird erst dadurch zu einem Vektorraum, wenn man die Addition und die skalare Multiplikation festlegt.


Hab vergessen anzugeben, dass V ein IR-Vektorraum ist.
Ändert dies was an der "situiation" ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

beachte meinen roten edit oben

und nein, das ändert im Prinzip nichts. Es geht hier ja um einen ganz anderen "Vektorraum". Ein Vektorraum besteht eben aus mehr als der bloßen Menge.
Dann wäre die korrekte Frage "Ist B(V) mit den Verknüpfungen +:.... und *:..... ein Vektorraum?"
Die beiden Strukturen verschweigen darf man - aber nur, wenn klar ist, was gemeint ist!


z.B. die Aussage: "der IR^2 ist ein IR-Vektorraum" ist völlig klar.
Das heißt aber eigentlich korrekt "(IR^2,+,*) mit komponentenweisen Verknüpfungen + und * aus IR" ist ein IR-VRm.
Nur wenn man's halt weiß, spart man sich die Arbeit.
Einem absoluten Anfänger in Sachen VRmen sollte man das eigentlich dazusagen.
Daktari Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich's jetzt verstanden mit den (Unter)Vektorraumaxiomen für Bilinearformen.
Gott Vielen Dank an alle, die mir geholfen haben. Gott


Aber wie rechnet man derren Dimensionen aus verwirrt
Ich meine dimB(V) und dim S(V)

Sei
B(V)={f:VxV->K, f bilinear} die Mene der Bilinearformen
S(V)={g:VxV->K, g symetrische Bilinearform} die Menge der symetrischen Bil.

V ist ein endlich deimensionaler IR-Vektrorraum (laut Aufgabe)
Sei also dimV=n

Wie kommt man dann auf dimB(V) ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das ist schon eine schwerere Frage, ich werde deswegen nur unter Vorbehalt, dass das Unsinn sein könnte, antworten.
Aber ich glaube trotzdem daran. Big Laugh

meine Vermutungen:
dim(Bilinearraum)=n^2
dim(symm. Bilinearraum)=n(n+1)/2




wie komme ich darauf?

Variante 1: Darstellungsmatrizen von solchen Bilinearformen, damit ist's glaube ich ganz leicht (!?)

Variante 2: dim(VxV)=n^2
somit gibt es für eine (symmetrische) bilineare Abbildung auch n^2 (bzw. n(n+1)/2) Freiheitsgrade (die ist ja auf der Basis von VxV festgelegt).
Bilde nun eine große Linearkombination der Nullabbildung von m solchen (symmetrischen) Bilinearformen.
Es soll dann für jedes Paar (x,y) aus Basisvektoren diese Linearkombination(x,y)=0 sein.
Das ist ein LGS (ohja, linear!) und schon mal n^2 Bedingungen bei m Freiheitsgraden.
Wie du "leicht" feststellst, gibt es für m<=n^2 Möglichkeiten, dieses LGS eindeutig lösbar zu machen, für m>n^2 nicht mehr.
Folgere daraus das nötige.

Analog der zweite Teil mit den symmetrischen Dingern, den habe ich zum Schluss etwas unter der Tisch fallen lassen.
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