Noch mehr Substitutionen... :(

29.05.2006, 15:40

Teh New Member

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Noch mehr Substitutionen... :(

Servuz,
Aufgabe is wie letztes mal:
Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution (Lambacher Schweizer Analysis S.247/9b):

b) $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}(e^t-e^{-t}) \end{eqnarray*}$

Was muss ich als erstes machen? Alle x in der Funktion ersetzen durch 1/2(e^t-e^-t) oder die angegebene Substitution nach t umstellen und dann einsetzen?

Ratlos..

29.05.2006, 15:44

PK

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ja, ersetze das x unter der Wurzel durech den vorgegebenen Ausdruck und vereinfache dann mal unter der Wurzel (Tipp: Binomische Formeln)

29.05.2006, 16:45

Teh New Member

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Also ersetze ich das x, dann erhalte ich ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sqrt{1+(\frac{1}{2}e^t-\frac{1}{2}e^{-t})^2 } ~dx \end{eqnarray*}$

Wende ich die 2. Binomische Formel an ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sqrt{1+(\frac{1}{4}e^{2t}-\frac{1}{2}(e^t*e^{-t})+\frac{1}{4} e^{-2t}) }~dx \end{eqnarray*}$

Dann hebt sich (e^t*e^-t) auf und die -0,5 verrechne ich mit der 1:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sqrt{\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}e^{2t}+\frac{1}{4} e^{-2t}) }~dx \end{eqnarray*}$

Aber was nun? :S

29.05.2006, 16:50

PK

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Wie gesagt: Stichwort Binomische Formeln.
Der Radikant der Wurzel ist nämlich eine, was es dir mit der Aufgabe extrem vereinfacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2006, 16:58

Sunwater

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vielleicht kommt dir dein x bekannt vor? - es hat was mit Winkelfunktionen zu tun... - dann ist die Aufgabe ziemlich einfach...

29.05.2006, 16:59

PK

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hm... dürfte sich wegen $\begin{eqnarray*} 1+x^{2} \end{eqnarray*}$ als schwieriger erweisen, außerdem ist die substitution ja vorgegeben.

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29.05.2006, 17:00

Teh New Member

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Also alles (der gesamte Ausdruck) der unter der Wurzel steht sollen ich zu einer binomischen formel zusammenfassen?

29.05.2006, 17:01

PK

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ja.

29.05.2006, 17:07

Sunwater

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nochmal: sagen euch Hyperbelfunktionen was?

29.05.2006, 17:12

Calvin

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@sunwater

die angegebene Substitution ist nur die alternative Schreibweise für Hyperbelfunktionen. Vermutlich sind die nicht bekannt, sonst wäre es hier angegeben *spekulier*

29.05.2006, 17:19

Teh New Member

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Ich muss ja den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sqrt{\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}e^{2t}+\frac{1}{4} e^{-2t}) }~dx \end{eqnarray*}$ als Binomische Formel darstellen...

...lautet ja (a+b)²=a²+2ab+b².

a muss dann ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$ entsprechen.
b müsste dann doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{-t} \end{eqnarray*}$ sein...

Die '2ab' stimmen dann aber nicht überein und das Minuszeichen im Exponenten bei e^-t macht mir auch zu schaffen >.<

29.05.2006, 17:25

Calvin

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Zitat:

Original von Teh New Member
a muss dann ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$ entsprechen.
b müsste dann doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{-t} \end{eqnarray*}$ sein...

Wie du feststellst, funktioniert es damit nicht. Also brauchst du andere a und b Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denke daran, dass man in Summen die Summanden beliebig vertauschen kann.

Probiere also mal $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=2ab+a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2006, 17:30

Sunwater

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@Calvin - hätte ja auch sein können, dass der Prof nur das Erinnerungsvermögen auffrischen will Lehrer

Lehrer

aber wenns nicht vorrausgesetzt wird halt ich mich raus - wir hatten noch keine Integralrechnung *g*

30.05.2006, 09:00

Teh New Member

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Achsoooo...

dann erhalte ich ja:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sqrt{(0,5e^t+0,5+0,5e^{-t})^2}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{b}^{a}~0,5e^t+0,5+0,5e^{-t}~dx \end{eqnarray*}$

Muss ich für dx nun folgendes einsetzen?:

x'=dx/dt => dx=dt*x'
$\begin{eqnarray*} x'=0,5(e^t-e^{-t})*(e^t+e^{-t}) \end{eqnarray*}$

30.05.2006, 14:21

Teh New Member

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bitte antworten >.<

30.05.2006, 14:23

Bjoern1982

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Hallo

Dein Integral stimmt so noch nicht - da ist ein Summand zuviel.

Deine Ableitung ist auch nicht richtig.
Du hast wahrscheinlich die Kettenregel falsch angewendet.
Stell dir das einfach so vor und leite jeden Summanden einzeln ab:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^t- \frac{1}{2}e^{-t} \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

30.05.2006, 14:46

Teh New Member

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Oh stimmt ja >.< die 0,5 müssen da natürlich raus aus dem Integral!!!

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 0,5(e^t-e^{-t}) \end{eqnarray*}$ ist dann doch laut Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} x'=0,5(e^t-e^{-t})^{-1}*(e^t+e^{-t}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Summanden einzels ableite erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} x'=0,5e^t+0,5e^{-t} \end{eqnarray*}$

oder leige ich da falsch?

30.05.2006, 14:54

Bjoern1982

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Wenn du es unbedingt mit der Kettenregel machen willst, dann bedenke, dass die Ableitung der äußeren Funktion nur noch eine Konstante ist. Deshalb kannst du die innere Funktion $\begin{eqnarray*} e^t-e^{-t} \end{eqnarray*}$ da nicht mehr einsetzen.

Die einzelnen Summanden hast du richtig abgeleitet.

30.05.2006, 15:03

Teh New Member

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Muss ich das dx jetzt ersetzen, also so:

dx=x'*dt

dann würde icj ja folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~0,5e^t+0,5e^{-t}*(0,5e^t+0,5e^{-t})~dt \end{eqnarray*}$

Das kann ich dann doch so zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} 2\int_{b}^{a}~(0,5e^t+0,5e^{-t})~dt \end{eqnarray*}$

Wie bilde ich hierfür aber nun die Stammfunktion?

Btw: Wie würde die Ableitung von x mit der Kettenregel richtig aussehen?

30.05.2006, 15:07

Bjoern1982

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Ist a*a wirklich 2*a ?

30.05.2006, 15:19

Teh New Member

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Whooops...

Dann kommt da raus:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~0,25e^{2t}+0,5+0,25e^{-2t}~dt \end{eqnarray*}$

Aber stammfunktion bilden is immernoch schwer :s

30.05.2006, 15:24

Bjoern1982

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Das stimmt jetzt soweit.

Tip zum Bilden der Stammfunktion:

Wenn in einem Term die innere Funktion aus einer linearen Funktion (wie hier) besteht, kannst du beim integrieren so vorgehen wie beim Ableiten durch die Kettenregel mit dem einzigen Unterschied, dass du am Ende nicht mit der inneren Ableitung multiplizierst sondern durch die innere Ableitung dividierst.

30.05.2006, 15:37

Teh New Member

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Ich habs nun so vertstandenm dass ich $\begin{eqnarray*} 0,25e^{2t}+0,5+0,25e^{-2t} \end{eqnarray*}$ quasi als verkettete Funktion aufweisen soll, dann würde sich ja folgendes ergeben:

F(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{(0,25e^{2t}+0,5+0,25e^{-2t})^{-1}}{(0,5e^{2t}-0,5e^{-2t})} \end{eqnarray*}$

huh?

30.05.2006, 15:57

Bjoern1982

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Ich meinte eigentlich, dass du die einzelnen Summanden wieder einzeln integrieren sollst.

Ich mach mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2\cdot e^{4t+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2\cdot e^{4t+2}\cdot 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{2\cdot e^{4t+2}}{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt klarer?

30.05.2006, 16:03

Teh New Member

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also so:

$\begin{eqnarray*} [\frac{0,25e^{2t}}{2} -\frac{0,25e^{-2t}}{2} ] \end{eqnarray*}$

so?

30.05.2006, 16:08

Bjoern1982

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Genau

Freude

30.05.2006, 16:11

Teh New Member

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Ist das jetzt das Endergebnis der aufgabe? :o

30.05.2006, 16:45

Teh New Member

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muss ich nicht noch irgendwie rücksubstituieren oder so?

oder bin ick fertig?

31.05.2006, 02:54

Bjoern1982

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Ja, das müsste man. Ich weiss aber leider nicht so genau, wie man das hier macht verwirrt

verwirrt

Vielleicht hat ja jemand anderes eine Idee dazu.

Gruß Björn

31.05.2006, 20:41

Teh New Member

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Niemand ne Idee?

31.05.2006, 20:57

Calvin

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Du musst $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}(e^t-e^{-t}) \end{eqnarray*}$ nach t auflösen. Wenn du hier zunächst mal $\begin{eqnarray*} y=e^t \end{eqnarray*}$ ersetzt, dann siehst du vielleicht schneller, dass du eine quadratische Gleichung nach y lösen musst, und zwar die folgende:

$\begin{eqnarray*} x =\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{y}\right) \quad \Leftrightarrow \quad 2xy =y^2-1 \end{eqnarray*}$

Anschließend noch die Lösung in die Gleichung $\begin{eqnarray*} y=e^t \end{eqnarray*}$ einsetzen und nach t auflösen.

31.05.2006, 22:41

Bjoern1982

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Ach ja, durch Substitution kann man nach t auflösen Hammer

Hammer

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